2021年二次函数与相似三角形问题

1、综合题讲解函数中因动点产生的相像三角形问题例题如图 1，已知抛物线的顶点为A（2， 1），且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B；求抛物线的解析式； （用顶点式求得抛物线的解析式为y1 x 2x ）4如点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形， |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 求 D 点的坐标；连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP与 OAB相像如存在，求出P 点的坐标；如不存在，说明理由；yyAAOBOBxx图 1

2、例 1 题图图 2分析 :1. 当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、 B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类争论: 按 OB为边和对角线两种情形2.函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题途径 求相像三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特别三角形；依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类争论；或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等学问来推导边的大小；如两个三角形的各边均未给出，就应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相像来列方

3、程求解；第 1 页，共 20 页2例题 2：如图，已知抛物线y=ax +4ax+t （ a 0）交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交x轴于点 E，点 B 的坐标为（ -1 ，0）（ 1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（ 2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判定四边形ABCP是什么四边形并证明你的结 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 论；（ 3）连接 CA与抛物线的对称轴交于点D，当 APD= ACP时，求抛物线的解析式练习 1、已知抛物线2yaxbxc 经过P3

4、，3，E53 ，02及原点O 0，0 （ 1）求抛物线的解析式 （由一般式得抛物线的解析式为y2 x253 x ）33（ 2）过 P 点作平行于x 轴的直线PC 交 y 轴于 C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点，交直线PC 于 B 点，直线 QA 与直线 PC及两坐标轴围成矩形OABC 是否存在点Q ，使得OPC 与 PQB相像如存在，求出Q 点的坐标；如不存在，说明理由（ 3）假如符合（ 2）中的 Q 点在 x 轴的上方，连结OQ ，矩形 OABC 内的四y OPC， PQB，OQP， OQA 之

5、间存在怎样的关系为什么C O个三角形PBQEAx第 2 页，共 20 页练习 2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点 C在 y 轴上，将边 BC折叠，使点B落在边 OA的点 D 处；已知折叠CE55 ，且3 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.（ 1）判定OCD 与 ADE 是否相像请说明理由；tanEDA；4|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. （ 2）求直线CE与 x 轴交点 P 的坐标；（ 3）是否存在过点D 的直线 l ，使直线l 、直线 CE与 x 轴所围成的三角形和直线l 、直线 CE与 y 轴所

6、围成的三角形相像假如存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；假如不存在，请说明理由；yCBEODA x练习 2 图练习 3、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数yax2bxca0 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，其顶点的横坐标为1，且过点 2，3 和 3， 12 （ 1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为yx22 x3 ）（ 2）如直线l : ykx k0 与线段 BC 交于点 D （不与点B， C 重合），就是否存在这样的直线l ，使得以 B，O， D 为顶点的三角形与BAC 相像如存在， 求出该直线的函数表达式及点

7、D 的坐标； 如不存在，请说明理由；A1，0，B 3，0, C 0，3（ 3）如点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO 与ACOyxlC第 3 页，共 20 页P的大小（不必证明） ，并写出此时点P 的横坐标xp 的取值范畴 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.练习 4 、如下列图，已知抛物线（ 1）求 A、 B、C 三点的坐标yx2O1 与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C|迎.|下.|载. （ 2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积（ 3）在 x 轴上

8、方的抛物线上是否存在一点M，过 M作 MGx 轴于点 G，使以 A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相像如存在，恳求出M点的坐标；否就，请说明理由练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中， ABC 是直角三角形，ACB90o ，点 A，C的坐标分别为 A3，0 ， C 1，0 ， tanBAC3 4（ 1）求过点A，B 的直线的函数表达式；点A3，0 ， C 1，0 ， B 1，3 ， y3 x9（ 2）在 x 轴上找一点D ，连接 DB ，使得44 ADB 与 ABC 相像（不包括全等） ，并求点 D 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，如P， Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接PQ

9、 ，设 APDQm ，问是否存第 4 页，共 20 页在这样的 m 使得 APQ 与 ADB 相像，如存在，恳求出m 的值；如不存在，请说明理由yB |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. xAOC练习 6、如图，已知抛物线与x 交于 A 1， 0 、E3 ， 0 两点，与y 轴交于点B0 ，3 ；（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（ 3） AOB与 DBE是否相像假如相像，请给以证明；假如不相像，请说明理由；2练习 7、如图，已知抛物线y 34x bx c 与坐标轴交于A、 B

10、、C 三点，A 点的坐标为（1， 0），第 5 页，共 20 页过点 C 的直线 y 34 tx 3 与 x 轴交于点Q，点 P 是线段 BC上的一个动点，过P 作 PH OB于点 H如 PB 5t ，且 0 t 1（ 1）填空：点C 的坐标是 _ ， b _ ， c _；（ 2）求线段QH的长（用含t 的式子表示） ；（ 3）依点 P 的变化，是否存在t 的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相像如存在，求出全部t 的值；如不存在，说明理由 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. yQHAOBxPC练习 8、如图，

11、抛物线经过A4，0，B1，0，C 0，2 三点（ 1）求出抛物线的解析式；（ 2） P是抛物线上一动点，过P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以A，P， M为顶点的三角形与 OAC 相像如存在，恳求出符合条件的点P 的坐标；如不存在，请说明理由；（ 3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得 DCA 的面积最大，求出点D 的坐标第 6 页，共 20 页练习 9、已知， 如图 1，过点 E0， 1作平行于 x 轴的直线 l ，抛物线 y1 x上的两点A、B 的横坐标分24别为1 和 4，直线 AB 交 y 轴于点 F ，过点 A、B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、 D ，

12、连接CF、DF （ 1）求点 A、B、F的坐标；（ 2）求证： CFDF ； |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.1|迎.|下.2|载. （ 3）点 P 是抛物线yx 对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作 PQ 4PO 交 x 轴于点 Q ，是否存在点 P 使得OPQ与 CDF相像如存在，恳求出全部符合条件的点P 的坐标；如不存在，请说明理由2练习 10、当 x 2 时，抛物线y ax bxc 取得最小值1，并且抛物线与y 轴交于点C（0，3），与 x 轴交于点 A、B（ 1）求该抛物线的关系式；（ 2）如点 M（ x， y1），N（

13、x 1， y 2）都在该抛物线上，试比较y 1 与 y2 的大小；（ 3）D 是线段 AC的中点， E 为线段 AC上一动点（ A、C 两端点除外） ，过点 E 作 y 轴的平行线EF 与抛物线交于点 F问：是否存在DEF与 AOC相像如存在，求出点E 的坐标；如不存在，就说明理由y3C EDFOBAx（第 26 题图）第 7 页，共 20 页2练习 11、如图，一次函数y= 2x 的图象与二次函数y=x（ 1）写出点B 的坐标；2+3x 图象的对称轴交于点B. |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. （ 2）已知点 P

14、 是二次函数y=x +3x 图象在 y 轴右侧部分上的一个动点， 将直线 y= 2x 沿 y 轴向上平移，分别交 x 轴、 y 轴于 C、D 两点 .如以 CD为直角边的PCD与 OCD相像，就点P 的坐标为.DCOB练习 12、如图，抛物线yax 2bx1 与 x 轴交于两点 A（ 1， 0）， B（ 1，0），与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 过点 B作BD CA与抛物线交于点D，求四边形 ACBD的面积；(3) 在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点M，过 M作MN x 轴于点 N，使以 A、M、N为顶点的三角形与BCD相像如存在，就求出点M的坐标；如不存在，请说明理由

15、第 8 页，共 20 页 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 练习 13、已知：函数y=ax 2+x+1 的图象与x 轴只有一个公共点（ 1）求这个函数关系式；2（ 2）如下列图，设二 次函数 y=ax+x+1 图象的顶点为B，与 y 轴的交点为A，P 为图象上的一点，如以线段 PB 为直径的圆与直线AB相切于点B，求 P 点的坐标；2（ 3）在 2 中，如圆与x 轴另一交点关于直线PB的对称点为M，摸索究点M是否在抛物线y=ax +x+1 上，如在抛物线上，求出M点的坐标；如不在，请说明理由yABOx第 9 页，共

16、 20 页练习 14、如图 , 设抛物线C1: ya x1 25 , C 2: ya x15 ,C 1 与 C2 的交点为A, B, 点 A 的坐标2是 2,4 , 点 B 的横坐标是2.（ 1）求 a 的值及点B 的坐标；（ 2）点 D在线段 AB上, 过 D作 x 轴的垂线 , 垂足为点H,在 DH的右侧作正三角形DHG. 记过 C2 顶点的直线为 l , 且 l 与 x 轴交于点N. |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 如 l 过 DHG的顶点 G,点 D 的坐标为 1, 2，求点 N的横坐标； 如 l 与 D

17、HG的边 DG相交 , 求点 N的横坐标的取值范畴.练习 15、如图，在矩形ABCD中， AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动，设AP=x ，现将纸片折叠，使点D 与点 P 重合，得折痕EF（点 E、 F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片仍原；（ 1）当 x=0 时，折痕EF 的长为；当点 E 与点 A重合时，折痕EF的长为；（ 2）请写出访四边形EPFD为菱形的 x 的取值范畴，并求出当x=2 时菱形的边长；（ 3）令2EFy ，当点 E 在 AD、点 F 在 BC上时，写出 y 与 x 的函数关系式； 当 y 取最大值时， 判定VEAP与 VPBF 是否相像如相像，求出x 的值

18、；如不相像，请说明理由；第 10 页，共 20 页练习 16、如图，已知A4,0， B0, 4 ，现以 A 点为位似中心，相像比为9:4 ，将 OB向右侧放大， B 点 |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 的对应点为C(1) 求 C 点坐标及直线BC的解析式 ;(2) 一抛物线经过B、C 两点，且顶点落在x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;(3) 现将直线BC绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上全部满意到直线AB距离为 32 的点 P第 11 页，共 20 页 |精.|品.|可.|编.|

19、辑.|学.|习.|资.|料. * 参考答案例题、解 : 由题意可设抛物线的解析式为抛物线过原点，ya x2 21 | * | * | 0a 02 211 * | |欢.|迎.|下.|载. a.4抛物线的解析式为y1 x42 21, 即 y1 x 2x4y如图 1, 当 OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD OB,A12OB由 0x241得 x10, x 24 ,xB4,0,OB 4.D点的横坐标为6CD图 1将 x 6 代入 yD6, 3;1 x42 21, 得 y 3,依据抛物线的对称性可知, 在对称轴的左侧抛物线上存在点D, 使得四边形ODCB是平行四边形, 此时 D 点的坐标为

20、2, 3,当 OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D 点即为 A 点, 此时 D 点的坐标为 2,1如图 2，由抛物线的对称性可知:AOAB,AOB ABO.如 BOP与 AOB相像 , 必需有 POB BOA BPO设 OP交抛物线的对称轴于A点 , 明显 A2, 1y1A直线 OP的解析式为yx 2OBE由1 x21 x 2x ,x4A'图 2P第 12 页，共 20 页得 x 10, x 26. P6, 3过 P 作 PEx轴, 在 RtBEP中,BE 2,PE 3,PB13 4.PBOB, BOP BPO, |精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * |

21、 * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. PBO与 BAO不相像 ,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点 .所以在该抛物线上不存在点P, 使得 BOP与 AOB相像 .练习 1、解：（ 1）由已知可得：3a3b375 a53 b420 解之得， a253， b， c0 33c0因而得，抛物线的解析式为：y2 x253 x 33（ 2）存在设 Q 点的坐标为m， n ，就 n2 m253 m ，3332 m253 m33要使 OCP PBQ, BQPBCPOC3nm3m3，就有，即3333解之得， m123，m22 当 m123 时， n2 ，即为 Q 点，所以得Q2

22、3，2第 13 页，共 20 页32 m253 m要使 OCP QBP, BQPB ，就有 3nm3 ，即33m3OCCP3333解之得， m133，m23 ，当 m3 时，即为 P 点，当 m133 时， n3，所以得Q33，3 故存在两个Q 点使得 OCP 与 PBQ相像 |精.|品.|可.|编.Q 点的坐标为23，2， 33，3 CP3|辑.|学.|习.|资.|料. * | （ 3）在 RtOCP 中，由于tanCOPOC所以3oCOP30o * | * | * 当 Q 点的坐标为23，2 时，BPQCOPo30 | |欢.|迎.|下.|载.所以OPQOCPBQAO90 因此，OPC，

23、PQB，OPQ，OAQ都是直角三角形又在 Rt OAQ中，由于tanQOAQA AO3所以3QOA30o 即有POQQOAQPBCOP30o 所以 OPC PQB OQP OQA ，又由于 QP OP， QA OAPOQAOQ30o ，所以 OQA OQP 练习 2解：（ 1） OCD 与 ADE 相像；理由如下：y由折叠知，CDEB90°，CB31290°， Q1390o，23.E12又CODDAE90°，ODAx图 1第 14 页，共 20 页OCD ADE ；（ 2） tanAEEDAAD3， 设 AE=3t，4就 AD=4t；由勾股定理得DE=5t； OC

24、ABAEEBAEDE3t5t8t ；ylNCMBG|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.由（ 1） OCD 8tCD，ADE ，得 OCCD ，ADDEEPODAx * | * | * | * | |欢.|迎.|下.4t5t CD10t ；222|载. 在 DCE中， CDDECE， 10t 25t 255 2，解得 t=1 ；OC=8， AE=3，点 C 的坐标为（ 0， 8），F点 E 的坐标为（ 10，3），图 2设直线 CE的解析式为y=kx+b ，10kb3，k1 ，解得2b8，b8，1 yx28 ，就点 P 的坐标为（ 16，0）；（ 3）满意条件的直线l 有 2

25、条： y= 2x+12， y=2x 12；如图 2：精确画出两条直线；练习 3第 15 页，共 20 页解：（ 1）Q 二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点 2，3 和 3， 12 ，b 2a由4a1，2bca1，3，解得b2，9 a3b212.c3.此二次函数的表达式为2yx2 x3 |精.|品.|可.（ 2）假设存在直线l : ykxk0 与线段 BC 交于点 D （不与点 B， C 重合），使得以 B，O， D 为顶点|编.|辑.|学.|习.的三角形与 BAC 相像|资.|料. * | * | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 在 yx2 x3 中，令 y0 ，就由x22 x30

26、 ，解得 x1， x3 A1，0， B 3，0 212令 x0 ，得 y3 C 0，3 xl设过点 O 的直线 l 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE x 轴于点 E Q 点 B 的坐标为 3，0 ，点 C 的坐标为 0，3 ，点 A 的坐标为 1，0 CDAB4，OBOC3，OBC45o.BC323232 AOEBy要使 BOD BAC 或 BDO BAC ，已有BB ，就只需BDBOx1，BCBABOBD或.BCBA成立如是，就有BDBO gBC BA3329244而OBC45o，BEDE 在 Rt BDE2中，由勾股定理，得BE22DE2 BE2BD 2924解得BEDE9（负值舍

27、去） 4第 16 页，共 20 页93OEOBBE344，点 D 的坐标为3944将点 D 的坐标代入ykxk0 中，求得 k3 满意条件的直线l 的函数表达式为y3 x或求出直线AC 的函数表达式为y3x3 ，就与直线AC 平行的直线l 的函数表达式为y3 x 此时|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.易知 BOD BAC ，再求出直线BC 的函数表达式为39yx3 联立 y3x， yx3 求得点 D|资.|料. * | * | * | 的坐标为，44BO gBA34 * | |欢.|迎.|下.|载.如是，就有BDBC3222 而OBC45o， BEDE 22222在 Rt BDE 中，

28、由勾股定理，得BEDE2 BEBD22解得BEDE OEOBBE2（负值舍去） 321点 D 的坐标为 1，2 将点 D 的坐标代入ykxk0 中，求得 k2 满意条件的直线l 的函数表达式为y2 x 存在直线l : y3x 或 y2 x 与线段 BC 交于点 D （不与点 B， C 重合），使得以 B，O，D 为顶点的三角形与 BAC 相像，且点D 的坐标分别为39，或 1，2 44（ 3）设过点C 0，3，E 1，0 的直线ykx3k0 与该二次函数的图象交于点P 将点 E 1，0 的坐标代入ykx3 中，求得 k3 此直线的函数表达式为y3 x3 设点 P 的坐标为 x， 3x3 ，并代

29、入yx22 x3 ，得x25 x0 第 17 页，共 20 页解得 x15， x20 （不合题意，舍去） x5， y12 x点 P 的 坐 标 为 5， 12 此时，锐角PCOACOC· C又Q 二次函数的对称轴为x1 ，AOEB |精.点 C 关于对称轴对称的点C 的坐标为 2，3 |品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料. * | * 当 xp当 xp5 时，锐角PCOACO ；5 时，锐角PCOACO ；x1P | * | * | |欢.|迎.|下.|载. 当 2xp练习四5时，锐角PCOACO 2解：（ 1）令 y0 ，得 x10解得 x1y令 x0 ，得 y1 A 1,0B1,0C0,1P（ 2） OA=OB=OC1=BAC=ACO=BCO=45oAPCB，PAB=45o过点 P 作 PEx 轴于 E，就APE为等腰直角三角形AoBxC图 1令 OE=a ，就 PE=a1Pa, a1点 P 在抛物线22yx1 上 a1a1解得 a12 ，a21 （不合题意，舍去）PE=3四边形ACBP的面积 S = 123 假设存在1AB. OC+2AB. PE=112123422PAB=BAC