概率论与数理统计复习

1、主要类型题主要类型题1 1）利用事件间的关系与运算、概率及条件概率的基）利用事件间的关系与运算、概率及条件概率的基本性质；和、本性质；和、差差公式，公式，逆逆事件公式进行计算；事件公式进行计算；2 2）互斥、独立、子事件的概念；条件概率与独立性）互斥、独立、子事件的概念；条件概率与独立性的联系；独立的性质定理；的联系；独立的性质定理；3 3）古典概型的概率计算；古典概型的概率计算；4 4）乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式; ;5)5) 独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点，独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点，以及重复伯努利试验中有关事件概率的计算。以及

2、重复伯努利试验中有关事件概率的计算。 主要类型题主要类型题1 1）离散型随机变量的分布律、分布律的性质；离散型随机变量的分布律、分布律的性质；2 2）连续型随机变量的概率密度、概率密度的性质；连续型随机变量的概率密度、概率密度的性质；3 3）随机变量的分布函数、分布函数的性质；随机变量的分布函数、分布函数的性质；4 4）常见分布的性质，如二项分布的性质；正态分布的性质；）常见分布的性质，如二项分布的性质；正态分布的性质；5 5）随机变量函数的分布。）随机变量函数的分布。1)离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律；离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律；2）离散型随机变量的条件分布律；）离散型随

3、机变量的条件分布律；3）已知连续型随机变量的概率密度，求任何事件的概率；）已知连续型随机变量的概率密度，求任何事件的概率；4）确定随机变量的概率密度和分布函数中的任意常数；）确定随机变量的概率密度和分布函数中的任意常数；5）均匀分布的概率密度；正态分布的性质；）均匀分布的概率密度；正态分布的性质；6）已知概率密度求分布函数；已知分布函数求概率密度；）已知概率密度求分布函数；已知分布函数求概率密度；7）边缘概率密度；条件分布概率密度）边缘概率密度；条件分布概率密度8）随机变量的独立性；）随机变量的独立性；9）随机变量函数的分布。）随机变量函数的分布。主要类型题主要类型题主要类型题主要类型题1）数

4、学期望、方差、协方差及相关系数；）数学期望、方差、协方差及相关系数；2）常见分布的数学期望、方差；）常见分布的数学期望、方差；3）正态分布的性质；）正态分布的性质；4)独立与相关的关系。独立与相关的关系。 主要类型题主要类型题1) 1) 切比雪夫不等式；切比雪夫不等式；2) 2) 依概率收敛的概念和性质；大数定律；依概率收敛的概念和性质；大数定律；3) 3) 中心极限定理；中心极限定理；4) 4) 分布；分布；分布；分布；分布的定义练习；分布的定义练习；5) 5) 正态总体的样本均值与样本方差的分布；正态总体的样本均值与样本方差的分布；6) 6) 简单随机样本，常见统计量（样本均值、样本方差）

5、；简单随机样本，常见统计量（样本均值、样本方差）； 2 tF主要类型题主要类型题1)会求会求2）矩估计、最大似然估计；）矩估计、最大似然估计；3)无偏估计、有效估计无偏估计、有效估计 ；4)求置信区间；求置信区间；5)假设检验。假设检验。 )(),(),(2SEXDXE概率论与数理统概率论与数理统计复习课计复习课（统计部分）（统计部分）随机变量随机变量X 满足：满足：E(X)= ，D(X)= 2,则由切比雪夫则由切比雪夫不等式有不等式有4 |X|P161 batabdte)()(2122或或 n np bnpqnpaPnn lim设设是是次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现的次数，出

6、现的次数，为为A在一次试验中出现的概率，则在一次试验中出现的概率，则 。)1(2 n niiXX122/)( 1 .1 .设设 是来自总体是来自总体 nXXX,21),(2 N 本，则本，则的样的样2 2. 2.设总体设总体X , , 为来自为来自X的一个样本的一个样本, ,设设 , ,则当则当a = = ，b= b= 时时Y服从服从 分布，其自由分布，其自由度为度为 . .)2 , 0(2N4321,XXXX243221)43()2(XXbXXaY 21/1001/208 84.设随机变量设随机变量X X和和Y Y都服从标准正态分布，则都服从标准正态分布，则(A)X+Y服从正态分布服从正态分

7、布 (B)X2+Y2服从服从分布分布(C)X2和和Y Y2服从服从分布分布 (D)服从服从F F分布分布2222YX5.设设是来自标准正态总体的简单随机是来自标准正态总体的简单随机样本，样本，和和分别是样本均值和样本方差，则（）分别是样本均值和样本方差，则（）（）（） （）（）（）（）服从服从t t(n-1)（）（）服从服从nXXX,21X2S)1 , 0( NX)1 , 0( NXnSX / niiXXn2221)1()1, 1( nF6.是来自正态总体的简单是来自正态总体的简单随机样本，随机样本，和和分别是样本均分别是样本均值和样本方差，则（）值和样本方差，则（）() ) 服从自由度为服从

8、自由度为v的分布的分布（）（）服从自由度为服从自由度为的分布的分布（）（）服从自由度为服从自由度为的分布的分布（）（）服从自由度为服从自由度为v的分布的分布nXXX,211 nvX2S niiX122 22 nSn2 22 Sn2 22 vS2 7.设随机变量设随机变量和和,并相互独并相互独立立,则（）则（）()服从服从分布分布()服从服从分布分布()服从服从分布分布()服从服从分布分布 1 , 0 NX 2 , 0 NY223231YX 2 222121YX 2 231YX 221YX 2 2 8.设总体设总体X X服从正态分布服从正态分布，是来自是来自X X的简单随机样本，的简单随机样本，

9、统计量统计量 （）服从服从F F分布，则分布，则等于（等于（ ）（A A）4 4 （B B）2 2(C)3(D)5 2, 0 N1021,XXX 210212214XXXXYii 101 ii9.9.设设 是来自总体是来自总体 的样的样本，且本，且 是是 的无偏估计，则的无偏估计，则C=C= . .nXXX,21),(2 NX 1121)(niiiXXC2 )1(21 n10.设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的样本的样本,E(X)= ,D(X)= 2,为样本均值为样本均值, 和和 2均未知均未知,则以下则以下结论错误的是结论错误的是()X(A)的的无无偏偏估估计计是是 X 1(C)(

10、D)是是 2的最大似然估的最大似然估计量计量(B)的的无无偏偏估估计计是是 12X 更更有有效效比比21 niiXn12)(1 11.设总体设总体X的概率密度为的概率密度为其中其中 1是未知参数是未知参数.x1,x2,xn是来自是来自X的样本观的样本观察值察值.求求 的矩的矩估计量及最大似然估计量估计量及最大似然估计量。 其他其他01011);(12xxxf 解答解答X1 矩矩 niiXn1ln11最最大大 12设总体设总体X的概率密度为的概率密度为其中其中 0是未知参数是未知参数.x1,x2,xn是来自是来自X的样本观的样本观察值察值.求求 的矩的矩估计量及最大似然估计值。估计量及最大似然估

11、计值。 其其他他002);(22xexfx 解答解答X 矩矩nXnii 122最最大大13设总体设总体X的概率密度为的概率密度为其中其中 0是未知参数是未知参数.X1,X2,Xn是来自是来自X的样本的样本.求求 的矩的矩估计量及最大似然估计量估计量及最大似然估计量,并判断它们是并判断它们是否是否是 的无偏估计量的无偏估计量. .2()2,( )0,xexf xx 解答解答21 X矩矩iniXmin 1最最大大 是无偏估计量是无偏估计量, , 不是无偏估计量不是无偏估计量. .矩矩 最最大大 nE21)( 最最大大设总体设总体X的概率密度为的概率密度为其中其中 -1是未知参数是未知参数.X1,X

12、2,Xn是来自是来自X的样本的样本.求求 的矩的矩估计及最大似然估计。估计及最大似然估计。（09级）级）解答解答XX 112矩矩)1(1 niiXlnn最最大大10 ,1)();( xxxP 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为其中其中 0是未知参数是未知参数.X1,X2,Xn是来自是来自X的样本的样本.求求 的矩的矩估计及最大似然估计。估计及最大似然估计。解答解答XX 1矩矩 niiXlnn1最最大大 其其他他010);(1xxxf 14.设总体设总体X的概率的概率分布为分布为X0123p 22 (1- ) 21-2 其中其中 (0 1/2)是未知参数，利用总体是未知参数，利用总体X的样本

13、值的样本值3，1，3，0，3，1，2，3求求 的矩估计值及最大似然估计值的矩估计值及最大似然估计值.()34E X 6424(12 ) (1) 14 71312 2x 2224811)21(2)21();();,( iinxpxxL15.设总体设总体X服从服从0, 上的均匀分布上的均匀分布,X1,X2,Xn是是来自来自X的样本的样本.求求 的矩的矩估计量及最大似然估计估计量及最大似然估计量量,并判断它们是否是并判断它们是否是 的无偏估计量的无偏估计量. .解答解答X2 矩矩 ininXX 1max最最大大 是无偏估计量是无偏估计量, , 不是无偏估计量不是无偏估计量. .矩矩 最最大大 ),(

14、2 NXx 16.16.从总体从总体 中抽出容量为中抽出容量为9的样本，算的样本，算得样本均值得样本均值 =125，样本均方差为，样本均方差为s=14,则则 的置的置信水平为信水平为95%的置信区间为的置信区间为 . . 附：附：z0.025=1.96,t0.025(8)=2.306,t0.05(8)=1.859（10级）级）(114.24,135.76)17.对于正态总体对于正态总体X N( , 2),其中其中 2未知未知,样本容量样本容量n和置信水平和置信水平1- - 均不变均不变.则对于不同的样本观察值则对于不同的样本观察值,总总体均值体均值 的置信区间长度的置信区间长度L()( (A)

15、 )变短变短( (B) ) 变长变长( (C) ) 不变不变( (D) ) 不能确定不能确定X 2222)(4)(2)(4)( znXDtnXCznXBznXA 21, 19.总体均值总体均值置信度为置信度为95%的置信区间为的置信区间为()，其含义是（其含义是（ ）21, X以以95%的概率落入区间的概率落入区间();(B)样本均值样本均值21, X)含样本均值含样本均值的概率为的概率为95%。（D）区间）区间(C21, 的真值以的真值以95%的概率落入区间的概率落入区间()；(A)总体均值总体均值21, )含总体均值含总体均值的真值的概率为的真值的概率为95%；(C)区间区间(20.20.

16、对于正态总体对于正态总体X N( , 2),其中其中 2未知未知, ,样本容量样本容量 n和置信水平和置信水平1- 均不变均不变. . 则对于不同的样本观则对于不同的样本观察值察值, , 总体均值总体均值 的置信区间长度的置信区间长度l与样本标准差与样本标准差S 的关系为（的关系为（ ）（A）当）当S较大时，区间长度也较大；较大时，区间长度也较大；（B）当）当S较大时，区间长度应较小；较大时，区间长度应较小；（C）区间长度与）区间长度与S无关；无关；（D）不能确定）不能确定.nSntl) 1(22解：因为区间长度解：因为区间长度A26. 2)9(,83. 1)9(,30. 2)8(,85. 1

17、)8(,96. 1,65. 1025. 005. 0025. 005. 0025. 005. 0ttttzz21.21.已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对对10个试件作横纹抗压力的实验数据如下：个试件作横纹抗压力的实验数据如下：482，493，457，471，510，496，435，418，394，496(单位：单位：kg/cm)试以试以95的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间。置信区间。 附表附表 置信区间为（置信区间为（431.0，484.0）。）。即该木材的平均横纹抗压力在即该木材的平均横

18、纹抗压力在431.0至至484.0区间内，区间内，并且这种估计的可靠性是并且这种估计的可靠性是95。答：答：22.对于正态总体的对于正态总体的 进行假设检验进行假设检验,假如在假如在 = =0.05下接受下接受H0: = = 0 0.那么在那么在 = =0.01时时,下列结论中正确的下列结论中正确的是是()(A)必接受必接受H0(B) 可能接受也可能拒绝可能接受也可能拒绝H0(C)必拒绝必拒绝H0(D)不接受也不拒绝不接受也不拒绝H023.23.在假设检验中，表示在假设检验中，表示 原假设，原假设， 表示备择表示备择假设，则犯第一类错误的情况为（假设，则犯第一类错误的情况为（ ）（A A） 真

19、，接受真，接受 （B B） 不真，接受不真，接受 （C C） 真，拒绝真，拒绝 （D D） 不真，拒绝不真，拒绝（1010级）级）0H1H1H1H1H1H1H1H1H1H24. 一公司声称其某种型号的电池的平均寿命至少一公司声称其某种型号的电池的平均寿命至少为为21.521.5小时，有一实验室检验了该公司生产的小时，有一实验室检验了该公司生产的6 6套套电池，测得它们的寿命为：电池，测得它们的寿命为：19,18,22,20,16,25.19,18,22,20,16,25.设设电池的寿命近似服从正态分布。试问：这些结果是电池的寿命近似服从正态分布。试问：这些结果是否表明，这类型号的电池的平均寿命

20、比该公司宣称否表明，这类型号的电池的平均寿命比该公司宣称的要短？的要短？（显著水平显著水平 =0.05=0.05）（1010级）级）附表附表 z z0.050.05=1.65, z=1.65, z0.0250.025=1.96,t=1.96,t0.050.05(5)=2.015(5)=2.015t t0.0250.025(5)=2.570,t(5)=2.570,t0.050.05(6)=1.943,t(6)=1.943,t0.0250.025(6)=2.447(6)=2.447简答简答: : H0: 0=21.5,H1: -2.015=-t0.05(5),接受原假设，接受原假设，认为这种认为这

21、种型号的电池的平均寿命不比该公司宣称要短。型号的电池的平均寿命不比该公司宣称要短。nSXt0 25. 机器包装食盐，假设每袋盐的净重（单位：克）机器包装食盐，假设每袋盐的净重（单位：克）服从正态分布，规定每袋标准差不得超过服从正态分布，规定每袋标准差不得超过1010克，某克，某天开工后随机抽取了天开工后随机抽取了6 6袋，测得净重（克）如下：袋，测得净重（克）如下：497,507,505,480,510,489. 497,507,505,480,510,489. 问：生产的食盐的标问：生产的食盐的标准差是否符合要求？准差是否符合要求？（显著水平显著水平 =0.05=0.05）（1010级选）级

22、选）附表附表 2 20.05 0.05 (6)=12.59, (6)=12.59, 2 20.05 0.05 (5)=11.07 (5)=11.07 2 20.025 0.025 (6)=14.45 (6)=14.45 2 20.025 0.025 (5)=12.83(5)=12.83简答简答: : H0: 0=10,H1: 0=10，利用利用 2检验，检检验，检验统计量为验统计量为，其拒绝域为，其拒绝域为 2 2 (n-1)(n-1)算得算得 2=6.861675, 2已知，利用已知，利用Z检验，检验统计量为检验，检验统计量为，其拒绝域为，其拒绝域为zz z nXz 0设总体设总体 , ,

23、设总体设总体X X N(0,1), N(0,1), nXXX,21为总体为总体X X的一个样本的一个样本, , (,)Xb m pnXXX,21为总体为总体X X的一个样本的一个样本, , ()D X 2,()E S 则则()E X 则则设总体设总体 , , ( )X nXXX,21为总体为总体X X的一个样本的一个样本, ,则则, ()D X 2,()E S ()E X , ()D X 2,()E S ()E X 设总体设总体 , , 2()Xm nXXX,21为总体为总体X X的一个样本的一个样本, ,则则, ()D X 2,()E S ()E X 0n11mpmp(1-p)/nmp(1-

24、p) /n m2m/n2m2 2 设设 是来自总体是来自总体 的样本，则的样本，则21, XX)2( , 1(2N408. 0)(221 XXP= =6255. 0)3194. 0(,102. 0)1(275. 0 1 1 设总体设总体X , , 为来自为来自X的一个样本的一个样本, ,则则 服从服从 分布，参数为分布，参数为 )2 , 0(2N1521,XXX)(221521121021XXXXY 3 3设设X X1,X2,X20是来自总体是来自总体 的简单随机的简单随机 20112101)1(iiiiiXX), 0(2NX样本，则统计量样本，则统计量 服从服从_分布。分布。 (10,5)F

25、0.25t(10)4设设 是参数是参数 的无偏估计的无偏估计, , 且有且有 , ,则则 是是 的无偏估计的无偏估计0)(D22)(25设设 是参数是参数 的无偏估计的无偏估计, , 且有且有 , ,则则 不是不是 的无偏估计的无偏估计0)(D22)(26设总体设总体,是来自是来自X的样本的样本,适当选择常数适当选择常数c,使使为为的无偏估计的无偏估计.2),(2NXnXXX,211121)(niiixxc7.7. 设设X X1,X2,Xn+1是正态总体是正态总体N( N( )的简单样本，的简单样本，2 , niiXnX11212)(1 niinXXnS2221)()(1( niiXXn 11

26、1 nnSXXnn试求试求和和的分布，的分布， 的分布。的分布。8 8（0505） 设随机变量设随机变量为来自总体为来自总体的简单随机样本，的简单随机样本，为样本均值，为样本均值，记记)2(,21 nXXXnX求求(1)的方差的方差niXXYii, 2 , 1, (2)与与的协方差的协方差iYniYDi, 2 , 1),( 1YnY),(1nYYCov)1 , 0(N)11( n,F)1( ntnn)1( n1 9.设设X1,X2,X25来自总体来自总体X N(3,102)样本样本, , 求求206 57.70151.73PXS ，206 57.70151.73PXPS 22220336310

27、/2510/2510/25(25-1)57.70( -1)(25-1)151.73101010XPnSP 解：解：22333(25-1)13.8481),则则()21XY (A)Y2(n)(B)Y2(n-1)(C)Y F(1,n)(D)Y F(n,1)12.设设(X1,X2,Xn)是来自正态总体是来自正态总体N( , 2)的样本的样本,则则D(S2)=() 21211 niiXXnS(A)n4 (B)n42 (C)14 n (D)124 n 13.设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的样本的样本,E(X)= ,D(X)= 2,为为样本均值样本均值,S2为样本方差为样本方差,则则()X(A

28、)22S) 1n( 2(n-1)(B)X ),(2nN (C)S2与与X相互独立相互独立(D)S2是是 2的无偏估计量的无偏估计量14.设设是来自总体是来自总体的样本，则的样本，则的矩估计量为（）的矩估计量为（）（）（）（）（）（）（）（）（）nXXX,21 2, NX22 niiXXn121 niiXXn1211212XnXnii niiXn121 设总体设总体 的概率密度为的概率密度为样本为样本为 ，求，求(1) (1) 的矩估计量的矩估计量 (2)(2)其它 00 )(6);(3xxxxfnXXX,21 X)(D解答解答X2 矩矩 n5)D(2 已知已知X的分布律为的分布律为求求的矩估计

29、及极大似然估计量的矩估计及极大似然估计量, 2 , 1,)1 (1kppkXPkp 设总体设总体 , , 均未知，又设均未知，又设 为为X的一组样本观测值，试求的一组样本观测值，试求 的极大似然估计值量的极大似然估计值量),(2NX2,),(21nxxx 2, 设总体设总体X服从（服从（a，b）上的均匀分布，）上的均匀分布， a，b均未知，又设均未知，又设 为为X的一组样本观测值，试求的一组样本观测值，试求a，b的极大似然估计值量的极大似然估计值量. .),(21nxxx 19 19 设设 未知，未知， 是是X 的一个的一个 样本，样本， 为为X 的一组样本观测值，试求参数的一组样本观测值，试

30、求参数 的极大似然估计值量的极大似然估计值量. .ppbX), 1 (nXXX,21 p为总体为总体X 的样本，的样本，nXXX,21 为总体为总体X 的样本，的样本，nXXX,21 ),(21nxxx 20.20.某厂用自动包装机包装化肥，每包额定重量为某厂用自动包装机包装化肥，每包额定重量为100100千克，千克，设每包实际重量服从正态分布，且由以往经验知设每包实际重量服从正态分布，且由以往经验知 为检查包装机工作是否正常，某日开工后，随机抽取为检查包装机工作是否正常，某日开工后，随机抽取1010包包 称得重量（千克）为：称得重量（千克）为： 99.3 98.9 101.5 101.0 9

31、9.6 98.7 99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.8 99.8 100.9 102.2 100.8 99.8 100.9 问该日包装机工作是否正常？问该日包装机工作是否正常？2281. 2)10(,8125. 1)10(2622. 2)9(,8331. 1)9(96. 1,645. 1,05. 005. 005. 005. 005. 0025. 005. 0 ttttZZ 15. 1 简答简答: : H0: = = 0=100,H1: 100, 2已知，利用已知，利用z检检验，检验统计量为验，检验统计量为，其拒绝域为，其拒绝域为|z|z z

32、/2/2nXz 021.21. 某厂用自动包装机包装化肥，每包额定重量为某厂用自动包装机包装化肥，每包额定重量为100100千克，千克，设每包实际重量服从正态分布，为检查包装机工作是否正常，设每包实际重量服从正态分布，为检查包装机工作是否正常，某日开工后，随机抽取某日开工后，随机抽取1010包，称得重量（千克）为：包，称得重量（千克）为：99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.8 99.8 100.9100.8 99.8 100.9问该日包装机工作是否正常？问该日包装机工作是

33、否正常？2281. 2)10(,8125. 1)10(2622. 2)9(,8331. 1)9(96. 1,645. 1,05. 005. 005. 005. 005. 0025. 005. 0 ttttZZ 简答简答: : H0: = = 0=100,H1: 100, 2未知，利用未知，利用t检验，检验，检验统计量为检验统计量为,拒绝域为拒绝域为|t|t t /2 /2 (n-1)(n-1)nSXt0 2222设某厂生产的某种型号的灯泡，其寿命服从正态分布设某厂生产的某种型号的灯泡，其寿命服从正态分布 由以往经验知道灯泡的平均寿命由以往经验知道灯泡的平均寿命 小小时，为了提高灯泡的寿命，对生产工艺进行了改革，现从新时，为了提高灯泡的寿命，对生产工艺进行了改革，现从新工艺生产的灯泡中抽取了工艺生产的灯泡中抽取了2525只，测得平均寿命为只，测得平均寿命为16751675小时，小时， 问采用新工艺后，灯泡寿命是否有显著提高？问采用新工艺后，灯泡寿命是否有显著提高？（ ）05. 0 ),(2 N15000 198 s简答简答: :