大学物理上刚体定轴转动01

1、第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）组）刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动平动Translation ：若刚体中：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线们的初始位置

2、间的连线 .2.12.1、刚体及刚体的运动、刚体及刚体的运动Rigid bodys rotational motion about a fixed axis 2.1.1 2.1.1刚体刚体 ( (与质点同为与质点同为理想模型理想模型) ) 2.1.22.1.2刚体的运动刚体的运动Motion第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院 转动转动Rotation：刚体中所有的点都绕同一直线做：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 第二章第二章

3、 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+Centroid Translation + Rigid Body Rotation第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院xz参考平面参考平面)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标约定约定r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动r沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tttddlim0角速度矢量角速度矢量Angular velocity 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向参考

4、轴参考轴2.1.3 2.1.3 刚体转动的描述刚体转动的描述Description of Rigid Bodys Motion第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院角加速度角加速度Angular accelerationtdd1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 .,a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一维转动）的转动方向可维转动）的转动方向可以用角

5、速度的正负来表以用角速度的正负来表示示 .00zz第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院2.3、刚体定轴转动定律、刚体定轴转动定律Rigid bodys dynamics: rotation about a fixed axis 2.3.1 力力 矩矩 Torque Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F

6、0,0iiMF0,0iiMFFFFFM第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 F2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFF第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院3） 刚体内作用力刚体内作用力

7、Action forces和反作用力和反作用力reaction forces的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院Ormz2.3.2 转动定律转动定律The law of rigid bodys rotation FtFnFsinrFM mrmaFtt2iejjjjrmMM2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFiM 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接m外外力矩力矩内内力矩力矩2mrM 2tmrrFMOzjmjrjFejFi第

8、二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 .2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMM)rmMjjjj2e( 转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量mrJd2OzjmjrjFejFi第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院mrJrmJjjjd,222.3.3 转动惯量转动惯量Moment of Inertia 物理物理意

9、义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量If the mass is discretely distributed 2222112rmrmrmJjjj转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量If the mass continuously distributed mrrmJjjjd22：质量元：质量元md第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度the linear den

10、sity of mass lmdd2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度the area density of massSmdd2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度the volume density of mass Vmdd：质量元：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院质点和刚体的对应关系质点和刚体的对应关系质点质点刚体刚体Sdtdsv dtd22dtsddtdva22dtddtdatvvt0

11、tt0asvvt22022202tmaF JM 第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院练习题练习题1、一飞轮以、一飞轮以600 rev/min的转速旋转，转动惯量为的转速旋转，转动惯量为2.5 kgm2，现加，现加一恒定的制动力矩使飞轮在一恒定的制动力矩使飞轮在1 s内停止转动，则该恒定制动力矩的内停止转动，则该恒定制动力矩的大小大小M_ 157N.m2、一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量、一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J3.0 kgm2，角速，角速度度06.0 rad/s现对物体加一恒定的制动力矩现对物体加一恒定的制动力矩M 1

12、2 Nm，当物体的角速度减慢到当物体的角速度减慢到2.0 rad/s时，物体已转过了角度时，物体已转过了角度_4.0 rad3、半径为、半径为R具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质量为量为m的物体绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动的物体绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动若物体下落的加速度为若物体下落的加速度为a，则定滑轮对轴的转动惯量，则定滑轮对轴的转动惯量J_ m(ga)R2 / a第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院 4、一圆柱体截面半径为、一圆柱体截面半径为r

13、，重为，重为P，放置如图所示它与，放置如图所示它与墙面和地面之间的静摩擦系数均为墙面和地面之间的静摩擦系数均为1/3若对圆柱体施以若对圆柱体施以向下的力向下的力F2P可使它刚好要反时针转动，求可使它刚好要反时针转动，求(1)作用于作用于A点的正压力和摩擦力，点的正压力和摩擦力，(2)力力 与与 之间的垂直距离之间的垂直距离dFP A R B R F R r R O R P d R A R B R F r R fB P d R fA NB R NA R NA =0.9P ， fA =0.3P d = 0.6 r 第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程

14、大学理学院 5、长为、长为L的梯子斜靠在光滑的墙上高为的梯子斜靠在光滑的墙上高为h的地方，梯子的地方，梯子和地面间的静摩擦系数为和地面间的静摩擦系数为m，若梯子的重量忽略，试问，若梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方，梯子就会滑倒下来？人爬到离地面多高的地方，梯子就会滑倒下来？ L R h R N1 h R N2 R P R R x R f 222/tghLhhx第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmddlrrJ02d

15、rd32/02121d2lrrJl231mlrrrmrJddd22 例例1 一质量为一质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .mlrd2l2lO O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院OROR4032d2RrrJRr dr 例例2 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .mR 解解 设圆盘面密度为

16、设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院2mdJJCO平行轴定理平行轴定理Parallel Axis Theorem P 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形形状及转轴的位置状及转轴的位置 . 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对任一与该轴平行，相

17、距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CJmddCOm注意注意2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴轴的转动惯量的转动惯量RmO第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院 例例3 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一

18、半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它

19、们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCm第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程 . yOT2FBPBmT2FT1FCPCF第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院2CBABmmm

20、gma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院（3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律fM结合（结合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T2T2FBPBmAP

21、T1FNFAmT2FT1FfM第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院例例4：如图，质量为：如图，质量为m，长为，长为L的匀质细杆，在水平的匀质细杆，在水平面内可以绕固定点面内可以绕固定点O逆时针转动。细杆与水平面之间逆时针转动。细杆与水平面之

22、间的滑动摩擦系数为的滑动摩擦系数为 。求：摩擦力对于求：摩擦力对于O点的力矩。点的力矩。OL第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院解：取一微分元解：取一微分元dl，则，则dm= dl， = m/Lgdmdf方向如图方向如图dm对对O点的力矩为点的力矩为:)()()(kdlglkgdmlkdflf dlMd)(21)(0kmgLkdlglMdMLOdldfzxyl第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院例例5：一根长为：一根长为l，质量为，质量为m的匀质细杆，一端与光滑的匀质细杆，一端与

23、光滑的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定的水平轴相连，可在竖直平面内转动，另一端固定一质量也是一质量也是m的小球，且小球半径的小球，且小球半径Rl。设杆由水平。设杆由水平位置自由释放。位置自由释放。求：杆下摆至任意角度时的角速度和角求：杆下摆至任意角度时的角速度和角 加速度加速度 mgmgO第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院解：细杆在下摆过程中，重力矩作用杆的质心处，解：细杆在下摆过程中，重力矩作用杆的质心处，即：即：cos21lmgM小球的重力矩：小球的重力矩：cos2lmgM由转动定律：由转动定律：222131mlmlJJ

24、JJMM球杆所以有：所以有：)31(coscos222mlmllmglmg即：即：lg8cos9第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院即：即：dlgdlgdddtddddtd8cos98cos9即：008cos9dlgd解得：解得：lg4sin9第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院例例6、质量为、质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，转动惯量为固定光滑轴转动，转动惯量为1/2Mr2，绕过盘的边缘挂有绕过盘的边缘挂有质量为质量为m，长为，长为l的匀质柔软绳索（如图）设绳与圆盘的匀质柔软绳索（如图）设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速时，绳的加速度的大小度的大小 rSMa第二章第二章 刚体定轴转动刚体定轴转动基本概念与转动定律基本概念与转动定律哈尔滨工程大学理学院rSMaOx2x112解：选坐标