光波场的复振幅描述

1、第第1章章 现代光学的数学物理基础现代光学的数学物理基础 scalar angle-spectrum theory of diffraction光场随时间的变化关系光场随时间的变化关系: 由频率由频率n n表征表征.单色光场中某点单色光场中某点 p(x,y,z)在时刻在时刻 t 的光振动可表为的光振动可表为:u(p,t) = a(p)cos2pnpnt - j j(p)振幅振幅频率频率 初位相初位相可见光可见光: n n 1014hz严格单色光严格单色光: n n为常数为常数光场随空间的变化关系体现在光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同空间各点的振幅可能不同(2) 空间

2、各点的初位相可能不同空间各点的初位相可能不同, 由传播引起由传播引起.光场变化的空间周期为光场变化的空间周期为l l. .光场变化的时间周期为光场变化的时间周期为1/ n. n.由于由于u(p,t) 必须满足波动方程，必须满足波动方程，可以导出可以导出a(p)、n n、 j j(p)必须满足的关系必须满足的关系1-1 光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程1-1光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示光振动的复振幅表示光场随时间的变化光场随时间的变化e -j2pnpnt不重要不重要: u(p,t) = a(p)cos2p

3、npnt - j j(p) = ea(p)e-j2pnpnt -j j(p) n n 1014hz, 无法探测无法探测n n为常数为常数,线性运算后亦不变线性运算后亦不变对于携带信息的光波对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分感兴趣的是其空间变化部分.故引入复振幅故引入复振幅u(p):为了导出为了导出a(p)、n n、 j j(p)必须满足的关系，将光场用复数表必须满足的关系，将光场用复数表示示,以利于简化运算以利于简化运算= ea(p) e jj j(p). e -j2pnpnt 复数表示有利于复数表示有利于将时空变量分开将时空变量分开u(p) = a(p) e jj(p)则则 u(

4、p,t)= e u(p) e -j2pnpnt 1-1光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述亥姆霍兹（亥姆霍兹（helmholtz)方程方程可导出复振幅满足的方程为：可导出复振幅满足的方程为：将将u(p)exp(j2pn pn t)代入波动方程代入波动方程012222utvu0)(22uk即亥姆霍兹（即亥姆霍兹（helmholtz)方程方程 -不含时间的波动方程不含时间的波动方程 称为波数或传播常数，称为波数或传播常数，表示单位长度上产生的相位变化表示单位长度上产生的相位变化lp2k 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足亥姆霍兹亥姆霍兹

5、方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场。布完善地描述单色光波场。 1-1光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示光振动的复振幅表示: 说明说明 u(p)是空间点的复函数是空间点的复函数, 描写光场的空间分布描写光场的空间分布, 与时间无关与时间无关;u(p) = a(p) e jj j(p) u(p)同时表征了空间各点的振幅同时表征了空间各点的振幅 |u(p)| = |a(p)|和相对位相和相对位相arg(u)= j j(p) 方便运算方便运算, 满足叠加原理满足叠加原理 实际物理量是实量实际物理量是实量.

6、要恢复为真实光振动要恢复为真实光振动: 光强分布光强分布: i = uu* 光强是波印廷矢量的时间平均值光强是波印廷矢量的时间平均值, 正比于电场振幅的平方正比于电场振幅的平方 u(p,t)= eu(p)exp(-j2pnpnt) 即可即可1-1光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述2、球面波的复振幅表示、球面波的复振幅表示点光源或会聚中心点光源或会聚中心球面波球面波: 等相面为球面等相面为球面, 且所有等相面有共同中心的波且所有等相面有共同中心的波k = | k |=2p p /l l , 为波数为波数. 表表示由于波传播示由于波传播, 在单位长度在单位长度上引起的位相变化上引起的位相变化,

7、也表明也表明了光场变化的了光场变化的“空间频率空间频率”(p(x,y,z)0zyx源点源点s(rk设观察点设观察点p(x, y, z)与发散球面波中心的距离为与发散球面波中心的距离为r, k: 传播矢量传播矢量球面波的等位相面球面波的等位相面: kr=c 为球面为球面jkrerapu0)(则则p点处的复振幅点处的复振幅:j j(p) = k . rk : 传播矢量传播矢量球面波球面波: k/ra0: 单位距离单位距离处的光振幅处的光振幅1-1光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述会聚球面波会聚球面波会聚球面波会聚球面波jkrerapu0)(p(x,y,z)会聚点s(r0zyxk1-1光波场的复振

8、幅描述光波场的复振幅描述球面波球面波 : 空间分布空间分布距离距离 r 的表达的表达若球面波中心在原点若球面波中心在原点: 222zyxr若球面波中心在若球面波中心在 s (x0, y0, z0): 202020)()()(zzyyxxrjkrerapu0)(p点处的复振幅点处的复振幅:取决于取决于k与与r是平行是平行还是反平行还是反平行光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述球面波球面波 : 在给定平面的分布在给定平面的分布以系统的光轴为以系统的光轴为z轴轴,光沿光沿 z 轴正方向传播轴正方向传播.所考察的平面垂直于所考察的平面垂直于z 轴轴令点光源位于令点光源位于z = 0的平面上坐标的平面上

9、坐标(x0, y0)处处. 考察与其考察与其距离为距离为z的的x - y平面上的光分布平面上的光分布2/ 1220202/ 122020)()(1 )()(zyyxxzzyyxxr需要作近轴近似需要作近轴近似z光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述球面波球面波 : 近轴近似近轴近似只考虑只考虑 x - y平面上对源点平面上对源点 s 张角不大的范围张角不大的范围, 即即1)()(22020zyyxxzyyxxzr2)()(2020可以作泰勒展开可以作泰勒展开(1+d d)1/2 1+ d d /2一级近似一级近似二级近似二级近似对振幅中对振幅中r 的可作一级近似的可作一级近似. 但因为但因为 k

10、 很大很大, 对位相中的对位相中的 r 须作二级近似须作二级近似1-1光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述二、球面波二、球面波 : 近轴近似近轴近似已将球面波中心取在已将球面波中心取在 z = 0的平面的平面, 且光波沿且光波沿 z 轴正方向传播轴正方向传播.如果如果 z 0, 上式代表从上式代表从 s 发散的球面波发散的球面波.如果如果 z 0, 上式代表向上式代表向 s 会聚的球面波会聚的球面波.20200)()(2exp)exp(),()(yyxxzkjjkzzayxupu对给定平面对给定平面是常量是常量随随x, y变化的二次位相因子变化的二次位相因子球面波特征位相球面波特征位相)(2e

11、xp)exp(),(220yxzkjjkzzayxu球面波中心球面波中心在原点在原点:cyyxxx-y 平面上等位相线方程为平面上等位相线方程为 :光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述3、 平面波的复振幅表示平面波的复振幅表示等相面为平面等相面为平面,且且这些平面垂直于这些平面垂直于光波传播矢量光波传播矢量 k.等相平面的法线方向等相平面的法线方向k (kcosa a, kcosb b, kcosg g)k 的方向余弦的方向余弦 均均为常量为常量光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述3、 平面波的复振幅表示平面波的复振幅表示等相面为平面等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量且这些平面垂直于光

12、波传播矢量 k.等相平面的法线方向等相平面的法线方向 k (kcosa a, kcosb b, kcosg g)k 的方向余弦的方向余弦, 均为常量均为常量以以 k 表示的等相平面方程为表示的等相平面方程为 k .r = const.故平面波复振幅表达式为故平面波复振幅表达式为:)coscoscos(exp )exp(),(gbazyxjkajazyxurk线性位相因子线性位相因子常量振幅常量振幅光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述3、平面波、平面波: 在给定平面的分布在给定平面的分布在在x-y平面上的等位相线平面上的等位相线 xcosa a + ycosb b = const为平行直线族为平

13、行直线族)coscos(exp ),(bayxjkayxu在与原点相距为在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅的平面上考察平面波的复振幅:bag22coscos1cos )coscos(exp)coscos1exp(),( 22zyxjkjkzazyxubaba随随x,y线性变化的线性变化的位相因子位相因子常数幅相因子常数幅相因子, a光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述4、平面波的空间频率、平面波的空间频率在与原点相距为在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布的平面上考察平面波的位相分布.等位相等位相线是平行直线族线是平行直线族. 为简单计为简单计, 先看先看k在在x-z平面

14、内平面内: cosb b =0等位相面是平行于等位相面是平行于y 轴的一系列平面轴的一系列平面, 间隔为间隔为l lz等位相面与等位相面与x-z平面相交平面相交形成平行直线形成平行直线等位相面与等位相面与x-y平面相交平面相交形成平行于形成平行于y轴的直线轴的直线)cosexp( ),(ajkxayxu复振幅分布复振幅分布:沿沿x方向的等相线方向的等相线间距间距:alapcoscos2kx光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述四、平面波的空间频率四、平面波的空间频率)cosexp( ),(ajkxayxu复振幅分布复振幅分布:定义定义 复振幅分布在复振幅分布在x方向的空间频率方向的空间频率: l

15、acos1xfx复振幅分布可改写为复振幅分布可改写为:)2exp( ),(xfjayxuxpy = , fy=0对于在对于在x-z平面内传播的平面波平面内传播的平面波, 在在y方向上有方向上有:光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述平面波的空间频率平面波的空间频率: 一般情形一般情形定义定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率平面波在平面波在x和和y方向的空间频率分别为方向的空间频率分别为:lblacos1 ;cos1yfxfyxcosa a, cosb b 为波为波矢的方向余弦矢的方向余弦若波矢在若波矢在x-z平面或平面或y-z平面中平面中

16、, a a b b 又常用它又常用它们的余角们的余角q qx (q qy)表示表示,故故:lqlqyyxxyfxfsin1 ;sin1)coscos(exp ),(bayxjkayxu引入空间频率概念后引入空间频率概念后, 单色平面波单色平面波在在xy 平面的复振幅分布可以表示为平面的复振幅分布可以表示为 )(2exp ),(yfxfjayxuyxp光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念单位振幅的单色平面波单位振幅的单色平面波, 波矢量波矢量k与与x轴夹轴夹角为角为30 , 与与y轴夹角为轴夹角为60 .(1)画出画出

17、z = z1平面上间隔为平面上间隔为2p p的等相线族的等相线族, , 并求出并求出tx、 ty、t 和和fx 、fy和和 f。(2)画出画出y = y1平面上间隔为平面上间隔为2p p的等相线族的等相线族, , 并求出并求出tx、 tz 和和fx 、fz.练习练习 1光波场的复振幅描述光波场的复振幅描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念如果平面波传播方向在如果平面波传播方向在xz平面平面(或或yz平面平面), 与与z轴夹角为轴夹角为q q, 则此平面波复振幅沿则此平面波复振幅沿x方向方向(或或y方向方向)的空间频率为的空间频率为: lqsin光波场

18、的复振幅描述光波场的复振幅描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念对于传播方向与对于传播方向与z轴夹角为轴夹角为-30 的情况的情况,再再解上题解上题.练习练习 3lqsin振幅为振幅为1, 波长为波长为l l 55nm 的单色平面波的单色平面波, 传播方向在传播方向在xz平面内平面内, 并与并与z轴夹角为轴夹角为30 . 写出其复振幅表达式写出其复振幅表达式, 并求出并求出z = z1平面平面上复振幅在上复振幅在x方向和方向和y方向的空间周期方向的空间周期tx和和ty, 以及相应的空间频率以及相应的空间频率 fx 和和 fy.练习练习 2光波场的复振

19、幅描述光波场的复振幅描述平面波的空间频率平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念信息光学中最基本的概念空间频率的单位空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周周/mm, 条数条数/mm 等等空间频率的正负空间频率的正负:表示传播方向与表示传播方向与x(或或y)轴的夹角小于或大于轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系在给定的座标系, 任意单色平面波有一组对应的任意单色平面波有一组对应的fx和和fy,它仅决定于光波的波长和传播方向它仅决定于光波的波长和传播方向.反之反之, 给定一组给定一组fx和和fy, 对于给定波长的单色平面波就能对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向确定其传播方向cosa a =l,l,fx , , cosb b =l,l,fy 要