大学物理1-(3)平面曲线运动

1、1）掌握切向加速度、法向加速度的推导与公）掌握切向加速度、法向加速度的推导与公式，会式，会计算质点在平面内运动时的速度和加速计算质点在平面内运动时的速度和加速度度；2）掌握匀变速圆周运动的有关）掌握匀变速圆周运动的有关角速度、角加角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度的速度、切向加速度和法向加速度的计算。计算。 1.3 1.3 平面曲线运动平面曲线运动第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 自学：一、加速度为恒矢量时质点的运动方程自学：一、加速度为恒矢量时质点的运动方程已知一质点作平面运动已知一质点作平面运动, 其加速度其加速度 为恒矢量为恒矢量, 有有 aj

2、aiaayxtaddvvvv00ddtta积分可得积分可得ta0vvtayyy0vvtaxxx0vv写成分量式写成分量式第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应00rxyo221tart0vtrrttar00d)(d0vtrddv20021t atrrv积分可得积分可得jaiaayxta0vv20021tatyyyyv20021tatxxxxv写成分量式为写成分量式为tx0vty0v221tax221tay第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应自学：二、斜抛运动自学：二、斜抛运动 当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止当子弹从枪口

3、射出时，椰子刚好从树上由静止自由下落自由下落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子试说明为什么子弹总可以射中椰子 ?第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应求斜抛运动的轨迹方程和最大射程求斜抛运动的轨迹方程和最大射程cos00vvxsin00vvy已知已知 时时000 yx,0gaayx0txvyvvxvyvv0dxyotxcos0v2021singttyv0vx0vy0v第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应xyo0dd4 2220tan2cosgyxx v消去方程中的参数消去方程中的参数 得轨迹得轨迹tgd20m0v最大射程最大射程

4、02cos2dd200gdv实际路径实际路径txcos0v2021singttyv真空中路径真空中路径 由于空气阻力，实际射由于空气阻力，实际射程小于最大射程程小于最大射程.cossin2200gdv求最大射程求最大射程第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 1.3 1.3 平面曲线运动平面曲线运动一、自然坐标一、自然坐标第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应定义：定义： 作作圆周圆周运动的质点运动的质点每时每刻的每时每刻的速率速率相等，相等，这种运动称为这种运动称为匀速率圆匀速率圆周运动周运动。0)(rtr ( )v tv1vr

5、o 2vAB1、质点作匀速率圆周运动、质点作匀速率圆周运动二、圆周运动二、圆周运动第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应0limtta v 21vvv 1vro 2vv l 1v2vAABBO12vvv由加速度定义有：由加速度定义有：t 在在 时间内有时间内有又因为又因为AOB AOBvlvRvvltR t00limlimttvvlatRt 20limtvsvRtR 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应1vro 2vv l 1v2vAABBOnRvaan2 - 向心加速度向心加速度0 t0 dv的的方向方向垂直垂直 指向圆心。指

6、向圆心。v0 ta的的方向方向指向指向 的极限方向。的极限方向。av第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应定义：定义： 作作圆周圆周运动的质点每时运动的质点每时每刻的每刻的速率速率随时间变化，随时间变化，这种运动称为这种运动称为变速率圆周变速率圆周运动运动。1vro 2vABRtr )(AvBvCDE Fnv tv v tnvvv 0limnttvvatt 2、质点作变速率圆周运动、质点作变速率圆周运动第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 吗？吗？ vv()( )ttt vvvaccbv( ) tv()ttvvOabc讨论讨论)

7、()(tttvvvoaoc 在在Ob上截取上截取有有cbv tnvv速度方向变化速度方向变化acnv速度大小变化速度大小变化cbtv第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应1vro 2vABAvBvCDFE nv tv v 000limntnttvvaa na ttt 0limnntvat 0limtttvat Rvaann2 - 法向法向加速度。加速度。- 速度速度方向方向变化引起。变化引起。dtdvaatt - 切向切向加速度。加速度。- 速度速度大小大小变化引起。变化引起。第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应aanaA圆周运

8、动圆周运动加速度加速度222)()(dtdvRva tnaaarctan 00ntaa na t大小：大小：方向：方向：第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 同一质点的加速度无论在直角坐标还是自然坐同一质点的加速度无论在直角坐标还是自然坐标中总加速度标中总加速度 只能是一个值。只能是一个值。aaYYOOayaxanaA注意注意第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：种是正确的： （A）切向加速度必不为零；）切向加速度必不为零； （B）法向

9、加速度必不为零（拐点处除外）；）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； （E）若物体的加速度）若物体的加速度 为恒矢量，它一定作匀为恒矢量，它一定作匀变速率运动变速率运动 .a讨讨 论论第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应三三、质点圆周运动的角量描述质点圆周运动的角量描述引入引入：很多物体作圆周运动：很多物体作圆周运动各点的速度各点的速度 加速度不同，

10、用以往的速度、加速度描加速度不同，用以往的速度、加速度描述不便，为此引入角量描述。述不便，为此引入角量描述。第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应OX一）圆周运动的角量描述一）圆周运动的角量描述 1、角位置、角位置 （角坐标）（角坐标） 圆心到质点圆心到质点 所在位置的连所在位置的连线与参考方向之间的夹角线与参考方向之间的夹角a)一般规定逆时钟转动为正角位置；一般规定逆时钟转动为正角位置；( ) t (1)(1)(1)式为用角量描述圆周运动的式为用角量描述圆周运动的运动方程运动方程b）角位置的单位角位置的单位 常用弧度（常用弧度（ r a d）无量纲；无量纲；c

11、）当当质点随时间在圆周上转动时，质点随时间在圆周上转动时， 为时间的为时间的函数函数（先要规定参考方向）（先要规定参考方向）注意注意第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应2、角位移（、角位移（）质点在质点在 时间内质点转过的角度时间内质点转过的角度t12 a） 的单位为弧度的单位为弧度0 b）可以证明当）可以证明当 时时 可以当作可以当作 一个一个矢量矢量 dd1 2d d d 与转动方向符合与转动方向符合右手螺旋关系右手螺旋关系即定义了一个矢量即定义了一个矢量注意注意第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应3 3 、角速度、角速度

12、a）平均角速度平均角速度定义定义：t 注意注意：平均角速度不是矢量：平均角速度不是矢量b）瞬时角速度瞬时角速度定义：定义：1 2dtd OO第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应b ）单位单位srad /4 4、角加速度、角加速度 t a）平均角加速度平均角加速度（ ） 12 定义：定义：O1 2 tT+ t含义含义：反映一段时间内角速度变化快慢。：反映一段时间内角速度变化快慢。 c c ）有时角速度用转数有时角速度用转数n来表示。单位：转来表示。单位：转/分。分。与转动方向成右手螺与转动方向成右手螺 旋关系旋关系 a a）通常是画在坐标原点处。通常是画在坐标原

13、点处。注意注意第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应b) 瞬时角加速度瞬时角加速度（ ） 定义：定义：0limtdtdt dO12 tt+dtO21tt+dt 单位：单位： 2/ srad 方向：方向： 的极限方向的极限方向d第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应引入了角位置，角位移，角速度，角加速度，引入了角位置，角位移，角速度，角加速度，它们与位矢，速度，加速度一一对应。它们与位矢，速度，加速度一一对应。rr va 线量线量角量角量 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应利用积分法求质点作匀变速

14、直线运动时，运动学量之利用积分法求质点作匀变速直线运动时，运动学量之间的关系间的关系设设0;0,0vvxxt(2)20012xxv ta t0vva t22002 ()vva xx(3)(1)0;0, 0t利用积分法求质点作匀角加速圆周运动时，运动学量利用积分法求质点作匀角加速圆周运动时，运动学量之间的关系之间的关系(2)20012tt 0t 22002() (3)(1)第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应二）角量和线量的关系二）角量和线量的关系1）路程与角位置的关系）路程与角位置的关系sR .(1)2)线速度与角速度的关系线速度与角速度的关系dsvdt.(2

15、)3) 线加速度的大小与角加速度的大小的关系线加速度的大小与角加速度的大小的关系22nvaRR .(3)SROOS+dRdt R vnatdvadt RdtdR .(4)S+SROOa ana第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应ntaarctga a SOS+ anaRo22ntaaa 24 R.(5)第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应切向加速度与法向加速度大小相等；切向加速度与法向加速度大小相等；t 时，法时，法向加速度等于零。向加速度等于零。 例例1 质点沿半径为质点沿半径为R的圆周运动，其路径与时间的关的圆周运动，其路

16、径与时间的关系为系为221ctbts ，其中其中b，c都是正的常数，则都是正的常数，则t22222(/)()tnd svds dtbctacadtRRR ntbRaatcc0nbatcdsvbctdt解解第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应解解（1 1）212 ,dtdt24dtdt22222212 )(12 2 )0.1230.4/naRtRm s（224 )(24 2) 0.14.8/taRt Rm s （ 例例2 2 已知一质点作半径为已知一质点作半径为R R的圆周运动，的圆周运动，R R0.1m0.1m，运动方程运动方程 ，求，求(1) (1) t t

17、2s2s时，时，a an n，a at t? ? (2) a(2) at ta/2a/2时，时，? ? (3) (3) 当当t t ? ?时，时， a an na at t。 32 4 ()t rad 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应解解（2 2）2224(12 )144naRtRRt (24 )24taRt RRt 24211,24(24)(144)22taaRtRtRt当当时时22242(24)(144)ntaaaRtRt解上式，得解上式，得 t=0.66s, 3.153.15radrad 例例2 2 已知一质点作半径为已知一质点作半径为R R的圆周运

18、动，的圆周运动，R R0.1m0.1m，运动方程运动方程 ，求，求(1) (1) t t2s2s时，时，a an n，a at t? ? (2) a(2) at ta/2a/2时，时，? ? (3) (3) 当当t t ? ?时，时， a an na at t。 32 4 ()t rad 第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例2 2 已知一质点作半径为已知一质点作半径为R R的圆周运动，的圆周运动，R R0.1m0.1m，运动方程运动方程 ，求，求(1) (1) t t2s2s时，时，a an n，a at t? ? (2) a(2) at ta/2a/2时，时，? ? (3) (3) 当当t t ? ?时，时， a an na at t。 32 4 ()t rad 解解（3 3）2224(12 )144naRtRRt(24 )24taRt RRt4,24144tnaaRtRt当时解上式，得解上式，得 310.556tts ，第十五章第十五章 机械波机械波15 8 15 8 多普勒效应多普勒效应 例例3 一质点沿半径一质点沿半径9m的圆周作匀变速运动，的圆周作匀变速运动，3秒内秒内由静止绕行由静止绕行4.5m，则质点的加速度矢量，则质点的加速度矢量 （1） ，及量值，及量值a （2） 。2