基于Floyd算法的道路指示牌解决方案

1、基于Floyd算法的道路指示牌解决方案绪论 中国拥有13亿人口，960万平方公里的国土面积，仅次于加拿大又略大于美国；中国公路通车里程达185万公里，铁路里程达7.43万公里。在过去的20年里，我们在经济领域取得了巨大的成就，保持了强劲快速的增长态势。在中国经济增长的带动下，中国公路客运交通获得了快速发展，并以每年78的速度持续增长。与此同时，中国汽车拥有量和驾车者也都有爆发性增长；而物流运输、集装箱运输在过去的10年里增长了30。由此可以看出，汽车产业和交通运输在中国的迅猛增长。 为了满足不断增长的交通运输，高速公路系统的建设就迫在眉睫。随着高速公路系统的不断完善，指示牌的作用十分重要。指示

2、牌为用户指明了前往各个城市的距离。选择最短的路径，方便用户是指示牌的主要目的。 本文是基于Floyd算法，来找出设置合适的指示牌来指示用户，从而使得用户可以更加快速的到达目的地。第一章 问题模型 我们可以在每一个十字路口都设置指示牌，但这样一种方式并不是最好。为了选择哪些城市应该在指示牌上列出，我们使用如下策略：如果在指示牌前锋的十字路口上有一条路是到城市X的最短路，则城市X被标上指示牌。我们假设在没对十字路口之间只有一条最短路径。 输入： 输入包括一个问题实例，描述了高速公路系统，接着是一组指示牌的位置。高速公路系统定义为一组十字路口和一组与十字路口相连的道路。第一行是是哪个正整数n、m、k

3、：n表示十字路口的数量，m表示连接各个十字路口之间道路的数量，k表示既是城市也是十字路口的数量。接下来m行，格式是i1、i2、d，表示十字路口i1和 i2直接有一条双行道，其距离为d。接下来k行，格式是i、name，表示十字路口i是一个城市，其名字为name。在这之后的一行，有一个正整数s，表示应防止在高速公路系统上的指示牌的数量。接下来的s行，格式是i1、i2、d，表示从i1到 i2应放置一个指示牌，从i1开始的距离是d。对于所有的问题实例，名字的长短18个字符，5n30.所有的距离大于0，并精确到百分之一。 输出： 每个指示牌的输出格式如下： name1 d1 name2 d2 . nam

4、ei应该左对齐，宽度为20；距离dj应四舍五入到整数。没对“namedistance”应该按四舍五入后的距离排序；相同距离的依字幕顺序输出。指示牌输出顺序应该与指示牌的输入顺序一致，每个指示牌之间有一个空行，你可以假设每个指示牌上至少列出一个城市。第二章 算法简介 Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。1.核心思路 通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。 从图的带权邻接矩阵A=a(i,j) n×n开始，递归地进行

5、n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。 采用的是(松弛技术)，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n3); 其状态转移方程如下： mapi,j:=minmapi,k+mapk,j,mapi,j mapi,j表示i到j的最短距离 K是穷举i,j的断点 mapn,n初值应该为0，或者按照题目意思来做。 当然，如

6、果这条路没有通的话，还必须特殊处理，比如没有mapi,k这条路。2.算法描述a) 初始化：Du,v=Au,vb) For k:=1 to n For i:=1 to n For j:=1 to n If Di,j>Di,k+Dk,j Then DI,j:=DI,k+Dk,j;c) 算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵3.算法过程1.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。2.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比已知的路径更短。如果是更新它。 把图用邻接距阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路

7、可达，则Gi,j=d，d表示该路的长度；否则Gi,j=无穷大。 定义一个距阵D用来记录所插入点的信息，Di,j表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化Di,j=j。 把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，Gi,j = min( Gi,j, Gi,k+Gk,j )，如果Gi,j的值变小，则Di,j=k。 在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。 比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为V5,V3,V1，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。4.优缺点分

8、析 Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。 优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单 缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。第三章 算法分析1.样例分析 该样例有8个十字路口，17条道路，4个城市和3个指示牌。如图。 输出结果分别是三个指示牌上的城市列表。例如从路口3到路口2，在距离路口3为0.45英里处立一块指示牌，表示到Bobtown还有7英里。2.数据结构 使用邻接矩阵存储

9、高速公路系统图： double graphMaxNMaxN; 对于样例数据，数组graph的内容如图所示： 数组的下表与十字路口的编号一致。0123456700.007.128.345.335.360.000.000.0017.120.004.210.000.000.006.9910.2628.344.210.002.740.000.005.040.0035.330.002.740.004.127.725.710.0045.360.000.004.120.008.9410.290.0050.000.000.007.728.940.005.478.5560.006.995.045.7110.29

10、5.470.006.0170.0010.260.000.000.008.556.010.00 数组city表示城市： char cityMaxNMaxN; 对于样例数据，数组city的内容如图所示：下标0123城市AllentownBobtownCharlestownDownville 下标是城市编号。 数组citylocation表示城市在十字路口的位置： int citylocationMaxN； 对于样例数据，数组citylocation的内容如图所示：下标01234567城市编号01-1-1-1-123下标是十字路口编号，值为-1时表示该路口没有城市。3.使用Floyd方法计算所有路口

11、之间的最短路径 采用数组path存储最短路径： double pathMaxNMaxN； 对于样例数据，数组path的内容如下： 注意表中阴影部分的单元格，其数值没有变化，表示这些路口之间没有最短路径。4.计算最短路径经过的十字路口 采用数组shortpath存储最短路径经过的十字路口： int shortpathMaxNMaxN;0123456700.007.128.075.335.3613.0511.0417.0517.120.004.216.9511.0712.466.9910.2628.074.210.002.746.8610.465.0411.0535.336.952.740.004

12、.127.725.7111.7245.3611.076.864.120.008.949.8315.84513.0512.4610.467.728.940.005.478.55611.046.995.045.719.835.470.006.01717.0510.2611.0511.7215.848.556.010.00 对于样例数据，数组shortpath的内容如图所示：012345670-11-1-1-1-13310-1-1-1-1-167231-1-1-1-166302-1-1-1-166403-1-1-1-133536-1-1-1-167631-1-1-1-1-17761-1-1-1-16

13、-1 当路口没有城市时，就不必计算，令其值为-1.表中的阴影单元与path表示对应的，表示没有最短路径通往其他城市。单元（i，j）（i，j=0n-1）的值为k（k-1，j）时，表示从路口i到路口j有最短路径，且经过路口k。5.计算指示牌 有了shortpath表，计算只是牌列表就容易了。如从路口i到路口k，在shortpath表中，扫描i行，其值为k时，所对应的列号j就是要列表显示的城市。列表的数据结构如下: struct sign int cityname，distance； sighlistMaxN； 输出时要排序，采用标准函数qsort()，排序算法为函数cmp（）：首先按里程的大小升序

14、，在里程相等的情况下，按城市名称的字幕排序。附：程序源代码#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <math.h>const int MaxN = 31;const double Zero = 0.0001;/指示牌上要显示的城市列表struct signint cityName, distance; signListMaxN;char cityMaxNMaxN; /城市名称/比较函数int cmp(const void *a1,const void *b1

15、)sign *a = (struct sign*)a1;sign *b = (struct sign*)b1; /首先按里程的大小升序if (a->distance > b->distance) return 1; /在里程相等的情况下，按城市名称的字幕顺序排序else if (a->distance = b->distance) return strcmp(citya->cityName, cityb->cityName);else return -1;int main()double pathMaxNMaxN; /存储最短路径double grap

16、hMaxNMaxN; /存储高速公路系统图int shortPathMaxNMaxN; /存储最短路径经过的十字路口int cityLocationMaxN; /存储城市在十字路口的位置int cases; /测试例数scanf("%d", &cases);int iCase;for (iCase = 1; iCase <= cases; iCase+)int i, j, k;int a, b;double d;char nameMaxN;int n, m, cross; /路口数量，道路数量，城市数量scanf("%d %d %d", &

17、amp;n, &m, &cross);memset(graph, 0, sizeof(graph);memset(cityLocation, 255, sizeof(cityLocation);/构造邻接矩阵for (i = 1; i <= m; i+)scanf("%d %d %lf", &a, &b, &d);graphab = graphba = d;/读取城市信息for (i = 0; i < cross; i+)scanf("%d", &a);cityLocationa = i;sca

18、nf("%signNum", name);strcpy(cityi, name);/使用Floyd方法计算所有路口之间的最短路径memcpy(path, graph, sizeof(graph);for (k = 0; k < n; k+)for (i = 0; i < n; i+)if (pathik > Zero)for (j = 0; j < n; j+)if (pathkj > Zero && i != j)d = pathik+pathkj;if (pathij < Zero | pathij > d) p

19、athij = d;/对角线是路口自身，清除掉for (i = 0; i < n; i+) pathii = 0;/计算最短路径经过的十字路口memset(shortPath, 255, sizeof(shortPath);for (i = 0; i < n; i+)for (j = 0; j < n; j+)/该路口有城市才计算if (cityLocationj >= 0)for (k = 0; k < n; k+)if (graphik >= Zero && fabs(pathij-pathkj-graphik)<Zero)shortPathij = k; break;if (iCase != 1