高等代数习题课n阶行列式的计算

1、箭形行列式箭形行列式行（列）和相等的行列式行（列）和相等的行列式递推公式法递推公式法加边法（升级法）加边法（升级法）拆项法拆项法数学归纳法数学归纳法（一）箭形行列式（一）箭形行列式01211122,0,1,2,3.nninnabbbcadaincaca 解：把所有的第解：把所有的第 列列 的的 倍加到倍加到(1, )in iica 1i 第第1列，得：列，得： 11201()niinniibcda aaaa 可转为箭形行列式的行列式：可转为箭形行列式的行列式：121111111),0,1,2,3.111inaaaina 122),0,1,2,3.inaxxx axainxxa （把第（把第 i

2、 行分别减去第行分别减去第1行，行， 即可转为箭形行列式）即可转为箭形行列式）（二）行（列）和相等的行列式（二）行（列）和相等的行列式1)a bbb abdba 12(1)(1)(1)nanb bbanb abcccanb ba 解：解：d 11(1)1bbabanbba 1100(1)2,3,00ibbrrabanbinab 1()(1)nabanb 12 3123 412)11321 222nnndnnnnnnn 1 2 311 3 41(1)211321 1 221nnnn ndnnnnn 解解11221123101111(1)2011110 1111nnnnrrrrrrnnnn nnn

3、 1111 1(1)111121111nnn nnn 111111(1)002,31200innrrn nnninnn 11211111(1)0002000nnnn nncccn (1)(1)22(1)( 1)( 1)()2nnnn nn (1)12(1)( 1)2n nnnn （三）升级法（加边法）（三）升级法（加边法）1121221 212,0nnnnnnabaaaabadb bbaaab 121121221211000nnnnnnnaaaabaadaabaaaab 解：解：1)121121100(2,31)1 001 00ninaaabrr inbb 1 21(1).niniiab bb

4、b 11111100(1,21)00niniiiinaaabcbcinbb （四）（四）递推公式法递推公式法0001000100.0000001nabababababdababab 112c()nnndab dabd按按 展开展开解解211221()()nnnnndadb dadbdad 211221()()nnnnndbda dbdadbd 22221();nnnndadbaabbaabb 22221().nnnndbdaaabbaaba 11(1)nnnnababdabnaab 由以上两式解得由以上两式解得 2221,daabbdab而而行列式的值求出行列式的值求出 的值）的值）d（先将行

5、列式表成两个低阶同型的行列式的线形（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（关系式，再用递推关系及某些低阶（2 2阶，阶，1 1阶）阶）（五）拆项法（五）拆项法（主对角线上、下元素相同主对角线上、下元素相同）121)nnaxaaaaxadaaax 1210000000nnxaxax da 112200nnnaxaaaxaaaaxaaaxadaaaxaaa x 解：解：1211nnnndx xxax d112212,nnnndx xxaxd 继续下去，可得继续下去，可得 111221231nnnnnnndaxxax xxxax xxxx 1241341321nnn

6、nax x xxax x xxx xx x d 1211221323()nnnnna x xxx xxxx xxx xx1212110 (1)nnnniix xxdx xxax , ,当当 时时 212323,nnnndx xxaxd12nx xx 1(1)100nnnaaaxadaax 1111naaxax 当当 时时也可以用加边法做：也可以用加边法做： 0(1,2)ixin111100niinnaaaxdxax 1211(1)nniix xxax 将第 i列乘以 加到第一列上i=2、3、n+11ix （六）（六） 数学归纳法数学归纳法例、证明：例、证明：12121111111(1)111n

7、ninaada aaaa 证：当证：当 时，时， ，结论成立，结论成立111111(1)daaa1n 1211(1)kkkiida aaa 假设假设 时结论成立，即，时结论成立，即，nk 1122111101111111011110111 10111 11111111111kkkaaaaaaa 121111111111111 1111111kkkaadaa 对对 ，将，将 按最后一列拆开，按最后一列拆开，1nk1kd 1211211(1)kkkkiia aaaa aaa 112111(1)kkiia aaa 所以所以 时结论成立，故原命题得证时结论成立，故原命题得证1nk12100 000 0

8、000001111 1kkkaaada 121kkka aaad 121212121200,00nnnnnnaaaaaaaada aaaaaa练习练习1、计算、计算21121122121000000nnnnnnaaaaaaadaaaaaaaa 解解121212121200,00nnnnnnaaaaaaaada aaaaaa练习练习1、计算、计算21121122121000000nnnnnnaaaaaaadaaaaaaaa 解解12112212101110112001020(3,42)1002ninnnaaaaaaacc inaa 1221(3,42)21(1,2)2ijjcc inccjna

9、121221111112211122002000002000002ininnnanaaaaaaa 111122( 2)1122nininaaana 2212,1( 2)(2)nnini jjaa aana 9 50 04 9 500 4 900 09 50 04 9nd i11215 004 9 5c94920,54 9nnnnndddd 按按 行行展展 开开解：解：即有即有11254(5),nnnndddd于是有于是有 练习练习2、计算、计算同理有同理有 212345 (4)nnnndddd22215(4)5(6136)5nnndd1111545445nnnnnnnnnddddd 即即 221232154 (5)4(5)nnnnndddddd 24(6145)4 ,nn nabbbcabbdccabccca 111()11nnbbbabbcac dcabcca 000ncbbbac bbbcabbabbdccabcabcccacca 解解练习练习3、计算、计算11000()000nnbbbabcac dcb abcb cbab 11()()nnc abac d 000nbb