93全国高中数学联赛试题及解答

1、1993年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1若m=(x，y)| |tanpy|+sin2px=0，n=(x，y)|x2+y22，则mn的元素个数是（ ）(a)4 (b)5 (c)8 (d)92已知f(x)=asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）(a)-5 (b)-3 (c)3 (d)随a，b取不同值而取不同值3集合a，b的并集ab=a1，a2，a3，当a¹b时，(a，b)与(b，a)视为不同的对，则这样的(a，b)对的个数是（ ） （a）8 （b）9 （c）26 （d）274若直线x=被曲线c:

2、(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( ) (a) (b) (c) (d)p5在abc中，角a，b，c的对边长分别为a，b，c，若c-a等于ac边上的高h，则sin+cos的值是( ) (a)1 (b) (c) (d)-16设m，n为非零实数，i为虚数单位，zÎc，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|=-m在同一复平面内的图形(f1，f2为焦点)是( )二、填空题（每小题5分，共30分）1二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，l&

3、#206;r)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为_2实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设 s=x2+y2，则+=_3若zÎc，arg(z2-4)= ，arg(z2+4)= ，则z的值是_.4整数的末两位数是_.5设任意实数x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993k·log1993恒成立，则k的最大值是_.6三位数(100，101，l，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是

4、，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_张卡片三、（本题满分20分）三棱锥sabc中，侧棱sa、sb、sc两两互相垂直，m为三角形abc的重心，d为ab的中点，作与sc平行的直线dp证明：(1)dp与sm相交；(2)设dp与sm的交点为d¢，则d¢为三棱锥sabc的外接球球心四、（本题满分20分）设0<a<b，过两定点a(a，0)和b(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点p的轨迹五、（本题满分20分）设正数列a0，a1，a2，an，满足 =2an1，(n2)且a0=a1=1，求an的通项公

5、式第二试一、（35分）设一凸四边形abcd，它的内角中仅有Ðd是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去a、b、c、d外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点试证n应满足的充分必要条件是n4二、（35分）设a是一个有n个元素的集合，a的m个子集a1,a2,l,am两两互不包含试证：(1) 1；(2) cm2其中|ai|表示ai所含元素的个数，c表示n个不同元素取|ai|个的组合数三、（35分） 水平直线m通过圆o的中心，直线lm，l与m相交于m，点m在圆心的右侧，直线l上不同的三点a,b,c在圆外，且位于直线m上方，a点离m点最远，c点离m点最近，ap,b

6、q,cr为圆 o的三条切线，p,q,r为切点试证：(1)l与圆o相切时，ab´cr+bc´ap=ac´bq；(2)l与圆o相交时，ab´cr+bc´apac´bq；(3)l与圆o相离时，ab´cr+bc´apac´bq.1993年全国高中数学联合竞赛解答第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1若m=(x，y)| |tanpy|+sin2px=0，n=(x，y)|x2+y22，则mn的元素个数是（ ）(a)4 (b)5 (c)8 (d)9解：tanpy=0，y=k(kz)，sin2px=0，x=m(mz)

7、，即圆x2+y2=2及圆内的整点数共9个选d2已知f(x)=asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）(a)-5 (b)-3 (c)3 (d)随a，b取不同值而取不同值解：设lglog310=m，则lglg3=lglog310=m，则f(m)=asinm+b+4=5，即asinm+b=1 f(m)=(asinm+b)+4=1+4=3选c3集合a，b的并集ab=a1，a2，a3，当a¹b时，(a，b)与(b，a)视为不同的对，则这样的(a，b)对的个数是（ ） （a）8 （b）9 （c）26 （d）27解：a1a或Ïa，有

8、2种可能，同样a1b或Ïb，有2种可能，但a1Ïa与a1Ïb不能同时成立，故有221种安排方式，同样a2、a3也各有221种安排方式，故共有(221)3种安排方式选d4若直线x=被曲线c:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( ) (a) (b) (c) (d)p解：曲线c表示以(arcsina，arcsina)，(arccosa，arccosa)为直径端点的圆即以(，)及(，+)(，)为直径端点的圆而x=与圆交于圆的直径故d=故选c5在abc中，角a，b，c的对边长分

9、别为a，b，c，若c-a等于ac边上的高h，则sin+cos的值是( ) (a)1 (b) (c) (d)-1解：2r(sincsina)=csina=2rsincsina，Þsincsina=sincsina，Þ2cossin=cos(c+a)cos(ca)= 12sin22cos2+1Þ(sin+cos)2=1，但sin+cos>0，故选a6设m，n为非零实数，i为虚数单位，zÎc，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|-m在同一复平面内的图形(f1，f2为焦点)是( )解：方程为椭圆，为双曲线的一支二者的焦点均为(n

10、i，mi)，由n>0，故否定a，由于n为椭圆的长轴，而c中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定c由b与d知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|of1|=n，于是m<0，|of2|=m曲线上一点到ni距离大，否定d，故选b二、填空题（每小题5分，共30分）1二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，lÎr)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为_解：即此方程没有实根的条件当r时，此方程有两个复数根，若其有实根，则x2+x+1=0，且x2x=0相减得(+1)(x+1)=0当=1时，此二方程相同，且有两

11、个虚根故=1在取值范围内当1时，x=1，代入得=2即=2时，原方程有实根x=1故所求范围是22实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设 s=x2+y2，则+=_解：令x=rcos，y=rsin，则s=r2得r2(45sincos)=5s=+=+=3若zÎc，arg(z2-4)= ，arg(z2+4)= ，则z的值是_.解：如图，可知z2表示复数4(cos120°+isin120°) z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+i)4整数的末两位数是_.解：令x=1031，则得=x23x+9由于0<<1，

12、故所求末两位数字为091=085设任意实数x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993k·log1993恒成立，则k的最大值是_.解：显然>1，从而log1993>0即+就是(lgx0lgx1)+(lgx1lgx2)+(lgx2lgx3)( +)k其中lgx0lgx1>0，lgx1lgx2>0，lgx2lgx3>0，由cauchy不等式，知k9即k的最大值为96三位数(100，101，l，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如1

13、98倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_张卡片解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(8012)÷2=34个三、（本题满分20分）三棱锥s-abc中，侧棱sa、sb、sc两两互相垂直，m为三角形abc的重心，d为ab的中点，作与sc平行的直线dp证明：(1)dp与sm相交；(2)设dp与sm的交点为，

14、则为三棱锥sabc的外接球球心 证明： dpsc，故dp、cs共面 dcÍ面dpc， mdc，Þm面dpc，smÍ面dpc 在面dpc内sm与sc相交，故直线sm与dp相交 sa、sb、sc两两互相垂直， sc面sab，scsd dpsc， dpsddd¢mcsm， m为abc的重心， dmmc=12 dd¢sc=12取sc中点q，连d¢q则sq=dd¢，Þ平面四边形dd¢qs是矩形 d¢qsc，由三线合一定理，知d¢c=ps同理，d¢a= d¢b= d¢

15、b= d¢s即以d¢为球心d¢s为半径作球d¢则a、b、c均在此球上即d¢为三棱锥sabc的外接球球心四、（本题满分20分）设0<a<b，过两定点a(a，0)和b(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点p的轨迹解：设l：y=k1(xa)，m：y=k2(xb)于是l、m可写为(k1xyk1a)(k2xyk2b)=0 交点满足若四个交点共圆，则此圆可写为(k1xyk1a)(k2xyk2b)+l(y2x)=0此方程中xy项必为0，故得k1=k2，设k1=k2=k0于是l、m方程

16、分别为y=k(xa)与y=k(xb)消去k，得2x(a+b)=0，(y0)即为所求轨迹方程五、（本题满分20分）设正数列a0、a1、a2、an、满足 =2an1，(n2)且a0=a1=1，求an的通项公式解：变形，同除以得：=2+1，令+1=bn，则得bn=2bn1即bn是以b1=+1=2为首项，2为公比的等比数列 bn=2n =(2n1)2故 第二试一、（35分）设一凸四边形abcd，它的内角中仅有Ðd是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去a、b、c、d外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点试证n应满足的充分必要条件是n4证明 充分性当n=4时，如

17、图，只要连ac，并在abc内取一点f，使afb、bfc、cfa都为钝角(例如，可以取abc的fermat点，由于abc是锐角三角形，故其fermat点在其形内)于是，adc、afb、bfc、afc都是钝角三角形当n=5时，可用上法把凸四边形分成四个钝角三角形再在af上任取一点e，连eb，则aeb也是钝角三角形，这样就得到了5个钝角三角形一般的，由得到了4个钝角三角形后，只要在af上再取n4个点e1、e2、en4，把这些点与b连起来，即可得到均是钝角三角形的n个三角形必要性n=2时，连1条对角线把四边形分成了2个三角形，但其中最多只能有1个钝角三角形n=3时，无法从同一顶点出发连线段把四边形分成

18、3个三角形，现连了1条对角线ac后，再连b与ac上某点得到线段，此时无法使得到的两个三角形都是钝角三角形当n=2，3时无法得到满足题目要求的解只有当n4时才有解二、（35分）设a是一个有n个元素的集合，a的m个子集a1,a2,l,am两两互不包含试证：(1) 1；(2) cm2其中|ai|表示ai所含元素的个数，c表示n个不同元素取|ai|个的组合数证明： 即证：若k1+k2+km=n，则k1!(nk1)!+k2!(nk2)!+km!(nkm)!n! 由于n!表示n个元素的全排列数，而ki!(nki)!表示先在这n个元素中取出ki个元素排列再把其其余元素排列的方法数，由于ai互不包含，故n!k1!(nk1)!+k2!(nk2)!+km!(nkm)!成立 ()(c)(1+1+1+1)2=m2但0<1，故cm2三、（35分） 水平直线m通过圆o的中心，直线lm，l与m相交于m，点m在圆心的右侧，直线l上不同的三点a,b,c在圆外，且位于直线m上方，a点离m点最远，c点离m点最近，ap,bq,cr为圆 o的三条切线，p,q,r为切点试证：(1)l与圆o相切时，ab´cr+bc´ap=ac´bq；(2)l与圆o相交时，ab´cr+bc´apac´bq；(3)l与