概率论第一节数学期望

1、随机变量的概率分布及其分布函数随机变量的概率分布及其分布函数 完整地描述了随机变量的取值规律。完整地描述了随机变量的取值规律。 而在一些实际问题中，只需知道而在一些实际问题中，只需知道描述随机变量的描述随机变量的某种特征的量某种特征的量 随机变量的数字特征。随机变量的数字特征。一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结第一节第一节 数学期望数学期望(mathematical expectation)(mathematical expectation)他他们们的的射射击击技技术术分分别别为为

2、乙乙两两个个射射手手甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击击中中环环数数概概率率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0数学期望（均值）数学期望（均值） 描述随机变量平均取值的情况。描述随机变量平均取值的情况。 例例 一批钢筋共有一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为根，抗拉强度指标为120和和130的各有的各有2根、根、125的有的有3根、根、110、135、140的各有的各有1根，则它们的平均抗拉强度指标为根，则它们的平均抗拉强度指标为101)140135110

3、312521302120( 101140101135101110103125102130102120 可见，平均抗拉强度指标并不是这可见，平均抗拉强度指标并不是这10根钢筋所取根钢筋所取到的到的6个值的简单平均，而是取这些值的次数与试验个值的简单平均，而是取这些值的次数与试验总次数的比值（频率）为权重的总次数的比值（频率）为权重的加权平均加权平均。1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义.)().(,., 2 , 1,111 kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即即记记为为的的数数学学期期望望的的和和为为随随机机变变量量则则称称级级数数绝绝对对收收敛敛若若

4、级级数数的的分分布布律律为为设设离离散散型型随随机机变变量量一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正平均值真正平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随

5、机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.他他们们的的射射击击技技术术分分别别为为乙乙两两个个射射手手甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击击中中环环数数概概率率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21XX为为乙乙射射手手击击中中的的环环数数分分别

6、别设设甲甲平均起来甲射手每枪击中平均起来甲射手每枪击中9.39.3环环, ,乙射手每枪击中乙射手每枪击中9.19.1环环. .因此甲射手的本领要高一些因此甲射手的本领要高一些. .甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0乙射手乙射手击击中中环环数数概概率率10982 . 05 . 03 . 0例例2 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有则有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为knknkp

7、pknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp则两点分布则两点分布b(1,p)的数学期望为的数学期望为 p.=np例例3 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk则有则有 0!)(kkekkXE 11)!1(kkke ee . 且分布律为且分布律为设设),(PX 2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义( ),( ),( ),().()( ).Xf xx f x dxx f x dxX

8、E XE Xx f x dx设连续型随机变量的概率密度为若积分绝对收敛 则称积分的值为随机变量的数学期望 记为即定义定义 设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为51,0,( )50,0.xexf xx试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?解解()( )E Xx f x dx5015xxedx).(5 分分钟钟 因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例例4 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?例例5 均匀分布均匀分布则有则有()( )dE

9、Xxf xx baxxabd1).(21ba 1,( )0,.axbf xba其它其概率密度为其概率密度为设设),(baUX).(21ba 结论结论 均匀分布的数学均匀分布的数学期望位于区间的中点期望位于区间的中点.例例6 指数分布指数分布 ,0,( )0.0,0.xXexf xx设随机变量服从指数分布 其概率密度为其中则有则有()( )E Xxf x dx0 xxedx.1 00 xxxeedx 例例7 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有()( )E Xxf x dx22()212x xedxtx 令令, tx 22()21( ),0,.2x f xex . 2

10、222122ttedttedt22()21()2x E Xxedx所以221()2t t edt正正是是它它的的数数学学期期望望。中中的的可可见见 ),(,2N例例 (书）书） 设随机变量设随机变量 X服从柯西分布服从柯西分布,其密度函数为其密度函数为求求E(X).解解: 由于此积分不存在由于此积分不存在 因此柯西分布的数学期望不存在因此柯西分布的数学期望不存在.21( )()(1)f xxx 220| |2(1)(1)dxxxdxxx 若若X为离散型随机变量，分布律为为离散型随机变量，分布律为Y= f (X)为为X的函数的函数), 2 , 1(, kpxXPkk则则Y的期望为的期望为.)()

11、( 1kkkpxfXfE1. 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望解解51213121121031)2()(33333 XE例例8 求求:).(3XE3102 3121121121Xp的分布律为的分布律为设设Xvr.2. 连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望( ()( ) ( )d .E g Xg x f xx若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 f(x) 则则221( )2xXf xe解： 的概率密度为239(0,1)()()XNE XE X例 设 服从分布，求，22()( )

12、E Xx f x dx22212xxedx222xxde 22112xedx33()( )E Xx f x dx同理23212xxedx01 1sin()2 2XUEX例10 设 服从， 分布，求111,( )220,xXf x解： 的概率密度为其它sin()EXsin() ( )x f x dx1212sin() 1xdx1212sin()x dx03. 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望.),(),(,),(,)1( iijjjipyxfYXfEyxfYX则则数数为为二二元元函函为为离离散散型型随随机机变变量量设设.),(ijpYX的联合概率分布为的联合概率分布为其中其中

13、解解XY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.2:() .E XY求例例11 设设 (X ,Y) 的分布律为的分布律为p),(YX2 . 0)1, 1( )0 , 1()1 , 1(2, 1)1 , 2()0 , 3()1 , 3(1 . 01 . 01 . 01 . 03 . 01 . 0由于由于2() 4 0.2 1 0.1 0 0.1 9 0.1 1 0.19 0.3 4 0.1E X Y 得 5p),(YX2 . 0)1, 1( )0 , 1()1 , 1(2, 1)1 , 2()0 , 3()1 , 3(1 . 01 . 01 . 01 . 03 . 01 .

14、02()XY4109194 (, )( , ) ( , )dd .E g X Yg x y f x yxy (2),( , ),X Yg x y设为连续型随机变量为二元函数 则(, )( , ).X Yf x y其中的联合概率密度为2(, ),01,01( , )0,(),()X Yxyxyf x yE XYE XY例12 设二维随机变量的密度函数为其它求()( , )E XYxyf x y dxdy 解：1100()xy xy dxdy 1322()() ( , )E XYxyf x y dxdy 11200()()xyxy dxdy 1613(),1200,3000.1 ,2Xtt例设国际

15、市场上每年对我国某种出口农产品的需求量单位 是随机变量 它服从上的均匀分布若售出这种农产品可赚 万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润？1,12003000( )18000,xXf x解： 的概率密度为其它y设每年准备该种商品 吨，利润Y为随机变量2 ,()2(),yXyYg XXyXXy2 ,( )3,yxyYg xxyxy即故平均利润为( ) ()( )( )E YE g Xg xf x dx300012001( )1800g xdx300012001(3)21800yyxy dxydx212(72002160000)18003yy2400

16、,( )yE Y 当时取得最大值，故每年准备此种商品2400吨.三、数学期望的性质三、数学期望的性质(1) 设设C为常数，则有为常数，则有E(C)=C(2) 设设X是一个随机变量，是一个随机变量，C为常数，则有为常数，则有)()(XCECXE (4) 设设X，Y是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有 )()()(YEXEXYE (3) 设设X1，X2,Xn是是n个随机变量，个随机变量，a1，a2,an 为实数，则有为实数，则有)()(11iniiiniiXEaXaE ).,)(,.10,20互独立互独立并设各旅客是否下车相并设各旅客是否下车相下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客

17、在各个车站设每位旅客在各个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车如到达一个车站没如到达一个车站没个车站可以下车个车站可以下车旅客有旅客有位旅客自机场开出位旅客自机场开出一民航送客车载有一民航送客车载有XEX解解,iX引入随机变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第.1021XXXX 则则例例14,109020 iXP则则有有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i., 2 , 1,1091)(20 iXEi由由此此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021X

18、EXEXE 20109110).(784. 8次次 四、小结四、小结数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质 ).()()(,4);(3);()(2;)(1011000YEXEXYEYXXEaXaEXCECXECCEiniiinii独立独立3. 常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望 4.常见连续型随机变量的数学期望常见连续型随机变量的数学期望根据生命表

19、知根据生命表知 , 某年龄段保险者里某年龄段保险者里 , 一一 年中年中每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002, 现有现有10000个这类人个这类人参加人寿保险参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领若在死亡时家属可从保险公司领取取 2000 元赔偿金元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少问每人一年须交保险费多少元元?例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗?备份题备份题解解设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X ,)002. 0 ,10000( bX则则 10000010000)002. 01()002. 0(10000)(kkkkkXE).(20 人人 被保险人

20、所得赔偿金的期望值应为被保险人所得赔偿金的期望值应为 ).(40000200020元元 若设每人一年须交保险费为若设每人一年须交保险费为a 元元,由被保险人交的由被保险人交的“纯保险费纯保险费”与他们所能得到的与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知赔偿金的期望值相等知4000010000 a),(4 元元 a故每人故每人1年应向保险公司交保险费年应向保险公司交保险费4元元.解解),9 ,75( NX因因为为22(75)2 31( ),3 2xf xe知()( )dE Xx f xx故 xexxd2312232)75( ).(75 分分 例例2 某大学二年级学生进行了一次数学统考某大学二年级学生进

21、行了一次数学统考,设其设其成绩成绩 X 服从服从 N(75, 9) 的正态分布的正态分布,试求学生成绩的试求学生成绩的期望值期望值., 0, 30,9)(, 0, 10,2)(,)()(2的的均均值值试试求求电电压压其其它它其其它它其其概概率率密密度度分分别别为为相相互互独独立立的的随随机机变变量量是是两两个个与与电电阻阻设设一一电电路路中中电电流流IRVrrrhiiigRAI 解解)()(IREVE )()(REIE d)( d)( rrrhiiigd9 d2302102 rrii).(23V 例例3:),(,规规定定以以年年计计记记使使用用寿寿命命为为付付款款的的方方式式的的销销售售采采用

22、用先先使使用用后后某某商商店店对对某某种种家家用用电电器器X例例4商店的销售策略商店的销售策略.3000, 3;2500, 32;2000, 21 ;1500, 1元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款元元一一台台付付款款 XXXX. 0, 0, 0,101)(,10的的数数学学期期望望试试求求该该商商店店一一台台收收费费概概率率密密度度为为服服从从指指数数分分布布设设寿寿命命YxxexfXx 解解xeXPxd10111010 1 . 01 e,0952. 0 xeXPxd101211021 2 . 01 . 0 ee,0861. 0 xeXPxd101321032 ,0779. 03 . 02 . 0 eexeXPxd1013103 .7408. 03 . 0 e的的分分布布律律为为因因而而一一台台收收费费 YYkp30002500200015000952. 07408. 00861. 00779. 0,15.2732)( YE得得.15.2732即平均一台