高二数学第一节椭圆

1、一一生生活活中中的的椭椭圆圆如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？椭圆的画法椭圆的画法二二 1 .椭圆定义椭圆定义：平面内与两个定点平面内与两个定点的距离和等于常数的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作的点的轨迹叫作椭圆椭圆，这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦椭圆的焦点点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距 12,f f1 2|ff注意注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内必须在平面内; （2）两个定点）两个定点-两点间距离确定两点间距离确定

2、;(常记作常记作2c) （3）绳长）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作常记作2a, 且且2a2c)?p?f?2?f?1若2a=f1f2轨迹是什么呢？轨迹是轨迹是一条线段一条线段若2a0)，m与与f1和和f2的距离的的距离的和等于正和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则f1、f2的的坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,0) .由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：amfmf2|21222221)(| ,)(|ycxmfycxmf代入坐标代入坐标aycxycx2)()(2222 得方程（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）

3、xf1f2m0y移项，再平方移项，再平方2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得整理得整理得)()(22222222caayaxca由椭圆定义可知由椭圆定义可知设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax0 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 21f2fxyo),(yxm叫做叫做椭圆的标准方程。椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦

4、点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程 ,其中12(,0)( ,0)fcf c222cba 如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y轴上轴上,那么椭圆那么椭圆的标准方程又是怎样的呢的标准方程又是怎样的呢? 如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）如图所示,焦点则变成 只要将方程中 的 调换，即可得12222byaxyx,12(0,),(0, )fc fc a a2 22 22 20 0b ba a1 1y yb bx x2 2.p01f2fxy（，a）(0,-a)也是椭圆的标准方程。也是椭圆的标准方程。3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1 12 2yoffmx焦点在焦点在x轴：轴：01

5、2222babyax1ofyx2fm焦点在焦点在y轴：轴：)0( 12222babxay总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点f( (c，0)0)f(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|mf1|+|mf2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoffmx1ofyx2fm注注: :共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原

6、点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？11616) 1 (22yx0225259)4(22yx11625)2(22yx11) 3(2222mymx123)5(22yx11624)6(22kykx?练习练习2.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

7、(1)a= ,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；6(2)焦点为焦点为f1(0,3)，f2(0,3),且且a=5；(3)两个焦点分别是两个焦点分别是f1(2,0)、f2(2,0),且过且过p(2,3)点；点； (4)经过点经过点p(2,0)和和q(0,3).2216xy2212516yx2211612xy22xy+=149小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴；定量：求定量：求a, b的值的值.练习练习3. 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，请，请填空：填空：(1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_

8、，焦距等于，焦距等于_.(2)若若c为椭圆上一点，为椭圆上一点，f1、f2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点， 并且并且cf1=2,则则cf2=_. 1162522yx116922yx543(-3,0)、(3,0)68变式：变式： 若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（1）.14491622yx练习练习4.4.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x x轴轴上的椭圆，则上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 . .22xy+=14m(0,4) 变式：方程变式：方程 ，分别求方程满足，分别求方程满足下列条件的下列条件的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆

9、；表示一个椭圆；表示一个椭圆；表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆。轴上的椭圆。1m16ym25x22解：以两焦点所解：以两焦点所在直线为在直线为x轴，线段轴，线段 的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴,建立建立平面直角坐标系平面直角坐标系xoy。2, 1ff21ff)0( 12222 babyaxxy0f1f2m则这个椭圆的标准方程为则这个椭圆的标准方程为:根据题意根据题意:2a=3,2c=2.4,所以：所以：b2=1.52-1.22=0.81因此，这个椭圆的方程为：因此，这个椭圆的方程为：181. 025. 222 yx待定系数法例例2、过椭圆、过椭圆 的一个焦点的一个焦点 的直线与椭圆的直线与椭圆交于交于a、b两点，求两点，求 的周长。的周长。2241xy1f2abfyxoab1f2f一种方法：一种方法：二类方程二类方程:三个意识：三个意识：求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法 12222byax0 12222babxay求美意识，求美意识， 求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识已知椭圆有这样的光学性质：从椭已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的台球个焦点。今有一个水平