2016年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)AKAlMl

1、2016 年江苏数学高考试题数学 I试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱 =Sh , 其中 S 是圆柱的底面积， h 为高。1圆锥的体积公式：V 圆锥 Sh , 其中 S 是圆锥的底面积， h 为高。、 3一、填空题：本大题共14 个小题 ，每小题 5 分 ,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合 A 1,2,3,6, B x| 2 x 3,则AI B=2.复数 z (1 2i)(3 i), 其中 i 为虚数单位，则z 的实部是 _ _.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线2 21 的焦距是3. 工734.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是

2、_ _ .5.函数 y= . 3-2x- x 2 的定义域是 .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 7.将一颗质地均匀的骰子( 一种各个面上分别标有1，2，3,4， 5, 6 个点的正方体玩具 ) 先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是.8.已知 an是等差数列， S 是其前 n 项和 .若 a+ a22=- 3，S=10 , 贝 U a9 的值是.9.定义在区间 0,3 n 上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cos x 的图象的交点个数是.22b10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中， F 是椭圆务 % 1(a > b> 0) 的右焦点，直线y

3、 与椭a b2圆交于 B,C 两点，且BFC 90 o ,则该椭圆的离心率是(第 10 题)11. 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为a, 10,2 的函数，在区间 -1,1) 上,f(x)苴x ,0/ 、1,中 a R. 若 f ( 5 )f ( 9)，则 f(5a ) 的值是 _22x 2y 43x y 312. 已知实数 x, y 满足 2x y 2 00，则 x2+y2 的取值范围是 _ 013.如图，在厶 ABC 中,D是BC的中ujur UJUuuu uuE, F 是 AD 上的两个三等分点， BC CA4 , BF n点,uuu uuuCFsin A=2sin Bsin

4、C,贝 U tan Atan Btan C 的最小值二、解答题 ( 本大题共 6 小题 ,是共 90 分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)15. ( 本小题满分14 分)4C= n在厶 ABC 中， AC= 6, cos B = ,5(1)求 AB 的长;(2) 求 cos(A-n) 的值 .16. （本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱ABGABG中， D, E 分别为 AB, BC 的中点，点F 在侧棱 BB 上，且 Bi D A ,F ,AC i A Bi.ClBiFA（第16 ）求证：（ 1）直线 DE/ 平面 ACF ;（2）平面B iDEL

5、 平面 A G IF.17. （本小题满分 14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P AB 1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD AB 1C1D1 （如图所示 ），并要求正四棱柱的高PO 1 的四倍 .若 AB 6m, PO 12m, 则仓库的容积是多少？（1）若正四棱柱的侧棱长为6m, 则当 PO 1 为多少时，仓库的容积最大？D-41CAB(K17 S)18. （本小题满分16 分）x220y 12x 14y 60如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M及其上一点 A(2, 4)（ 1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，且圆心

6、 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程 ; 设平行于 0A 的直线 I 与圆 M 相交于 B、 C 两点，且BC=OA 求直线 l 的方程 ;ULT ULTuu设点 T（ t,o ）满足：存在圆M 上的两点 P 和 Q,使得TA TP TQ,r,求实数 t 的取值范围。1o(第is x19. ( 本小题满分 16 分 )￥V1,b 1).f(x) a b (a 0,b 0,a已知函数1(1) 设 a=2, b= 2 .求方程f( X) =2 的根 ；若对任意 x R 不等式 f (2 x)mf(x) 6 恒成立，求实数m 的最大值 ; ，2 有且只有1 个零点，求ab 的值。(2) 若

7、 0 a 1,b >1，函数 g x f x20. ( 本小题满分 16 分)记 U 1,2, -,100 .对数列 an nN* 和 U 的子集 T, 若 T,定义 ST 0 ;若T如上2, 1 tk ，定义Sya t1a t2+a tk .例如： T = 1,3,66 时， ST a 1 a 3+ a 66 .现设an n N * 是公比为 3 的等比数列，且当T= 2,4 时， ST =30 .求数列 an 的通项公式；k 1 k 100 T1,2, ，kS ak 1 ；(1)对任意正整数，若，求证：( 3) 设 C U ,D U,S c SD ,求证： SC SCI D 2SD数

8、学 n ( 附加题 )21. 【选做题】本题包括A B、C、D 四小题，请选定 . 其中两小 . 题. ，并在相应的答题区域内作答?若多做，则按作答的前两小题评分?解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 【选修 4 1 几何证明选讲】（本小题满分10 分）如图，在ABC 中， /AB （ =90°, BDLAC D 为垂足， E 是 BC 的中点，求证： /EDC /ABDB. 【选修 4 2: 矩阵与变换】（本小题满分10 分）12 11-已知矩阵 A,矩阵 B 的逆矩阵 B 1= 12 ，求矩阵AB0 20 2C. 【选修 44: 坐标系与参数方程】（本小题满分10 分）x

9、1 -t在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 I 的参数方程为_2 （t 为参数），椭圆 C 的y2参数方程为x cos ，（为参数） ?设直线I 与椭圆 C 相交于 A,B 两点，求线段AB 的y 2si n长?x cosD. 设 a>0, |x-1| v a , |y-2| v a，求证： |2x+y-4| v a.33【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线I : x-y-2=0, 抛物线 C ： y=2px （

10、p> 0）.（1）若直线 I 过抛物线 C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2） 已知抛物线 C 上存在关于直线I 对称的相异两点P 和 Q 求证：线段PQ 的中点坐标为（ 2- p,-p）; 求 p 的取值范围 .23. （本小题满分 10 分）（ 1）求 7C： - C；的值 ;(2) 设 m n N* ,nm 求证 :(n+1 ) C：+ ( m +2 ) C ：+1+( m+3)C： +2+nC ：T+(n+1) C：= ( m +1 ) C ：；参考版解析一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分?请把答案填写在答题卡相应位置上已知集合A 1,2,3,6 ,B

11、x| 2 x 3 ，则AI B_?1,2 ；i.由交集的定义可得AI B 1,2 .复数 z 1 2i 3 i ，其中 i 为虚数单位，则z 的实部是_ .5；ii.由复数乘法可得 z 5 5i ，则则 z 的实部是 5.22在平面直角坐标系xOy 中，双曲线-L 1 的焦距是732、币 ;iii.c ab2、10 ,因此焦距为 2c 2.10 .已知一组数据 4.7 ,4.8 , 5.1,5.4,5.5, 则该组数据的方差是_0.1；iv.21 222220.300.30.40.1 .x 5.1 , s 0.45函数 y ? 3 一 2x x2 的定义域是_ .3,1 ；2 . _v.3 2

12、x x > 0, 解得 3< x<1，因此定义域为3,1 .如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是开始a 1- b b 2Y输出 a结束9;vi.a,b 的变化如下表 :a159b975则输出时 a 9 ?将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 _ ?5 ； ?6vii.将先后两次点数记为x,y ，则共有 6 636个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有 4,6 , 5,5 , 5,6 , 6,4 , 6,5,6,6六则点数之和小于10 共有 30 种，概率为种，305

13、366已知an 是等差数列， Sn 是其前 n 项和. 若 a23, S510 ,则 a9 的值是.1 a220；viii.设公差为 d，则由题意可得 Q Q2 d3 ,5a 1 10d10 ,解得 a14 ,d 3 ，则 ag4 83 20定义在区间 0,3 n 上的函数 y sin2x 的图象与 y cosx 的图象的交点个数是_7；ix.画出函数图象草图，共7 个交点 .如图，在平面直角坐标系xOy 中， F 是椭圆 2 2 1 a b 0 的右焦点，直线 y号与椭圆交a b于 B,C 两点，且 BFC 90，则该椭圆的离心率是_ .x.由题意得 Fc, 。，直线 y 夕与椭圆方程联立可

14、得B3a b<3 a b2,_2，uuuuniuiu3a由 BFC 90可得 BFCFBF2,则 c23a2-b2由 b22可得芦2c44x 是定义在R 上且周期为2 的函数，在区间1, 上 f x1其中 a R ，若 f9f - ，贝 U f 5a 的值是225；xi.由题意得 f5222由 f5f -可得 -a ，贝 U a3522210则 f 5af 3f 1321 a 1 -55x 2y 40,已知实数 x,y 满足 2x y 20,则 x22y 的取值范围是3x y 30,4 ,13；5xii. 在平面直角坐标系中画出可行域如下uni3aCFc26则 eV33ax a,1 x

15、0,2-x,0x1,5x2 y2 为可行域内的点到原点距离的平方.可以看出图中A 点距离原点最近，此时距离为原点A 到直线 2x y 20 的距离 ,2y min图中 B 点距离原点最远 ,B 点为 x2y 4 0 与 3x y 30 交点，则2,3则 x2 y213-max如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点 ,uuuuiuuiuuiE, F 是 AD 上两个三等分点 ,BACABFCFuuu uuiBECE 的值是7 . .8uurr uuiruur黑xiii.3a r令 DFa ,DBb，贝 U DCunrr b ,nilrr b ,uuurr uui b,r rinnr ruu

16、iu r4 r则 BA3aCA 3aBE2aCE2a b, BF a b ,CF -nnunr 2 uurUULr2r2UJUr22B则BACA9ab ,BFTabrCFBE CE4ab ,uur luuLuu UJLT13由 BACA4, BFCF8uui uuur 25137因此 BE CE4a8 88在锐角三角形ABCsin A 2sin BsinC，贝 U tan AtanBtanC的最小值是_8；中 ,xiv. 由 sin A sinn Asin B Csin B cosCcosBs inC, si nA 2si n BsinC,可得 sinBcosCcosBsinC2sin Bsi

17、nC( *),由三角形 ABC为锐角三角形，贝U cosB 0,cosC 0 ,在( *) 式两侧同时除以cosBcosC可得 tanB tanC 2tan BtanC ,tan A tannA tan B Ctan B tanC1 tanBtanC ( #) ，tanAtan BtanCtanB tanCtan BtanC ,1 tan Bta nC2tanB tanC 2tanBtanC2 tan BtanC可得 tan AtanBtanC1 tanBtanC '令 tanBtanC t，由 A, B,C 为锐角可得tan A 0,tan B 0,tan C 0 ,由 (#)得 1

18、 tan Bta nC 0 ,解得 t 12t 2tan Atan BtanCn4，由1，因此 tanAtanBtanC最小值为 8,t2当且仅当2时取到等旦此时 ta nBtanC4， tan BtanC 2 ，号，解得 tanB2. 2, tanC2 . 2, tan A4 （或 ta n B,ta nC 互换），此时 A,B,C 均为锐角 .二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分 . 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（本小题满分14 分）在厶 ABC 中， AC 6 ,cos B求 AB 的长;求 cos A n 的值 .6 5 2 ;(2) 7-

19、2一2041.Q cosB-, B 为三角形的内角5sin BACsi nCsin BAB3，即： AB52 ；二 52a) cos Acos C B sinBsinCcosB cosCcos A 二10又 QA 为三角形的内角sin A7 210cos A-IcosA isi nA2220卩 6（本小题满分I4 分）如图，在直三棱柱ABC ABiG 中， D,E 分别为 AB,BC 的中点，点F 在侧棱 B iB 上 ,且 BiDA F ,AC 1 Ai Bi .直线求证：DE / 平面 AGF ；平面 B1DE 平面 A1C1F .见解析 ;2.Q D,E 为中点，DE 为 ABC 的中位

20、线DE/AC又 Q ABC ABiG为棱柱 ,AC AC iDE/AC i，又Q A 1C1 平面A1C1F，且DE AC 1FDE/ 平面 AC iF ;Q ABCABiG 为直棱柱，AA平面AB iGAAAC 1，又Q AC 1 Ai Bi且 AA 11 AiBi A ,AA , Ai Bi 平面AA 1B1BAC 1平面 AABB ,a)又 Q A iF 平面 AA iBiB, DEAF（本小题满分又 Q A iF B iD , DE IiDD，且 DE, B iD 平面 Bi DEI4 分）B现需要设计一个仓库，平它面由上下两部，分又组成，上部分的形状是正四棱锥AiFBi DEQ AF

21、AC iF平面 DE 平面 AGF .又 Q DE/A 1C1 ,DE平面 AAIBI BA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD A 1B1C1D1 （如图所示），并要求正四棱柱的高OQ是正四棱锥的高POi 的 4 倍.Ci若 AB 6m ,PO i 2m ，则仓库的容积是多少；若正四棱锥的侧棱长为6m ，当 PO i 为多少时，仓库的容积最大? 312 m 3 ； 2 3m ；3.PO12 m ，则 OO t 8 m ,VP_ 1= SABCD P °1AB1G D 1V = VP A 1B1C1D1VABCD A1B 1C1D1故仓库的容积为312 m 3 ；a）设 P

22、O 1 xm ，仓库的容积为162 2243= SABCD8288 m ,VABCD A 1B1C1D1OO 16m ，312 m 3V（x）则 OO 1 4xm , AO 122 3636x m , AB!VP AB1C1D1 = 1SABCD.72 2x212x324x3-72x3ABCD A | BC =S A BCD OO i72 2x 24x 288x 8x 3V x =Vp AB qq ABCD A 1B 1C 1D124x3288x8x3312x 0VV' x26x 23122612 0x6 ,0,2 3时， V'x 单调递增 ,2 .3,6时， V'x

23、单调递减 ,因此 ,当 x 23 时,x 取到最大值 ,即 P。！2 3m 时，仓库的容积最大 .（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆 M :x2 y2 12x 14y 60 0及其上一点A 2,4 . 设圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程；设平行于 OA 的直线 I 与圆 M 相交于 B,C 两点，且 BC OA ，求直线 I 的方程；uir uir uur设点 T t,0 满足：存在圆M 上的两点 P 和 Q，使得 TA TP TQ ，求实数 t 的取值范围 .y 1 21 y 2x 5 或 y

24、2x 15 2 2 、 21,2221 ；4.因为 N 在直线 x 6 上，设 N 6, n ，因为与 x 轴相切，则圆 N 为 x6? yn?n 2, nO2 2又圆 N 与圆 M 外切，圆 M : x 6 x 725 ,. .22则 7 n| |n 5，解得 n 1 ，即圆 N 的标准方程为 x 6 y 11 ；a）由题意得 OA 2 ? .5，koA 2 设 l : y2x b ，则圆心 M 到直线 l 的距离5 b127 b 22 1则 BC 2 5 d2BC 25，即 2252.5 ，解得 b 5或 b 15，即 ly 2x 5 或 y 2x 15;uiruruuuuir uuuur

25、uuruurTPPQ，即 松PQTATPTQ ,即TA TQurI2TA242 ,uur又 PQ w 10,即?.t 2242w10,解得t 2 21,22.H ,uiruuu对于任意t2 2.21,22 21，欲使TAPQ,此时TA 10 , 只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为综上 t 22、21,2 2.21必然与圆交于P、Q 两点，此时 TAuuuuir UJUPQ，即 TA PQ ,因此对于任意 t2 2. 21,2221 ，均满足题意 ,（本小题满分14 分）已知函数 f xax bx a 0,b 0,a 1,b1 .1设 a 2 , b 丄.2求方程 f x 2 的

26、根 ;若对于任意x R ，不等式f 2x > mf x 6恒成立，求实数m 的最大值;，函数gx 2有且只有1 个零点，求ab的值.x 0: 5.2可得 2Xx 22X2X由题意得22x 12x6恒成立,2矛令 t 2 X1x0 可得 t > 2 2 X1歹，则由22X此时 t22 > mt 6 恒成立，即m <t244t- 恒成立t?/ t >2 时 t 4 > 2 t4当且仅当2 时等号成立 ,因此实数 m的最大值为 4 .Xf x 2X? XXXXln abg xa b2 , g' xa In ab l n b a In bln ba由 0 a

27、 1 ,b1 可得-1，令 hX bIn a，则h x递增 ,Xaaln b而 In a 0,ln b0 , 因此 x0log bIna 时 hX00 ,aInb因此 X,X0时， h x0 , ax In b0 , 则 g'x 0 ；XX0 ,时， h x 0,ax In b0 ,则 g':X0 ；则 g x 在,x0递减， X。， 递增，因此 g x 最小值为 g X 。,若 g x o0,x log a 2 时， ax aloga22, bx 0, 则 g x 0X log b2 时， ax 0 ,bx b logb2 x log b 22，则 g x 0 ；因此论 lO

28、g a 2 且人 X 。 时， g 论在冷怡有零点 ,x log b 2 且 x xo 时,g X 20 , 因此 g x 在xo,X2 有零点 ,则 g x 至少有两个零点 ,与条件矛盾 ;若 g X 00，由函数 gx 有且只有1 个零点， gx 最小值为 g X o ,可得 g X 00 ,由 gO a 0 b020 ,因此 xo 0 ,因此 log b 兰0，即 1，即 In a In b 0,a In bIn b因此In ab 0 , 则 ab 1 .( 本小题满分14 分)记 U1,2,L ,100 ?对数列an( n N ) 和 U 的子集 T , 若 T定义0 ；若 Tt1,t

29、2 ,L ,t k，定义 STat, at2 Latk . 例如： T 1,3,66时，aa 3a 66现设 an (n N ) 是公比为3 的等比数列，且当T 2,4 时， ST30求数列 an 的通项公式； 对任意正整数 k ( 1< k <100 ), 若 T 1,2,L ,k ，求证： Sp ak1 ；设CU, DU,SC>S，求证 :SCSCID A 2SD .Dn 1 an 3 : 详见解析；6.当 T2,4 时， ST a2a4 a29a 230 ,因此 a23，从而 a1电1 ,an 3n1 ；3k2k131a) ST W ai a2 Lak 1 33 L33

30、 ak 1 ；2i.设 Aec CI D, BeD C I D，则 AIB, SCSA SCID , SDSBSCID ,SC SCI D 2SD SA 2SB，因此原题就等价于证明SA> 2SB.由条件 SC >SD可知 SA> SB . 若 B，则SB0，所以SAA 2SB. 若 B，由SAA SB可知 A，设 A 中最大元素为 1 ,B 中最大元素为 m ,若 mA I1,则由第小题，S AaI 1W am W SB ,矛盾 .因为 AIB，所以 1 m ,所以 1A m 1 ,mam 1aSA2m 131隹 W a 1a2L am 1 33 L 3 WW ，即2222

31、SA2SB .综上所述，SA A2SB，因此 SCSCID A 2SD ?数学 ( 附加题 )选做题 本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A . 选修 4-1 : 几何证明选讲 （本小题满分10 分）如图，在AABC 中， ABC 90 , BD AC , D 为垂足 , 求证：E 是 BC 中点.EDC ABD .详见解析；XV.xvi.由 BDAC 可得 BDC90,1由 E是BC 中点可得DECE-BC,2则EDCC,由BDC90 可得CDBC 90,由ABC90 可得ABDDBC 90因此ABDC ,又EDCC 可得EDCABD .B . 选修 4-2 : 矩阵与变换 （本小题满分10 分）1 21已知矩阵 A102，矩阵 B 的逆矩阵 B2，求矩阵 AB .0 211 22B B 12 2，因此 AB0 12 2选 4-4:坐标系与参