同济大学第六版高等数学课件（上册）：D1_7无穷小比较

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,第七节引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 无穷小的比较目录 上页 下页 返回 结束 ,0limCk定义定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作目录 上页 下页 返回 结束 例如例如 , 当)(o0 x时3x2

2、6xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明: 当0 x时,11nx.1xn证证: 0limx11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx1,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb1x分子目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明: .1exx证证:, 1e xy令, )1ln(yx则,0,0yx时且01limexxx)1ln(lim0yyyyyy1)1ln(1li

3、m0eln11xx1e xx )1ln( 目录 上页 下页 返回 结束 因此 即有等价关系: 说明说明: 上述证明过程也给出了等价关系: )1ln(1lim10yyy目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052目录 上页 下页 返回 结束 设对同一

4、变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则和差代替规则: ,不等价与且若,则例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则.limlim且！时此结论未必成立注意例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(见下页例3) 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 因式代替规则因式代替规则:极限存在或有且若)(,x界, 则)(limx)(limx例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxx

5、x2132210limxxxx例例3. 求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式 目录 上页 下页 返回 结束 231x221x例例4. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明: 当 0 x时,.11lnxxx证证:利用和差代替与取大规则和差代替与取大规则说明说明时，当 0 x)1ln()1ln(11lnxxxx)(xxx)()(1ln()1ln(xxx不等价与)1ln()1ln(xxxx )1ln( 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小目录 上页 下页 返回 结束 2. 等价无穷小替换定理,0时当 xsin xtan xarcsin x,x,x,xcos1x,221x11nx,1xn思考与