MATLAB线性代数中的数值计算问题.

1、第五徘钱也代毅屮的【引例】求下列三阶线性代数方程组的近似解2x 5x2+ 4xy=5-X| + 5X2-2X3=6-x+2X2+ 4X3=5MATLAB程序为：在MATLAB命令窗口， 先输入下列命令构造 系数矩阵A和右端向量b：A = 2-5415-2-124b = 565然后只需输入命令x=Ab即可求得解x：x = 2. 76741. 18601.3188一、特辣矩阵的实现寺殊矩网的实现常见的特姝矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角 形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数屮具有通用性：还 冇一啖特殊矩阵在专门学科中冇用， 如有名的希尔们特(Hilbert)矩阵、 范徳蒙(Vandermonde)

2、矩阵等。1零矩阵:所冇元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可 以用zeros因数实现。QOS是MATLAB内部旳数，使用格式 如下：zeros(ni)：产生mm阶零矩阵；zeros(m,n)：产生mn阶零矩卩乍，当m=n时等同zeros(m)；z e r o s ( s i z e ( A ) )：产 生 与 矩 阵A同 样 夫 小 的 零 矩 阵 。2幺矩阵:所令元索值为1的矩阵称为幺矩阵。 幺矩阵可以用ones函数实现。它的调用格式与zeros函数一样。【例1】 试用ones分别建立3 2阶幺矩阵、和与前例矩阵A同样大小的幺矩阵。用ones2)建立一个32阶幺阵：% 个32阶幺阵ans =1

3、11 11 1殊矩旳的实现3单位矩阵:丄刈角线的元索值为1、其余元索值为0的 矩阵称为单位矩阵。它可以用MATLAB内部函数eye建立, 使用格式与zeros相同。4数量矩阵:主对角线的元素值为一常数d、其余元索 值为()的矩阵称为数锻知阵。显然，当0,则该对角线位于主对角线的上方第k条：当kVO,该対角线位于主对角线的卜方第Ikl条：当k=(),则等同于diag(V)。用diag建立的对角阵必是方阵。【例2】 已知向量v,试建立以向量v作为工对角线的 对角阵A：建立分别以向最v作为主对角线两侧的对角线 的对角阵B和C。MATLAB程序如下：V =1:2:3; %建立一个已知的向量AA=dia

4、g(v)A二1000 200 03B=diug (v,1)B =0100002000030000C-diag (v, -1)C = 0000100002000037从矩阵中提取某对角线我们也可以用diag从矩阵中提取某对角线构成 一个向量。设A为m n阶矩阵，diag(A)将从矩 阵A中提取其主对角线产生一个具有min(m,n)个 元索的向量。diag(A,k)的功能是：当k(),则将从矩阵A中提取位于主对角线的 上方第k条对也线构成一个具有n-k个元素的向屋; 当kVO,则将从矩阵A中捉取位于主对角线的下 方第Ikl条对角线构成一个具有m+k个兀素的向虽； 当k=0,则等同于diag(A)。

5、【例3】C知矩阵A,试从矩阵A分别提取主 对角线及它两侧的对角线构成向呈B、C和D。MATLAB程序如下：A=l 2 3:4 5 6：%建立个 L1 知的 2 3阶矩阵 A%按各种对角线惜况恂成向毀 B、C和 DBdiag (A)B =15Ceding(A. 1)C = 26D=diag (A. -1)D = 4&上三角阵：使用格式为biu(A)、triu(A,k)设A为m n阶矩阵，triu(A)将从矩阵A中提取 主对角线之上的上三角部分构成一个mn阶上三角阵:triu(A,k)将从矩阵A屮提取主对角线第Ikl条对角线Z上的上三角部分构成一个mn阶上三 角阵。 注意：这里的k与dia

6、g(A,k)的用法类似， 当k0,则该对角线位J：卞对角线的上方笫k条； 当kVO,该对角线位于主对角线的下方第Ikl条： 当k=0,则等同于triu (A)、特殊矩Pi的实现【例4】试分别用triu(A). triu(A,l)和、triu(A.T)从矩 阵A捉取相应的上三角部分构成上三角阵B、C和D。MATLAB程序如下：A=l 2 3;4 5 6:7 8 9;9 8 7;% -个已知的巾 3 阶矩阵 A*构成算种悄况的上三角阵 B、C和 DB=triu(AB = 123056009000C=tnu(A. 1)D=triu (A. -1)9下三角阵：使用格式为tril(A). tril(A.

7、k)El的功能是从矩阵A中提取下三角部分构成下三角阵。 用法与triu相同。、特殊矩网的实现10空矩阵在MATLAB里，把行数、列数为零的矩阵泄义为空矩阵。空矩 阵在数学怠义I：讲足空的，但在MATLAB电确是很冇用的。例如A=0. 1 0.2 0. 3;0. 4 0. 5 0. 6;B=find(Al. 0)B =这里I堤空矩阵的符号，B=fhKl(AI.O)衣示列出矩阵A中值人于1.0的兀素的序号。当不能满足括号中的条件时，返冋空矩阵。另外, 也可以将空矩阵赋给一个变鼠，如：B=B =与特征向量矩阵的特征位9特征向彊对于NN阶方阵A,所谓A的特征值问题是：求数几和N维非零向量x（通常为复数

8、），使之满 足下式：A.A.x=/Z x则称2为矩阵A的一个特征值（特征根），而 非零向量x为矩阵A的特征值久所对应的特征向量。对一般的NN阶方阵A,其特征值通常为复数，若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数。矩阵的特征值矩阵的特征值9特征向星MATLAB提供的内部函数eig可以用来计算特 征值与特征向量。eig函数的使用格式令五种，直 中常见的有E=eig(A)、V,D=eig(A)和V,D=eig(A,nobalance)三种，另外两种格式用 来计算矩阵的广义特征值与特征向量:E=eig(A,B)和V,D=eig(A,B)(1) E=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值, 构成

9、向量E；(2) V,D=eig(A)：Fheig(A)返回方阵A的N个特 征值，构成NN阶对角阵D,英对角线上的N个元 索即为和应的特征值，同时将返回和应的特征向量 赋予N N阶方阵V的对应列，且A、V、D满足AZV=VZAZV=VZ DxDx(3) VJ=eig(A, nobalance,)：本格式的功能与格 式样，只是格式是先对A作相似变换(balance),然后再求其特征值与相应的特征向星； 而本格式则事先不作相似变换；八矩阵的特征征向量(4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回N N阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E。(5) V,D=eig(A,B)：由eig(A.B)

10、返回方阵A和B的N个广义特征值，构成NN阶对角阵D, :ft对角线上的N个元索即为和应的广义特征值，同时 将返回和应的特征向量构成N N阶满秩矩阵，R满；dAZVMZVZVZ D Do o【例5】试用格式(1)求下列对称矩阵A的特征 值;用格式(2)求A的特征值和相应的特征向量, 且验证之。 A =1. 00001. 00000. 50001. 00001. 00000. 25000. 50000. 25002. 0000 :执行eig(A)将直接获得对称炬阵A的三个实特 征值：矩阵的特征值与特征向虽eig(A)ans =-0.01661. 48012.5365而下列命令则将其三个实特征值作为

11、向量赋予 变量E：E=eig(A)E =-0.01661.48012. 5365三、行列式的值九行列式的（rtMATLAB捉供的内部函数det川来计算矩阵的行列式的 值。设矩阵A为一方阵（必须是方阵），求矩阵A的彳亍列式 值的格式为：det（A）0注意：木函数同样能计算通过构造 出的稀疏矩阵的行列式的值。关于如何构造稀疏矩阵， 将在本章垠后一节介绍。【例6】利用随机函数产生-个三阶方阵A,然后计算方阵之行列式的值。A=rand(3) A =0.95010.48600. 45650. 23110. 89130.01850.6068det(A) ans =0.42890. 76210. 8214叨

12、、矩阵求送及其 线性代教方程组求解Ph矩阵求逆及共线性代数方程组求解1矩阵求逆若方阵A,B满足等式= =Z Q为单位矩阵）贝IJ称A为B的逆炬阵， 或称B为A的逆矩阵。 这 时A, B都称为可逆愆阵（或非奇异矩阵、或满秩 矩阵），否则称为不可逆矩阵（或奇异矩阵、或降 秩矩阵）。从 矩阵求逆及共线性代数方程组求解【例7】试用inv西数求方阵A的逆阵A赋值给B,且验证A与A 1是互逆的。A=l -115-4 3.2 1 1B=inv(A)B =-I. 40000. 20002. 60000. 1000-0. 2000-0. 60000 20000. 40000. 2000ans =1. oooo0

13、.00000.0000A*Bo. ax)o1. oooo0. OOOOans =0.00000.00001.00001. 00000. 00000. oooo0. (XXX)1.00000. oooo0. 00000. 00001. ooooI叭 矩阵求逆及K线件代数方程细求僧2.矩阵求逆解法利用求系数矩阵A的逆阵A*我们可以得到矩 阵求逆解法。对于线性代数方程纟flAx,等号两 侧各左乘A】，冇：AAl lAx=AAx=A 由于/仏=人故得：x=Ax=A b b【例8】试用矩阵求逆解法求解例6. 20中矩阵A为系数矩阵的线性代数方程纽Ar的解。A=l -1 1;5 -4 3;2 1 11;b

14、二2;3;1;x=inv(A) *bx =-3.80001. 40007. 2000从 矩阵求逆及斤线件代数方程细求解3.直接解法对于线性代数方程组Ax=b,Ax=b,我们可以运用左 除运算符“象解一元一次方程那样简单地求解:x=Ab牛系数越阵A为N*N的方阵时，M ATLA B会自行用高 斯消去法求解线性代数方程组。若右端项b为N的列向 量，则x二Ab可获得方程组的数值解x (N*l的列向量)；若右端项b为N*M的矩阵，则x=Ab对同时获得同一系数 矩阵A、M个方程组数值解x(为N*M的矩阵)，即x(:,j)=Ab(:,j), j=l,2,.Mo_i -1 r354 3=42 1 1.5阿、矩阵求逆及北线件代数方程纠求解从矩阵求逆及兀线件代数方程纽求餉解法1：分别解方程组(l)Ax=*l；(2)Ay=h(2)Ay=h2 2A=l -1 1;5 -4 3;2 1 1;bl=2;-3;l; b2=3;4;-5; x=Ably=Ab2-3.6000-2 20004 40007.2000得两个线性代数方程组的解:(1) xl= -3.8, x2= 1.4, x3= 7.2；