(完整word版)同济大学高数上册知识点,推荐文档

1、高等数学（上）知识点高等数学上册知识点一、函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 f (x) 在 x0 连续lim f ( x) f ( x0 )x x0第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论 .（二） 极限1、定义1）数列极限lim xn a0,

2、N,n N , xnan2）函数极限lim f ( x) A0,0,x, 当 0x x0时， f ( x) Axx0第1页共12页高等数学（上）知识点左极限： f ( x0 ) lim f ( x)右极限： f ( x0 ) lim f ( x)x x0x x0lim f ( x) A 存在f ( x0 ) f ( x0 )x x02、极限存在准则1）夹逼准则：1） ynxnzn ( n n0 )2） lim ynlim znalim xnannn2）单调有界准则：单调有界数列必有极限 .3、无穷小（大）量1）定义：若 lim0 则称为无穷小量；若 lim则称为无穷大量 .2）无穷小的阶：高阶

3、无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1o() ;Th2, ,lim存在，则 limlim（无穷小代换）4、求极限的方法1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：lim sin x1lim (1 1) xa)1b)lim (1 x) xex 0xx 0xx5）无穷小代换：（ x0 ）a)x sin x tan x arcsinx arctanx第2页共12页高等数学（上）知识点b) 1 cos x 12c)ex1 xd)ln(1x) xe)(1x)1 二、导数与微分（一） 导数x2（ ax 1 x ln a ）（ loga (1 x) x）ln

4、ax1、定义： f ( x0 ) limf ( x)f (x0 )xx0xx 0左导数： f(x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0右导数： f( x0 )f ( x) f ( x0 )limxx0xx0函数 f (x) 在 x0点可导f( x0 ) f ( x0 )2、几何意义： f (x0 ) 为曲线 yf (x) 在点 x0 , f ( x0 ) 处的切线的斜率 .3、可导与连续的关系：4、求导的方法1） 导数定义；2） 基本公式；3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则） ；5） 隐函数求导数；6） 参数方程求导；第3页共12页高等数学（上）知识点7） 对数求导法

5、 .5、高阶导数d 2 yddy1） 定义： dx2dxdxn2） Leibniz公式： uv ( n)Cnk u( k) v(n k )k0（二） 微分1） 定义：yf ( x0x)f ( x0 ) A xo(x) ，其中 A 与 x 无关 .2） 可微与可导的关系：可微可导，且 dyf( x0 ) x f ( x0 )dx三、微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 罗尔定理：若函数f (x) 满足：1） f ( x)C a, b ； 2） f ( x)D (a, b) ； 3 ） f (a)f (b) ；则( a,b), 使 f ( )0 .2、 Lagrange 拉格朗

6、日中值定理：若函数f (x) 满足：1） f ( x)C a, b ； 2） f ( x)D (a, b) ；则(a, b), 使f (b)f (a)f ( )(b a) .3、 Cauchy 柯西中值定理：若函数f ( x), F ( x) 满足：1）f ( x), F ( x)C a,b ；2 ）f ( x), F ( x) D (a, b) ；3）F ( x)0, x (a, b)则(a,b), 使 f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()第4页共12页高等数学（上）知识点（二） 洛必达法则（三） Taylor公式（四） 单调性及极值1、 单调性判别法： f (x)C a

7、, b ， f ( x) D (a, b) ，则若 f (x)0 ，则f ( x) 单调增加；则若 f(x) 0 ，则 f (x) 单调减少 .2、 极值及其判定定理：a)必要条件： f (x) 在 x0可导，若 x0为 f (x) 的极值点，则 f ( x0 )0.b)第一充分条件： f (x) 在 x0 的邻域内可导，且 f (x0 ) 0 ，则若当 xx0时， f (x)0 ，当 xx0 时， f (x)0 ，则 x0 为极大值点； 若当 xx0时， f (x)0 ，当 xx0 时， f (x)0 ，则 x0 为极小值点；若在x0 的两侧 f ( x) 不变号，则 x0 不是极值点 .c

8、) 第二充分条件： f ( x)在 x0 处二阶可导，且f (x0 )0 ， f( x0 ) 0 ，则若 f ( x0 ) 0 ，则 x0为极大值点；若 f( x0 )0 ，则 x0为极小值点 .3、 凹凸性及其判断，拐点1） f (x) 在区间 I 上连续，若 x1 , x2I , f ( x1x2 )f (x1 )f (x2 ) ，则称 f (x) 在22区间 I上的图形是凹的；若 x1 , x2I , f ( x1x2 )f (x1 )f ( x2 ) ，则称 f (x) 在22区间 I上的图形是凸的 .2）判定定理： f (x) 在 a, b 上连续，在 (a, b) 上有一阶、二阶导

9、数，则a)若x( a, b), f ( x)0, 则 f (x) 在 a, b 上的图形是凹的；b)若x(a, b), f ( x)0, 则 f (x) 在 a, b 上的图形是凸的 .3）拐点：设 yf (x) 在区间 I上连续， x0 是 f (x) 的内点，如果曲线 yf ( x) 经第5页共12页高等数学（上）知识点过点 ( x0 , f ( x0 ) 时，曲线的凹凸性改变了， 则称点 ( x0 , f ( x0 ) 为曲线的拐点 .（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值） .（六） 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle

10、定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性 .（七） 渐近线1、 铅直渐近线： lim f ( x)，则 xa 为一条铅直渐近线；xa2、 水平渐近线： lim f ( x)b ，则 yb 为一条水平渐近线；x3、 斜渐近线： lim f ( x)k lim f ( x)kx b 存在，则 ykx b 为一条斜xxx渐近线 .（八） 图形描绘四、不定积分（一） 概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数 F (x) 可导，且 F ( x)f ( x) ，则 F (x) 称为f (x) 的一个原函数 .第6页共12页高等数学（上）知识点2、不定积分：在区间I 上，函数 f (x)

11、的带有任意常数的原函数称为f (x) 在区间 I 上的不定积分 .3、基本积分表（ P188，13 个公式）；4、性质（线性性） .（二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分） ：f ( x)( x)dxf (u)du u( x)2、 第二类换元法（变量代换） ：f ( x) dxf (t )(t )dtt1( x)（三） 分部积分法：udv uv vdu（四） 有理函数积分1 、“拆”；2 、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等） .五、定积分（一） 概念与性质：bn1、 定义： a f ( x)dxlimf ( i )xi0 i 12、 性质：（7 条）性质 7 （积分中值定理）函数

12、f (x) 在区间 a,b 上连续，则 a,b ，使bbf ( )f ( x) dxf ( x) dx f ( )( ba)（平均值：a）baa第7页共12页高等数学（上）知识点（二） 微积分基本公式（ NL 公式）x1、 变上限积分：设( x)f (t )dt，则( x)f (x)a推广：d (x )f (t )dtf ( x)( x)f ( x) ( x)dx( x)2、 NL 公式：若 F (x) 为 f ( x) 的一个原函数，则bf ( x) dx F (b) F ( a)a（三） 换元法和分部积分bf ( x)dxf (t )(t) dt1、 换元法： abuv bab2、 分部积

13、分法：udvvduaa（四） 反常积分1、无穷积分：tf ( x) dxlimf ( x) dxatabbf ( x) dxlimf ( x) dxtt0f ( x) dxf ( x) dxf ( x) dx02、瑕积分：bbf ( x ) dxlimat atbtf ( x ) dx （a 为瑕点）f ( x) dxlimf ( x ) dx （b 为瑕点）at ba两个重要的反常积分：第8页共12页高等数学（上）知识点dx,p1a1p1)ax p, p1p1(ba)1 q1bdxbdx, q1q2)a (xa)qa (bx) q,q1六、定积分的应用（一） 平面图形的面积b2 ( x) f

14、 1 ( x) dx1、 直角坐标： A fa2、 极坐标： A122( )12 ( ) d2第9页共12页高等数学（上）知识点（二） 体积1、 旋转体体积：a) 曲边梯形 yf ( x), xa, xb, x 轴，绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积：Vxbf2 ( x ) dxab) 曲边梯形 yf ( x), xa, xb, x 轴，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积：Vyb2xf ( x)dxa（柱壳法）2、 平行截面面积已知的立体： VbaA( x )dx（三） 弧长1、 直角坐标： sb2 dx1f( x )a2、 参数方程： s( t )2( t )2 dt3、 极坐标： s() 2(

15、)2 d七、微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.第10页共12页高等数学（上）知识点（二） 变量可分离的方程g( y)dyf (x)dx ，两边积分g( y)dyf ( x)dx（三） 齐次型方程dy( y ) ，设 uydxxxdxxx或 dy( y ) ，设 v y（四） 一阶线性微分方程，则，则dyux dudxdx ；dxvy dvdydydy

16、P(x) y Q( x)dxP( x) dxP ( x )dx用常数变易法或用公式： y eQ( x)edx C（五） 可降阶的高阶微分方程1、 y( n )f ( x) ，两边积分 n 次；2、3、y f ( x, y ) （不显含有 y ），令yf ( y, y ) （不显含有 x ），令yp ，则 yp ；yp ，则 yp dpdy（六） 线性微分方程解的结构1、 y1, y2是齐次线性方程的解，则 C1 y1 C2 y2也是；2、 y1, y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1 y1C2 y2 是方程的通解；3、 y C yCy2y* 为非齐次方程的通解，其中y, y为对应齐次方程的11212线性无关的解， y* 非齐次方程的特解 .（七） 常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：ypyqy0第11页共12页高等数学（上）知识点特征方程： r 2prq 0 ，特征根： r1 , r2特征根通解实根 r1r2y C1er 1 xC2 er 2 xr1 r2py (