线性代数行列式的性质与计算

1、 将行列式将行列式d的行与列互换后得到的行列式称为的行与列互换后得到的行列式称为d的转置行列式，记为的转置行列式，记为dt (transpose)或或d . .即如果即如果2.1 2.1 行列式的性质行列式的性质a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann d =，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann dt =则.第第2 2节节 行列式的性质与计算行列式的性质与计算显然，显然，( dt )t=d . .下页行列式的转置行列式的转置性质性质3 用数用数k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用数，等于用数k乘以此行列式乘以此行列式. .a11kai

2、1an1 a12kai2an2 a1nkainann =k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即d = =dt. .推论推论1 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)的元素全为零，则的元素全为零，则d0. .性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式的值变号，行列式的值变号.推论推论 如果行列式如果行列式d中有两行中有两行(列列)的元素相同，则的元素相同，则d=0. . 推论推论2 如果如果d中有两行中有两行(列列)对应元素成比例，则对应元素成比例，则d=0.下页 性质性质4

3、 若行列式中的某一行若行列式中的某一行(列列)的元素都是两数之和，则的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和此行列式可以写成两个行列式之和. .即即a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann = 性质性质5 将行列式的某一行将行列式的某一行(列列)的所有元素同乘以数的所有元素同乘以数k后加到另一行后加到另一行(列列)对应位置的元素上，行列式的值不变对应位置的元素上，行列式的值不变. .即即a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1+kaj1an1a12ai2+

4、kaj2an2a1nain+kajnann=.+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .下页行列式的计算行列式的计算要点：要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算. .下页为表述方便，引入下列记号为表述方便，引入下列记号 (行用行用r，列用，列用c) ：以数以数k0乘以行列式的第乘以行列式的第i行，用行，用kri表示；表示；以数以数k乘以行列式的第乘以行列式的第i行加到第行加到第j行，用行，用rj+kri表示表示. .交换行列式的第交换行列式的第i行与第行与第j行，用行，用jirr 表示表示；（换法变换）（换法变换）（倍法变换

5、）（倍法变换）（消法变换）（消法变换）思考：这三种变换的结果分别是什么？思考：这三种变换的结果分别是什么？例例1. 计算行列式计算行列式5101242170131312=d131224217013510141=rrd3400193008310510124232=rrrr850002210083105101344=+ rr1111033208310510114131223=+rrrrrr3400221008310510143=rr解：解：= 85.下页例2. 计算行列式解:下页103100204199200395301300600d =10031002004200 12004005300 130

6、0600d+=+10010020042002004005300300600+=31002004120040051300600+ 310020012004001300600=310041200513000+ 314100125130=2000=xaaaxaaaxd=xaaaxaanxd111) 1(+=axaaxaanx+=00001) 1(1(1) ()nxna xa=+例例3. 计算行列式计算行列式解：解： 将各行都加到第一行，从第一行提取将各行都加到第一行，从第一行提取 x+(n-1)a 得得下页nnnacacacbbbad0000002211210=100010001)(22112102

7、1nnnnacacacbbbaaaad =100010001000)(22111021nnniiiinacacacacbaaaa=)(1021=niiiinacbaaaa12(0)na aa 解：例例4. 计算行列式计算行列式下页一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 定义定义5 5 在在n阶行列式阶行列式d= =|aij|中去掉元素中去掉元素a i j 所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后, ,余下的余下的n 1阶行列式，称为阶行列式，称为d中元素中元素aij 的的余子式余子式，记作，记作mij.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a

8、24a34a44 例如，求例如，求4阶行列式中阶行列式中a32的代数余子式的代数余子式a11a21a41 a13a23a43 a14a24a44 m32= a32= = ( 1)3+ +2m32= = m32令令aij= =( 1)i+ +jmij， aij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式. .2.2 2.2 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开下页 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式 定义定义5 5 在在n行列式行列式d= =|aij|中去掉元素中去掉元素a i j 所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后, ,余下的余下的n 1阶行列式，称为阶行列式，称为d

9、中元素中元素aij 的的余子式余子式，记作，记作mij. .令令aij= =( 1)i+ +jmij， aij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式. .a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求再如，求4阶行列式中阶行列式中a13的代数余子式的代数余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 m13= a13= = ( 1)1+ +3m13= = m13下页2.2 2.2 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开 定理定理4 4 n阶行列式阶行列式d= =|aij|等于它的任意一行等于它的任

10、意一行(列列)的各元素与其对应的各元素与其对应的代数余子式乘积的和的代数余子式乘积的和. .即即 定理定理5 5 n阶行列式阶行列式d= =|aij|的某一行的某一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元素的对应元素的代数余子式乘积的和等于零的代数余子式乘积的和等于零. .即即d=ai1ai1+ ai2ai2+ + ainain (i=1, 2, , n)，d=a1ja1j+ a2ja2j+ + anj anj (j=1, 2, , n).ai1aj1+ ai2aj2+ + ainajn =0 (i j)，a1ia1j+a2ia2j+ + ani anj =0 (i j).二、展

11、开定理二、展开定理下页 例例1分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式112013231d = 解：解：按第一行展开按第一行展开133112311213=a11a11+a12a12+a13a13 d=1(1)1+1+0(1)1+2(1)1+3+(2)=1(8)+0+(2)5 =18.三、利用展开定理计算行列式三、利用展开定理计算行列式下页按第二列展开按第二列展开123112211123 =0+1(3)+3(1)5 =315 =18 . 例例1分别按第一行与第二列展开行列式分别按第一行与第二列展开行列式112013231d = 解：解：按第一行展开按第一行展开=a11a11+

12、a12a12+a1na1n d=1(8)+0+(2)5 =18.(1)3+2+3(1)2+2+1(1)1+2=0=a12a12+a22a22+a32a32 d下页解：解：将某行将某行(列列)化为一个非零元后展开化为一个非零元后展开例例2计算行列式计算行列式 1 2 3 4 1 2 0 5 3 1 1 0 1 0 1 2d =(1)(1)3+2 7 1 4 7 2 5 1 1 2 6 0 2 9 0 1 1 1 2=1(1)2+2 6921=618=24. 7 0 1 4 7 0 2 5 3 1 1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0 5 3 1 1 0 1 0 1 2d =312r

13、r +342rr +21rr 232rr +下页0000abaaabdbaaaba=0202022ababaaabbaababaabd+=0 0010(2)1010babbaaaba=+01101)1()2(31baabbab+=例例3 3. . 计算行列式计算行列式bbbaabbab+=0001)2()2()2()2(2ababbbbbaabab+=+=0101011)2(abaabaabaab +=解：解：下页2111121111211112=nd11111111121102111121012111120112 nd=+3000230022301111=2221333dnn+=2) 333

14、3(221+=nn213221331+=+=nn, ( d2=5 )解：解：例例4. 计算行列式计算行列式113+=nnd1+nd下页=nijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaadjinnnnnnnnnnnnnnnnnn1)(11111231323331222321121312232221321证明：证明：从最后一行起每一行加上前一行的从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得倍，得2113122311333123221123212212312321221131200001111=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

15、aad例例5. 证明范得蒙（证明范得蒙（vandermonde）行列式）行列式下页2113122311333123221123212212312321221131200001111=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaad下页21311222212313123232321231311212122123131nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa a=22322223223211312111)()(=nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa213

16、11222212313123232321231311212122123131nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa adaa aaa aaa aaa aaa aaa a=下页21311212313133321231312222123131() 1() 1() 1()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa a=213111()()()nnaaaaaa d=)11(112=nnnnaaaad=nijjaiadn1)(即111312)()(=nnndaaaaaad22

17、24231)()(=nnndaaaaaad)()(22423.aaaaaan)(221.nnnnaaaa由此推得由此推得 ，=nd)()(11312aaaaaan 1nd2nd2d)(1.nnaa即即 22213)(daaaadnnnn= 下页例如例如 n = 4 时时=41)(111134333231242322214321ijjaiaaaaaaaaaaaaad4 =)()(141312aaaaaa=3242()()aaaa43()aa下页=nijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaadjinnnnnnnnnnnnnnnnnn1)(111112313233312223211213122

18、32221321范得蒙（范得蒙（vandermonde）行列式）行列式下页注意：注意：项连乘号，共2) 1() 1nn个数中至少有两个相等这naaadnn,0)221=利用范德蒙行列式计算)31232222123333312322223121111123123nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaadaaaaaaaaaaaa=12()1nija aaaajin= ，ddxjj=j=1,2,n有且仅有一个解有且仅有一个解第第3 3节节 克莱姆法则克莱姆法则定理定理6 含有含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组=+=+=+nnnnnnnnnnbxaxax

19、abxaxaxabxaxaxa22112222212111212111当其系数行列式当其系数行列式0212222111211=nnnnnnaaaaaaaaad时 其中，其中，dj是把系数行列式是把系数行列式d的第的第j列换为方程组的常数列列换为方程组的常数列 b1,b2,bn所得到的所得到的n阶行列式（阶行列式（j=1,2,n）. 下页例例1. 解线性方程组解线性方程组 124123412341325322643020 xxxxxxxxxxxxx+= +=+=下页解解: 方程组的系数行列式方程组的系数行列式 110232125043112010d=故方程组有唯一解故方程组有唯一解. . 适用条

20、件适用条件 未知数的个数未知数的个数 = = 方程的个数；方程的个数； 系数行列式系数行列式d0.d0.解解: 方程组的系数行列式方程组的系数行列式 110232125043112010d=故方程组有唯一解故方程组有唯一解. .03110010d=2150236121540112010d= 31152326220,43012000d=4110532162543102010d= 312412342,3,4,5.ddddxxxxdddd= = 而故方程组的解为故方程组的解为 下页推论推论（定理（定理6之逆否命题）之逆否命题） 含有含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组

21、个方程的线性方程组=+=+=+nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 如果无解或非唯一解如果无解或非唯一解, 则系数行列式则系数行列式d=0. 例例2 2. 解线性方程组解线性方程组 下页=+=+=+10021321321xxxxxxxx显然，此方程组无解显然，此方程组无解. . 其系数行列式为其系数行列式为011111111=d. 0=定理定理7 （齐次线性方程组）（齐次线性方程组） 含有含有n个未知量个未知量n个方程的线性方程组个方程的线性方程组=+=+=+000221122221211212111nnnnnnnnnxaxax

22、axaxaxaxaxaxa当其系数行列式当其系数行列式0212222111211=nnnnnnaaaaaaaaad时 方程组只有零解方程组只有零解, 而没有非零解而没有非零解. 下页 推论推论 若齐次线性方程有非零解，则必有系数行列式若齐次线性方程有非零解，则必有系数行列式 . .0d =例例3.3. 取何值时，下列方程组只有零解取何值时，下列方程组只有零解? =+=+=+0)4(20)6(2022)5(zxyxzyx解：解：因为因为=402062225d(2)(5)(8)= 所以，所以，当当d0，即，即 5， 2 且且 8 时，方程组只有零解时，方程组只有零解. .下页由对角线记忆法得由对角

23、线记忆法得 + +2 0 0 + +2 3 6 +5+5 3 4 3= = ( + +2) 1 0 0 1 3 6 +5+5 3 4 3= =( +2+2)2( 44 -133353664d= +32211+176=22132=2273+作业： 21页页 4 (3)(4) 22页页 5(4) 6 (2)(4) 23页页 9,10(1) 结束 1 212(.)12( 1).nnj jjjjj na aa=1 212(.)12( 1).nnj jjtijjjn jdbb bb=d=a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann 1 212(.)12( 1).ninj jjjjij

24、n ja akaa=1 212(.)12( 1).ninj jjjjijn jka aaa=k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 11121121121234njjjniiinnnnnaaaaaadaaaaaaa=11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa 1 212(.)12( 1).jinjink kkkkkkjkiknka aaaa= 1 212(.)12( 1).ijnijnk kkkkkkikjknka aaaa= = d= a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binann1 212(.)12( 1

25、).()niinj jjjjijijn ja aaba=+1 212(.)12( 1).ninj jjjjijn ja aaa=1 212(.)12( 1).ninj jjjjijn ja aba+a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann =+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .a11ai1+kaj1an1a12ai2+kaj2an2a1nain+kajnanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11kaj1an1a12kaj2an2a1nkajnann=+=0+a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 1

26、1212221200nnnnnaaaaaaa 223(1.)1123( 1).nnjjjjn ja aaa=223(.)1123( 1).nnjjjjn jaaaa=1111a m=1111a a=111211120000jnijnnnjnnaaaaaaaaa 111121222122212000( 1)ijjnijjnnjnnnnaaaaaaaaaaaaa+ = 2( 1)( 1)ijijijijijija mam+ += =ijija a=111211212000000niiinnnnnaaaaaaaaa+1112111200ninnnnaaaaaaa=111211200ninnnnnaa

27、aaaaa+1112112121234niiiniiinnnnnaaaaaaaaaaaaa0 =ai1aj1+ ai2aj2+ + ainajn =例例2. . 计算行列式计算行列式解解：baaaabaadaabaaaab=baaaabaaaabaababababd3333+=baaaabaaaabaab1111)3(+=abababab+=0000000001111)3(+=3)(3(abab下页1,(1,2, )nijjija xbin=1njijjdad=11nijjja dd=111nnijssjjsab ad=111nnijssjjsa b ad=111nnsijsjsjba ad=

28、 1,0,nijsjjdisa ais=1njijjdad=111nnsijsjsjba ad= 1iib dbd=(1,2, )in=jjxc设= 为方程组的一个解,则1,(1,2, )nittita cbin=11111,nttjjta c ab a=22221,nttjjta c ab a=1.nnttnjnnjta c ab a=11111()()()nnnssjsjsjjsnsjnsssa a ca a ca a c=+djn用系数行列式 中第 列元素的代数余子式依次乘以上述 个等式1nssjsb a=n此 个等式相加得jjdcd=即2 2 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算下页1 1

29、 向量的概念与运算向量的概念与运算3 3 逆矩阵逆矩阵4 4 分块矩阵分块矩阵5 5 矩阵的矩阵的初等变换初等变换与初等矩阵与初等矩阵6 6 矩阵的秩矩阵的秩7 7 向量组的线性相关性向量组的线性相关性8 8 向量组的正交化向量组的正交化第第1 1节节 向量的概念与运算向量的概念与运算 定义定义1 n个数个数a1，a2， ，an组成的有序数组组成的有序数组 (a1, a2, , an)，称为称为n维向量，记为维向量，记为a a，其中其中a i (i=1,2,n)叫做向量的第叫做向量的第i个分量个分量. . a a=(a1, a2, , an)，a1a2an. a a=写成列的形式，称为写成列的

30、形式，称为列向量列向量，记为记为n维向量写成行的形式，称为维向量写成行的形式，称为行向量行向量，记为记为下页1.1 1.1 向量的概念向量的概念下页 (-a1, -a2, , -an)t，为向量为向量a a的的负向量负向量，记作，记作 - a .a .称向量称向量 0, 0, , 0)t为为零向量零向量，记作，记作o . .称向量称向量如果向量如果向量a a=(a1, a2, , an)t与向量与向量b b=(b1, b2, , bn)t都是都是n维向量，且对应的分量都相等，则称它们维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等相等，记作，记作a ab. b.a1a2an a a=本教材约定向量的形

31、式为本教材约定向量的形式为列向量列向量，即即或记做或记做 a a =(a1, a2, , an)t向量满足以下向量满足以下8条运算规律条运算规律(设设a a、b b、g g都是都是n维向量，维向量，k、l为实数为实数): (1)a a +b b =b b +a a (2)a a +(b b +g g )=(a a +b b ) +g g (3)a a +o = =a a (4)a a +(a a) =o(5)(k+l)a a=ka a +la a(6)k(a a +b b)=ka a + kb b(7)(kl)a a= k(la a)(8)1a a=a a 1.2 1.2 向量的运算向量的运算

32、定义定义2 2 设设 , ,则则12,tna aa=12,tnb bb=（1 1） 1122,tnnab abab=+ 12,tnkka kaka=（2 2） （k为常数为常数）下页向量的加法向量的加法向量的数乘向量的数乘下页向量的减法向量的减法设设a a、b b都是都是n维向量，维向量， 利用负向量可定义向量的利用负向量可定义向量的减法减法为为: : a a b b , ,即对应分量相减即对应分量相减. .= a = a + ( b b )1202 ,1 ,1031= = =abgabg例例1设设,23+求abg .abg .解：解：23+abgabg12022311031=+2604310

33、91= +40.10=解：解：a a+ +2g g+(-a a)= =b b+(-a a) ；两边加；两边加a a 的负向量的负向量a a+(-a a) + +2g g = =b b+(-a a) ；交换律；交换律o+ +2g g = =b b-a a ；性质；性质4a a+(-a a) + +2g g = =b b-a a ；约定（减法）；约定（减法）2g g = =b b-a a ；性质；性质3*2g g = = * * b b-a a) ；数乘运算；数乘运算1g g = = * * b b-a a) ；恒等变换；恒等变换g g = = * * b b-a a) ；性质；性质8下页例例2设

34、设2,bg+且求ag.ag.122 ,1 ,03= = abab说明：说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别. .(计算结果，略计算结果，略.)定义定义3 设设a a= =(a1, a2, , an )t与与b b= =(b1, b2, , bn )t是两个是两个n维向量，则实数维向量，则实数称为向量称为向量a a和和b b的内积，记为的内积，记为(a , b a , b )，或，或a at t b b. .向量的内积向量的内积 例如，设例如，设a a= =( 1, 1, 0, 2)t，b b= =(2, 0,

35、 1, 3)t , 则则a a与与b b 的内积为的内积为(a , b a , b ) =(1)2+10+0(1)+23=4 .nnniiibabababa+=.2211111221(,).niinnia ba ba ba bab=+下页内积的性质内积的性质 设设a a，b b，g g为为rn中的任意向量，中的任意向量，k为常数为常数. (1) ( a,ba,b ) =b,ab,a ) ； (2) (ka,ba,b ) = = k ( a,ba,b ) ； (3) (a+b,ga+b,g ) = = ( a,ga,g ) + + ( b,b, g g ) ； (4) ( a,aa,a ) 0，

36、当且仅当，当且仅当a a= =o时，有时，有( a,aa,a ) = =0 .下页向量的长度向量的长度定义定义4 对于向量对于向量a a= =(a1, a2, , an )t，其长度，其长度(或或模模)为为22212|( , )naaaaa a=+ 例如，向量例如，向量a a= =( 1, 2, 0, 2)t的长度为的长度为2222|( , )( 1)2023aa a=+=向量长度的性质（了解）向量长度的性质（了解）下页(1): 00;aaa=非负性0，当且仅当时，有 (2): |()kkkaa=齐次性为实数 ；(3):,;aba bab柯西不等式 对任意向量 ， 有(4)+ .a bab三角

37、不等式： 长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量. 向量的单位化（标准化）向量的单位化（标准化）|aaaaaaa=000若非零向量 的长度不等于1，令，则为单位向量，称为 的单位向量。0aaa从 得到的运算称为向量 的单位化。下页 例例4n维单位向量组维单位向量组e e1，e e2， ，e en，是两两，是两两正交的：正交的：(e ei ,e ej ) = =0 (i j) . . 例例3零向量与任意向量的内积为零，因此零向量零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交与任意向量正交. .定义定义5 如果向量如果向量a a与与b b为非为非零向量，它们的夹角零向量，它们的夹

38、角 定义为：定义为： 若若(a a ,b b =0，则称向量，则称向量a a与与b b互相正交互相正交(垂直垂直), . .( ,)arccos|.|a bab=ab记作下页 定义定义6 如果如果m个非零向量组个非零向量组 a a1，a a2， ，a am两两正交，两两正交，即即 (a ai ,a aj )= =0(i j)，则称该向量组为，则称该向量组为正交向量组正交向量组. . 如果正交向量组如果正交向量组a a1，a a2， ，a am的每一个向量都是单的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为位向量，则称该向量组为标准正交向量组标准正交向量组. .下页 显然显然,例例4中中n维单位向量组

39、维单位向量组e e1，e e2， ，e en1100 = e e201 0 = e e00, 1n = e e为标准正交向量组为标准正交向量组.标准正交向量组标准正交向量组 在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组. .比如线性比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm (a11 a12 a1n b1) (a21 a22 a2n b2)(am1 am2

40、 amn bm)这些有序数组可以构成一个表这些有序数组可以构成一个表a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2am1 am2 amn bm这个表就称为矩阵这个表就称为矩阵. .2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念下页第第2 2节节 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算其中其中 aij 称为矩阵的第称为矩阵的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素. . 一般情况下，我们用大写字母一般情况下，我们用大写字母 a，b，c 等表示矩阵等表示矩阵. .m n矩阵矩阵a简记为简记为 a= =(aij)m n 或记作或记作 am n . .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1

41、am2 amn定义定义1 由由 m n 个个数数 aij(i= =1, 2, , m；j= =1, 2, , n)排成一个排成一个 m 行行 n 列的矩形表称为一个列的矩形表称为一个 m n 矩阵，记作矩阵，记作下页 如果矩阵如果矩阵a与与b的行数相等，列数也相等，则称的行数相等，列数也相等，则称a与与b是是 同型矩阵或同阶矩阵同型矩阵或同阶矩阵。 零矩阵零矩阵 所有元素均为所有元素均为0 0的矩阵称为零矩阵，记为的矩阵称为零矩阵，记为o. .行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵. .常用小常用小写黑

42、体字母写黑体字母 a，b，x，y 等表示等表示. .例如例如a=(a1 a 2 an)， b1b2bm b =.负矩阵负矩阵-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn称矩阵称矩阵为为a的负矩阵的负矩阵, ,记作记作 a. .下页b11b21 bn10b22bn2 00bnnb=.a=.a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann 如下形式的如下形式的 n 阶矩阵称为阶矩阵称为上三角形矩阵上三角形矩阵. .三角形矩阵三角形矩阵 如下形式的如下形式的 n 阶矩阵称为阶矩阵称为下三角形矩阵下三角形矩阵. .方阵方阵 若矩阵若矩阵 a 的行数

43、与列数都等于的行数与列数都等于 n，则称，则称 a 为为 n 阶矩阵，阶矩阵，或称为或称为 n 阶方阵阶方阵. .下页注意：注意： 区别区别方阵方阵与与行列式行列式数表数表数值数值a110 00a220 00anna= .对角矩阵对角矩阵 如下形式的如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵阶矩阵称为对角矩阵. . 对角矩阵可简单地记为对角矩阵可简单地记为a= =diag(a11, a22, , ann) . . 单位矩阵单位矩阵 如下形式的如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为阶矩阵称为单位矩阵，记为 en 或或 e. .10 0010 001e = . 定义定义2 矩阵相等：设矩阵相等：设a=

44、=(aij)，b= =(bij)为同阶矩阵，如果为同阶矩阵，如果aij= =bij(i= =1, 2, , m；j= =1, 2, , n)，则称矩阵，则称矩阵a与矩阵与矩阵b 相等，记作相等，记作a= =b . .下页2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算 定义定义1 设设a与与b为两个为两个m n矩阵矩阵a+ba11+b11 a12+b12 a1n+b1n a21+b21 a22+b22 a2n+b2n am1+bm1 am2+bm2 amn+bmn=. .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amna=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm

45、2 bmnb=， a与与b对应位置元素相加得到的对应位置元素相加得到的m n矩阵称为矩阵矩阵称为矩阵a与与b的和，的和，记为记为a+ +b. .即即c=a+b . .下页2.2.12.2.1矩阵的加法矩阵的加法 例例1设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3a= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8b = ，则3 5 7 22 0 4 30 1 2 3a+b=1 3 2 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+8=4 8 9 24 1 9 100 7 6 11.=矩阵的加法矩阵的加法：设设a= =(ai

46、j)m n与与b= =(bij)m n，则，则a+ +b= = (aij+ +bij)m n。下页 设设a,b,c都是都是m n矩阵矩阵.容易证明，矩阵的加法满足容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律如下运算规律： （1）交换律：）交换律： a+b=b+a;（2）结合律：）结合律：(a+b)+c=a+(b+c); （3）a+o=a，其中，其中o是与是与a同型的零矩阵同型的零矩阵; 矩阵的矩阵的减法减法可定义为可定义为: : nmijijba=+=)()( baba显然：若显然：若a=b，则，则a+c=b+c，a-c=b-c； 若若a+c=b+c，则，则a=b.（4）a+(-a)=o，其中，其中o

47、是与是与a同型的零矩阵同型的零矩阵. 下页a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amna=， 定义定义2 设设a= =(aij)为为m n矩阵矩阵则以数则以数k乘矩阵乘矩阵a的的每一个每一个元素所得到的元素所得到的m n矩阵称为数矩阵称为数k与与矩阵矩阵a的数量乘积，记为的数量乘积，记为ka. .即即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnka=. .2.2.2 2.2.2 数与矩阵的数法数与矩阵的数法下页矩阵的数乘矩阵的数乘： 设设a= =(aij)m n ，则，则ka=(kaij)m n . . 例例2设3 5 7

48、22 0 4 30 1 2 3a= ，则3a3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 = 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 = 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = . .下页(5) k(a+b)=ka+kb；(6) (k+l)a=ka+la ；(7) (kl)a=k(la)；(8) 1a=a . . 设设a，b，c，o都是都是m n矩阵，矩阵，k，l为常数，则为常数，则矩阵数乘的性质矩阵数乘的性质性质性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的，称为矩阵线性运算的8条性质条性质，须熟记，须熟记. .下页 例例3设3 5 7 22 0 4 30

49、1 2 3a= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8b = ，求3a2b . . 解：解：3a2b 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3= 31 3 2 02 1 5 70 6 4 822 6 4 04 2 10 140 12 8 169 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = . .7 9 17 62 2 2 50 9 2 7=92 156 214 6064 02 1210 91400 312 68 916 = 下页 例例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3a= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8b = ，且且a+ +2x= =b，求求x . 解

50、：解：a+ +2x+(-a)= =b+(-a) ；两边加；两边加a 的负矩阵的负矩阵a+(-a) + +2x = =b+(-a) ；交换律；交换律o+ +2x = =b-a ；性质；性质4a+(-a) + +2x = =b-a ；约定（减法）；约定（减法）2x = =b-a ；性质；性质3*2x = = * * b-a) ；数乘运算；数乘运算1x = = * * b-a) ；恒等变换；恒等变换x = = * * b-a) ；性质；性质8下页=52504110252221=2/512/5022/12/1012/511。 从而得从而得 x = = * *(b-a) 例例4已知3 5 7 22 0

51、4 30 1 2 3a= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8b = ，且且a+ +2x= =b，求求x . 说明：说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.解：解：下页 定义定义3 设设a是一个是一个m s矩阵，矩阵，b是一个是一个s n矩阵：矩阵：构成的构成的m n矩阵矩阵c 称为矩阵称为矩阵 a 与矩阵与矩阵 b 的积，记为的积，记为c= =ab . . 则由元素则由元素 cij= =ai1b1j+ +ai2b2j+ + + +aisbsj (i= =1, 2, , m；j= =1, 2, , n)

52、 a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsa=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnb=，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnab=. .即即2.2.3 2.2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法 下页 cij=ai1b1j+ai2b2j+ +aisbsj (i=1, 2, , m；j=1, 2, , n) . . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1

53、 cm2 cmn= ai1b1j+ai2b2j+ +aisbsj . .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注：注： a的列数等于的列数等于b的行数，的行数，ab才有意义才有意义; c的行数等于的行数等于a的行数，列数等于的行数，列数等于b的列数的列数. 因此，因此， cij 可表示为可表示为 a 的第的第 i 行与行与 b 的第的第 j 列的乘积列的乘积. .矩阵的乘法矩阵的乘法cij=下页下页= ai1b1j+ai2b2j+ +aisbsj . .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注：注： a的列数等于的列数等于b的行数，的行数，ab才有意义才有意义; c的行数等

54、于的行数等于a的行数，列数等于的行数，列数等于b的列数的列数. 因此，因此， cij 可表示为可表示为 a 的第的第 i 行与行与 b 的第的第 j 列的乘积列的乘积. .cij=反例反例设设b = . . 1 2 32 1 0a= ，0 10 11 21 51 2 32 1 0则则 ab= 0 10 11 21 5= 无意义无意义. .b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =678（1）先行后列法）先行后列法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5设设2 31 23 11

55、2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =678303（1）先行后列法）先行后列法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =678309735（1）先行后列法）先行后列法下页b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =538（2）先列后行法）先列后行法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：

56、2 31 23 11 2 32 1 0ab= =538 707（2）先列后行法）先列后行法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =538 707693（2）先列后行法）先列后行法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5设设2 31 23 11 2 32 1 02 31 23 11 2 32 1 0ba= =4983 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =678309735；通常采用：先行后列法通常采用：先行后列法下页 例例6设设a= ，4221b= ，求求a

57、b及ba . . 4 263ab=42214 263 解：解：32 16168=ba=42214 2630 000=b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解： ab =678309735, ba= =4983. .下页 例例6设设a= ，4221b= ，求求ab及ba . . 4 263ab= 解：解：32 16168，ba=0 000b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5设设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解： ab =678309735, ba= =4983. .显然，显然，1)1)矩阵乘法一般不满足交换律

58、，即矩阵乘法一般不满足交换律，即ab ba ; ; 2) 2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵， 从而不能从从而不能从ab=o，推出，推出a=o或或b=o . .下页1110 例例7设设a= ，b= ，求求ab及ba . . 2110 解：解：11102110ab=3110=21101110ba=3110= 显然显然ab=ba . . 如果两矩阵如果两矩阵a与与b相乘，有相乘，有ab=ba，则称矩阵，则称矩阵a与矩阵与矩阵b可交换可交换. .下页显然显然ac=bc，但，但a b .矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律.下页 121011,030400a

59、bc=则例例8设设101 10400bc=11.00=12110300ac=11,00=例例10. .1 0 00 0 00 0 1设设a =则则aa =1 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 1= a .显然显然aa=a，但但a e，a o . . 下页例例9 对于任意矩阵对于任意矩阵a, ,b及相应的单位矩阵及相应的单位矩阵e,有有ea=a,be=b. 对于任意矩阵对于任意矩阵a, ,b b及相应的零矩阵及相应的零矩阵o，有，有ao=o， ob=o.a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2a

60、m1x1+am2x2+ +amnxn=bm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm =例例11. . 线性方程组的矩阵表示（线性方程组的矩阵表示（矩阵方程矩阵方程）简记为：简记为： ax=b . .x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中，其中，a=，x=，b=下页应注意的问题应注意的问题 (1) ab ba ； (3) ab= =oa= =o或或b= =o ； / (2) ac= =bca= =b； / 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质方阵的幂方阵的幂 对于方阵对于方阵a及自然数及