不等式恒(能)成立求参数范围的方法教师版

1、由不等式恒(能)成立求参数范围的方法方法讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得岀相应的含参不等式求参数的取值范围：典型例题(1)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求岀函数的最值，从而求出参数的取值范国-典型例题(2)温馨提醒：在利用分离参数法的时候要特别注意参数前而的系数的符号问题，一般情况下在确保系数恒为 正或者负的时候适宜分离，否则需要分类讨论.(1) 已知函数 /.v)=av+ln .v, .v e 1, e.(1) 若求/(.v)的最大值；(2)若/(.、)W0恒成立，求实数。的取值范围.1 x+1解若 6T=1,则XV)=A+111X, / 0

2、X)=1+- = VxGl, e,(x)>0, J(x)在1, e上为增函数，“.小论二金尸。*.(2) 要使 xGl, e, /(x)W0 恒成立，只需 xGl, e时，金)皿£0,显然当 a2O 时，/(x)=ax+ln x 在1, e 上递增，/1>)11沐=/0)=< + 1>0,不合题意：当 a<0 时，(x)=a+Z='令广(x)=O, x=右，当 XV夕时，f (x)>0：当 x>夕时，/(A-)<0. 当一时，即 aW 1 时，心)在1, e上为减函数，/(x)max=Xl)=avO, ."£

3、 1； 当一时，即一时，心)在1，亡上为增函数，/(x)max=7(e)=ae+1 WO, aW g "=_?; 当1<i<e时，即一l<f7<右时Xx)在1. 一壬|上递增，在-占,e上递减，艸血丸一+)= 1 + 5(+)，W)<° 成立-由可得a一£(2) 已知函数/ x =£>vsin-a¥2.(1)求曲线y二/ x在点0,/ 0处的切线方程;若/W>0在区间;0,彳上恒成立，求”的取值范围.解(1)由/(x)=exsmx-,得/(0)=0由广(x)=ecosx+sinx)-2g 得广(0) =

4、 1,则切线斜率为 1 所以切线方程为y=x.(2) ( i )当x=0时，/(0)=0,所以aGR(ii )当OVxW斗时，“W兰尹TTIT当OVx<孑时，G©)VO, G(x)单调递减：当了<x<l时.G©)>0, G(x)单调递增；当 1 <xW号时，G©)VO, G(x)单调递减，又 G(0)=0, G(l)=cosl-sinl<0,_ £所以G3V0,即 ")V0,所以g(x)在(0,手上单调递减，$3鼻占)=芳,故aW等.祈题好题训练与理富1. 【2020年高考浙江卷9】已知"，且dbH

5、O,若(丫一0)(/)(/一加一)»0在/20上恒成立， 则()A. d<0B. a >0C. b<0D. b>0【思路导引】对d分d>0与“<0两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【解析】当d<o时，在xno上，xano恒成立，只需满足(/一/?)(尤一20-/?)»0恒成立，此时2a+b<b.由二次函数的图象可知，只有Z?<0时，满足(%-Z?)(x-2-Z?)>0, /?>0不满条件：当Z?vO时，在0,乜)上，兀一/?»0恒成立，只需满足(xd)(x2dZ?)nO恒成立，此时当

6、两根分别 为x = g和x = 2d+b(1)当 a+b> 0时，此时 0 Vd<2d+Z?,当 x»0 时，(x-a)(x-2z7-b)n 0 不恒成立，(2)当a+b<0时，此时2a+b<a 若满足(x-a)(x-2a-b)>0恒成立，只需满足当a+b = 0时，此时加+/? = d>0,满足(兀一°)(/一加一/?)»0恒成立,a=2ab>0r综上可知满足(x0)(兀一/?)(兀一2/?)»0在兀'0恒成立时，只有/?<0,故选C2. (2020-全国高三三模)已知当x>m,关于x的不等

7、式ix>- + 2nx恒成立，则加的取值范围为()xA. 1,-HX)B. 2,乜)C. (0,1D.(P,2 “丄l1 尺，2nx 1、 21nx 1x 2(x-xlnx-l)【解析】依题意，7?LV>- + 21nx,/.m>+ t 令g(x) =+ < 故g (x) =:XXX X"X令h(x) = x-xnx-i,则/(x) = -lnx,故当xwl,+oc)时./(x) = -lnx<0：C 1故g(x) =11 一o' _»故/(x)在_,1)递减，在(1 间递增，又/(-) = 一 <0, f(e) = -一 >

8、;0, ee e + ee 1 在h+°°)上单调递减'故也，&(")呦=g(l) = 1 »A .所以加的取值范用卩,乜).故选：A.3. (2020河北桃城衡水中学高三三模)已知“<0,不等式xa-ex+unx>0对任意的实数X> 1都成立,则实数d的最小值为()A. pB. 一°C.D.【解析】不等式变形为 xex>xa-anx),即 xex >nxa-elnxa，设 f(x) = xex (x>l),则不等式xa+l-ex+unx>0对任意的实数x> 1恒成立，等价于/(x

9、)>/(lnx-0)对任意x>l恒成立， f (x) = (x+l)b>0,则/(x)在(l,+oo)上单调递增，.-.x>ln.v-fl ,即x>-anx对任意x>l恒成立， .一& |恒成立，即一&亠| ,令g(x) = f-，则&©)=严斗(x>l)，k Inx)llnx丿minlnx(lnx)7当1 vxvw时，g'(x)vO, g(x)在(l,w)上单调递减，当时，g'(x)>o , g(x)在仏+8)上单调递增，x = e时，g(x)取得最小值g(e) = e , :.-a<e

10、,即a>-e, /.</的最小值是“故选：B4. (2020-安徽高三三模)若关于n的不等式(时2)0卫+刃4在区间丄，e &为自然对数的底数)上有 e实数解，则实数“的最大值是()1一2£(3-0)e(e - 2)A. -1B. -C. D. £(0 + 1)e-1e-1【解析】由(a + 2)x<x2 +anx9 M ax - In x) < x2 - 2x > 令 g(x)= x-lnx , xw丄，可，e则g©)= i-丄，则g(x)在1,1)递减，在(1疋递增，则g(x)ng(i)= i>0,xev2 _ o

11、ri即由a(x-nx)<x2-2x,得«<-一 xw 丄间有解，x- In xe设 f(x)= 1_, xw 一间，x - In xe则广(x) =x(x-lnx)2(2x 一 2)(x In x) (1 一 -)x2 一 2x) _ (x l)(x + 2 2 In x) (x 一 In x)2i2令"(x) = x + 2-21nx , xw -，可，则ux) = 1 ,ex故"(x)在丄,2)递减，在(2间递增，故M(x)>M(2) = 4-21n2>0fe 1故/叽= f(e)e2e .故虫 C ,即实数°的最大值为旷一&

12、quot;故选：D.0-1 0-1 -15(2020-福建髙三三模)已知函数g(x) = a-x2 (-<x<e, £为自然对数的底数)与/?() = 21nx的e图彖上存在关于x轴对称的点，则实数Q的取值范围是()B.B. +2D.0 L【解析】设/7(x)上一点M(心21nxJ, -<x0<e,且M关于尤轴对称点坐标为Mr(0,-21n%0), e令 f(x) = x2 -21nx-<x<-<x0 <f (x)±/.-2Inx0 = 6/-xjI -<x<I,有解，即XJ -21nx0 =a(- <x<e 有解,则 f'(x) = 2x-= 2(A + 1*(A -1* , -<x<exxe.当"*,1 j 时，f(x)<0；当 xe(,e时