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文档简介
1、直线方程的一般形式一、教学目标(一)知识教学点掌握直线方程的一般形式,能用定比分点公式设点后求定比(二)能力训练点 通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系,进一步强化学生的对应概念;通过 对几个典型例题的研究,培养学生灵活运用知识、简化运算的能力(三)学科渗透点 通过对直线方程的几种形式的特点的分析,培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义 观点、教材分析1重点:直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限 性,只有直线的一般式能表示所有的直线, 教学中要讲清直线与二元一次方程的 对应关系2难点:与重点相同3疑点:直线与二元一次方程是一对多的关系同条直线对应的多个二元 一次方程是同
2、解方程三、活动设计分析、启发、讲练结合四、教学过程(一) 引入新课点斜式、斜截式不能表示与 x轴垂直的直线;两点式不能表示与坐标轴平行的直线;截距式既不能表示与坐标轴平行的直线,又不能表示过原点的直线与x轴垂直的直线可表示成x=xo,与x轴平行的直线可表示成y=yo。它们都是二元 一次方程.我们问:直线的方程都可以写成二元一次方程吗?反过来,二元一次方程都表示直线 吗?(二) 直线方程的一般形式我们知道,在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角a.当a 90°时,直线有斜率,方程可写成下面的形式:y=kx+b当a =90°时,它的方程可以写成 x=x0的形式.由于是在坐标平面上
3、讨论问题,上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方 程这样,对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程,就是说,直线的方程都可以 写成关于x、y的一次方程.反过来,对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0 .(1)其中A B不同时为零.(1)当Bm 0时,方程可化为A C尸PE这就是直线的斜截式方程.它表示斜率为;在硏由上的截距为D爲的直线.这里,我们借用了前一课y=kx+b表示直线的结论,不弄清这一点,会感到上面 的论证不知所云.当B=0时,由于A B不同时为零,必有Am0,方程可化为C它表示一条与y轴平行的直线.这样,我们又有:关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程写
4、为Ax+By+C=0这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?直线与二元一次方程是一对多的,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.(三)例题例1己知直线经过点A© 4),斜率为冷,求直线的点赋 说师截距式.解:直线的点斜式是4y+4 二-尹-6).化成一般式得4x+3y-12=0 .把常数次移到等号右边,再把方程两边都除以12,就得到截距式讲解这个例题时,要顺便解决好下面几个问题:(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点,因此是不唯一的,一般不作为最后结果保留, 须进一步化简;(2)直线方程的
5、一般式也是不唯一的,因为方程的两边同乘以一 个非零常数后得到的方程与原方程同解, 一般方程可作为最终结果保留,但须化 为各系数既无公约数也不是分数;(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话 是唯一的,如无特别要求,可作为最终结果保留.例2 把直线I的方程x-2y+6=0化成斜截式,求出直线I的斜率和在x轴 与y轴上的截距,并画图.解:将原方程移项,得 2y=x+6,两边除以2得斜截式:因此,直线啲斜率k二,在碎由上的截距是久在上面的方程中令 y = 0Wx=-6根据直线过点A(-6,0)、B(0,3),在平面内作出这两点连直线就是所要作的 图形(图1-28).本例题由学生完成,老师讲清下面的
6、问题:二元一次方程的图形是直线,一条直线可 由其方向和它上面的一点确定,也可由直线上的两点确定,利用前一点作图比较麻烦,通常我们是找出直线在两轴上的截距,然后在两轴上找出相应的点连线.例3 证明:三点A(1,3)、B(5, 7)、C(10, 12)在同一条直线上.证法一直线AB的方程是:y - 3 _ x -1化简得 y=x+2 .将点C的坐标代入上面的方程,等式成立.-A、B、C三点共线.证法一瓦二石二1 KAC= = L-A、B、C三点共线.证法三|AB|= +仃-卯"屁|AC|= J(W +(12-护=|BC|= 7(12-7)2 + 10-5)2 = 5 雄|AB|+|BC|
7、=|AC| ,-A、C、C三点共线.讲解本例题可开拓学生思路,培养学生灵活运用知识解决问题的能力.例4 直线x+2y-10=0与过A(1 , 3)、B(5 , 2)的直线相交于C,试求S有何线段胚所成的定比此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程,然后解方程组得到点 C的坐标,再求点C分AB所成的定比,计算量大了一些.如果先用定比分点公式设出 点C的坐标(即满足点C在直线AB上),然后代入已知的直线方程求 入,贝U计算 量要小得多.解 i殳盼胚所成的定比为匚则c点的坐标为1+5入3+2入TTV1 y = 77T代入 x+2y-10=0 有:解之得入=-3 .即点毋胚所成的定比为入二3(四)
8、课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点.例4 一般化:求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端 点的有向线段所成定比时,可用定比分点公式设出交点的坐标,代入已知直线(或 曲线)求得.五、布置作业1. (1. 6练习第1题)由下列条件,写出直线的方程,并化成一般式:斜率是丄,经过点A(& -2)?经过点B(4,2),平行于x轴;(3) 经过点C(£ 0),平行于y输(4) 在盟轴和肃上的截距分别是p -3;(5) 经过两点 P1(3,-2)、P2(5,-4);(6) x轴上的截距是-7 ,倾斜角是45°.解:(1)x+2y-4=0 ;(2)y-2=
9、0 ;2x+1=0 ;(4)2x-y-3=0 ;(5)x+y-1=0 ;(6)x-y+7=0 .2. (习题二第6题)一条直线经过蛇,它的倾斜角等于直线尸令的倾斜角的2倍,求这条直线的方程.E兀1TB:己知直线的斜率k广半倾斜甬一.所求直线倾斜侑503斜率点所求直践方程是y +书二筋(2)i即屈”y-3鸽=0.3. (习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0, 2),它的倾斜角的正弦是老求这条直线的方程.这样的直线有几条?434解:设直线的倾斜角为4则血。飞,cosCl = 1 - > tgCl = ±444所求直线的斜率k二土?所求直线方程林 + 2諏二土乜4. (习题二第十三题)求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方 程.W:当言线过原点时,直线在两轴上的截距均为o,直线方程为汗当直线不过原点时,设在稱由上的截距是a,直线方程为- + - = 1,2a a将P(2,乡)代入有a =于,直线方程为x + y-5-O.5. (习题二第16题)设点P(xo, yo)在直线As+By+C=0h,求证:这条直线 的方程可以写成 A(x-x o)+B(y-y 0)=0 .证明:将点P(x0, yo)的坐标代入有 C=-Ax0-By0,将C代入Ax+By+C=0即卩有 A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 .6. 过 A(xi,yi)、B(x2,
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