分数阶PID控制器的脆性在滞后模型进程中应用

1、ISA 学报手稿手稿编号：ISATRANS-D-14-00812R2题目：分数阶PID控制器的脆性在滞后模型进程中应用文章类型：研究类文章类别/种类：设计类关键字：分数阶控制器，PID控制器，调整，脆弱性摘要：本文分析了分数阶PID控制器应用于整型一阶加滞后过程中的脆弱性问题，详细的研究了控制器参数的变化在实现控制系统的鲁棒性和性能上的作用。结果显示这种控制器与标准PID控制器相比脆弱性更大，因此用户在调整过程中应该更加注意。给评论者的回复 1作者分析了分数阶PID控制器的脆性问题和控制器参数变化对鲁棒性和确认性能的影响。结论可靠方法可行。同时本文根据读者的要求已作出修改，本文在理论研究方面有

2、重要意义并且能得到认可。感谢读者对本文的鉴赏。给读者的回复 2感谢读者对本文所做的努力。在修正版中我们已将读者的意见考虑在内，如下所示。本文研究了分数阶PID控制器的应用中的一个十分有意义的问题，本文的创新有些不充分。我建议做一次大修改，原因如下：1） 是否研究其他性能更有实际意义？例如标准传递函数。我们已经选择了误差绝对值积分，因为误差绝对值积分最适合用于工业环境并且也是著作中研究最多的。再者，我们已经针对整数阶和分数阶PID控制器制定了基于误差绝对值积分的调整规则，所以这两种类型的控制器的比较是公平的。2） 这篇参考应该加到第五页的最后一句。我们已将该参考加到修正版中。3） 基于小部分特殊

3、种类的控制方案得出的结果说服力较差。或者标题应该表明本文是针对一阶时滞过程的研究，理论的研究分析还不是很充分。现在我们已经将本文是针对一阶时滞过程的分析加到题目和摘要中了。我们确信这类系统在控制领域的研究过程中是很重要的，这种假设性的分析有利于一阶时滞控制器建立手动调整步骤，进而对这一应用在工厂的扩展也是有益处的。事实上，整数阶PID控制器10,12 文献中分析的扩展，作为通用的理论性分析的发展，还是基于数值的扩展，确实是十分复杂的。4） 公式中使用标点符号有点不正规。我们已经纠正了公式中的标点符号，使其看起来在文中连贯一致。5） 所得数据的分析和结论应该清新详细的给出，不应该混在一起。我们用

4、简介扩充了讨论部分来阐明所得结论。6） 参考文献格式不一致。我们纠正了格式不一致的参考文献。7） 手稿中的“PID”或“标准PID”能否被整数阶PID替换？可以，“PID”、“标准PID”和“整数阶PID”控制器表示相同的概念。为了避免引起疑惑，我们全文使用统一的符号IOPID。给读者的回复 3感谢读者对本文所做的努力。在修正版中我们已将读者的意见考虑在内，如下所示。修正版中有许多仿真。但能否得出通用的统一的结论？另外，文中所得结论是否适用于以其他形式运行的设备？脆弱性的研究还没有系统化。在修正版中我们扩充了讨论的范畴。通过文中分析所得主要结论是分数阶PID控制器比整数阶PID控制器更脆弱。对

5、一阶时滞系统做了分析，这类系统在过程控制领域非常重要，因为它可以有效地模拟大型工厂。事实上，考虑其他类型的过程将意味着引进许多其他数据，这会使文章读起来冗长难度大，作为理论分析类文章这样确实太复杂了（还要注意文章中对整数阶PID控制器脆弱性分析是基于数值的结论10,12）。我们坚信假设的分析对建立手动调整步骤是有用的，进而对这些控制器在工厂的扩展也是有益的。集锦（用于回顾）分析分数阶PID控制器的脆弱并与标准PID控制器作比较。考虑了鲁棒性和性能的脆弱性。分数阶PID控制器更脆弱，因此在其调整过程中要引起更多注意。在一阶加纯滞后过程中分数阶PID控制器的脆弱性摘要本文分析了应用于整数型一阶加纯

6、滞后过程的分数阶PID控制器的脆弱问题。着重研究了控制器参数的变化对实现的控制系统鲁棒性和确认性能的影响。结果显示这种控制器与标准PID控制器相比脆弱性更大，因此用户在调整过程中应该更加注意。关键字：分数阶控制器，PID控制，调整，脆弱性。1、 简介一个采用正确设计的控制系统一定能有效地协调性能和鲁棒性。然而，另一个公认的有待解决的重要问题就是控制系统对控制器参数变化的脆弱性，也就是控制系统的鲁棒性和/或性能对控制器参数变化的敏感度。一些原稿（见1）的论文中也提出了这个问题，并且特别强调了基于H2，H和l1标准最小化的设计技巧要服从高阶稳定的，最佳的还有极端脆弱的控制器，也就是说控制器系数的微

7、小变化就能导致系统不稳定。但是在3，4中指出这一问题通过使用合适的控制器参数化法可以解决。工厂中使用最多的控制器是整数阶PID控制器，在5和6中对这种控制器的脆弱性提出了特定的解决办法。其中，作者建议调整整数阶PID控制器来使给定设备稳定域中控制参数向量的l2最大化。但是典型的工业性能现状（与给定值和负载干扰抑制相关）没有考虑在内。这种方法应用于一阶加纯滞后和积分加纯滞后过程，与使用Ziegler-Nichols阶跃响应法8获得的结果类似，很多观点9认为Ziegler-Nichols阶跃响应法有待改进。因此，文章认为研究整数阶PID控制器的主要原因之一是给使用者提供一种控制器调整的思路10，1

8、1，12。换句话说，当整数阶PID参数有清晰的物理意义时，操作员可以修改参数来改变控制系统性能。在这篇文章中，评估鲁棒性/确认性能对参数微小变化的敏感度是很有好处的。为此，一个称为脆弱性环的形象的工具在13中提出了，这个工具在评估控制器的鲁棒性/脆弱性提供了可视化帮助。近几年，通过学术界和工业界对分数阶PID的交流，出现了一个有意义的兴趣，因为在控制系统设计（见例14-17）中他们可以更灵活的调整（当需要调整五个参数时）。文中提出了很多不同的调整规则来方便操作员的使用（见例18-23）。在这篇文章中提到，虽然用分数阶PID控制器稳定一个动态系统（可能是一部分）的问题已经得到解决（见例24,25

9、,26），但是对于这种控制器脆弱性的分析到目前为止还只是完成了一部分。特别指出的是，在27,28中，通过考虑参数空间容许区域的几何中心来实现分数阶PID控制器的调整，从而产生没有脆弱性的控制器。评估控制器脆弱性的主要目的之一是评估鲁棒性/性能指标对参数调整的敏感度。为了使分数阶PID能在工厂的设备上得到广泛的应用，除了运用得到认可的调整规则外，还要给操作员提供清楚地指导，告诉他们如何修正控制器参数，来增加他们的信心。因此本文的目的就是提供分数阶PID控制器的脆弱性分析，与整数阶PID控制器作比较得出不同之处，这些不同之处要把给定值开始的参数值校正过程考虑在内。为此，在23,29中制定的调整规则

10、被用到分数阶PID和整数阶PID控制器中，这些规则旨在减小受到最大敏感度限制的综合绝对误差。这些调整规则既考虑了后置位点，也考虑了负载抗扰问题。还有一个重要特征就是当时间单元改变时提供不变的控制动作。因此这些调整规则很适合分析鲁棒性和性能的脆弱性。值得强调的是脆弱性的计算取决于控制系统的标称参数，由此为了得到公平的比较结果，我们选择解决相同最优化问题的调整规则，这样关于整数阶PID控制器，始于一个给定的调优的分数阶PID控制器参数的校正中另外可能的复杂性问题就解决好了。同时改变所有的参数或只保证其中之一不变改变其他参数，通过这种方法来估计脆弱性。用后一种方法来研究哪个参数对控制器的脆弱性影响更

11、大。本文的结构如下。在第二部分除了对用于整数阶PID和分数阶PID控制器的调整规则的描述，还给出了估计脆弱性用的基本的定义。第三部分讲的是关于鲁棒性的脆弱性分析，第四部分讲的是关于性能部分的脆弱性分析。第五部分是讨论，第六部分是总结。2、 脆弱性指数在10,11,12中给出了脆弱性指数，为了清晰同时为了引出结果中引用的符号，在这部分详细的论述了脆弱性指数。考虑单位反馈控制系统（见表1），该过程（假设该过程是自动调节的）用P表示，控制器用C表示。在本文中，控制器是分数阶PID控制器，可以用串级形式表示，(1)或用平行（理想）的形式表示。(2)在这两个表达式中，Kp 是比例放大系数，Ti是积分时间

12、常数，Td是微分时间常数，和分别是积分和微分非整数阶系数。注意考虑两种形式很重要，因为除了Ti 4Td 且 = µ的情况，不可能将形式（2）转换成等价的形式（1），或将形式（1）转换成等价的形式（2）。为了实现分数阶控制器，已经应用著名的Oustaloup连续整数阶逼近来近似分数的微积分器。本文在频域l, h范围内用了16个极点和零点来近似分数的微积分器，其中 l and h分别选择0.0001c和 10000c，c是截止频率。值得注意的是极点和零点的个数会引起一个有计算要求的控制器，并且分数阶控制器会近似成一个低阶整数阶控制器。然而，考虑到本文的目的是分数阶控制器的脆弱性分析，为了

13、获得一个良好的近似，可以接受较高的计算代价。这样实际上近似的理想开环传递函数在这些频率下没什么区别，而这些频率对闭环系统动力有很大的影响。还要注意为使控制器正常，在（1）和（2）中额外加了一阶滤波器。在对控制器的动力没有显著影响时过滤高频噪声29,31,32，以此选出时间常数Tf。最终，考虑到Oustaloup近似算法和只有导数作用的分数部分（如果>1则-1）是近似的，那么整数滤波器足以保证控制器的正常。注意选择 = µ = 1，可得整数阶PID控制器。在本文中，仅为了比较二者（分析主要集中在分数阶PID控制器上），我们考虑整数阶PID控制器用串级形式表示，(3)注意下文描述的

14、调整规则会导致Ti > 4Td，所以常考虑相同的理想形式分数阶PID控制器，并且最佳分数阶PID控制器是唯一的。典型的控制规格要求在后置位点和负载抗扰任务中包含预定义的性能。在这两种情况中，与阶跃响应相关的典型性能指标是绝对误差积分，通常表现为超调量小时过渡时间也短，形式如下：(4)这里r是初始信号，y是过程变量。从另一个角度来看，控制系统在动态过程中也能稳健的变化，这一点常常很关键。系统稳定常用的方法是最大敏感度，表示的是在奈奎斯特图中循环传递函数从临界点的最小距离的倒数，定义式如下：(5)因此，每个控制器（1）-（3）都设置了特定的调整规则，减小 Je 的值来满足最大敏感度的约束条件

15、23,29。分别考虑到了后置位点和负载抗扰任务，对于每项任务分别选择Ms = 1.4 和 Ms = 2.0，（注意在34中给出了与积分和不稳定过程相关的调整规则）。大体上，分数阶PID控制器比整数阶PID控制器有更好的性能，用整数阶积分器和分数阶导数阶>1可以改善性能。可以根据鲁棒性或性能来估计控制器的脆弱性。控制器的参数向量用 ¯c 0表示，即分数阶PID控制器的参数向量表示为 ¯c 0 =Kp, Ti, Td, , µ，整数阶PID控制器的参数向量表示为¯c 0 = Kp, Ti, Td，当控制器参数受到干扰会引起控制系统的鲁棒性能下降，这一变

16、化可以由称为-鲁棒性能脆弱指标来表示，这一指标定义式为：(6)这里M ms 是极大灵敏度，就是说，考虑所有受扰动参数的组合情况，当控制器的所有参数关于他们的额定值 ¯c 0变化相同的频率时，就出现了控制系统的鲁棒性的最高损耗。相反，Ms( ¯c 0)是额定的灵敏度，就是说这个灵敏度要由额定的控制器才能获得。RFI = 0表示控制器鲁棒性绝对非脆弱。然而公认的参数合理的变化为20%。如果控制器的鲁棒性脆弱指标20小于0.10，即RFI 20 < 0.10，则控制器有鲁棒性弹性，如果RFI 20 0.50，控制器鲁棒性非脆弱，如果RFI 20 > 0.50，控制器鲁

17、棒性脆弱。估计一个参数对鲁棒脆弱性能的相关影响也很重要。为了作此估计，定义参数-鲁邦性脆弱指标如下：(7)与之前的情况类似，当控制器参数受到扰动时控制系统的性能下降（再次注意调整规则是使绝对误差积分最小），这一变化可由被称为为-性能脆弱指标来表示，这一指标定义式为：(8)这里J me是极端性能，Je 0是标称性能。单一的控制器参数pi的变化对控制系统的脆弱性能有相关影响，这一影响可以由下列参数性能脆弱指标表示。(9)类似于鲁棒性情况，假设合理阈值为20%，如果控制器的20性能脆弱指数小于0.10，即PFI20<0.10,则该控制器有性能弹性，如果FI200.50，性能非脆弱，如果FI20

18、0.50，性能脆弱。备注 1. 显然脆弱性指标取决于整数阶PID或分数阶PID参数。为了得出有意义的结果，比较选定参数的分数阶PID控制器和整数阶PID控制器是很重要的，这一做法也可以优化相同的性能指标。3、 鲁邦性脆弱性分数阶PID控制器的鲁棒性脆弱性已经从串级形式和平行形式进行了评估，并且结果与整数阶PID控制器做了比较。尤其是一阶纯滞后模型已考虑在内。一阶纯滞后模型的传递函数如下：(10)对于归一化增益K=1和区间0.1,1内时滞比L/T的不同取值，初始值阶跃响应和负载干扰阶跃响应的绝对误差积分的最小化应用了调整规则。在这两种情况中，目标最大灵敏度的值设置为Ms = 1.4 或Ms= 2

19、.0。因此，对于每个过程和三个控制器中的每一个，都考虑了四种情况。通过重复考虑参数所有可能的变化，计算出了不同的值对应的RFI 指数。为了简洁，只给出了时滞比L/T=0.5时的与过程相关的结果。假设K=1，T=1，L=0.5，对于不同的控制标准，表格1列出了控制器的参数。事实上，其他过程的结果与此类似。结果见图2，需要强调的是数据消失意味着控制系统整体不稳定。因此，很容易得出（在串级和平行两种形式下）分数阶PID控制器比整数阶PID控制器鲁棒性更脆弱（因此，微调更加重要）。为了更好的估计单一控制器参数的影响，已经计算出了不同的控制器参数对应的参数的鲁棒性脆弱指标 RFI p 。结果见图3-7（

20、注意整数阶PID控制器不包括参数和）。如果分数阶PID控制器的参数调整好了，鲁棒性脆弱性就没那么重要了。在任何情况下导数项的分数阶都是最危险的参数，尤其是当应用调整规则来获得更积极的控制器时（即，指标选Ms = 2.0）和当应用平行形式的分数阶PID控制器时。第五部分探讨了这一问题。4、 性能脆弱性性能脆弱性同样做了与鲁棒性脆弱性相同的分析，也就是，对于每个一阶时滞过程和三个控制器中的每一个，考虑了四种不同的调整规则，并计算出了不同的值对应的PFI指数。与时滞比L/T=0.5的过程相关的结果见图8。性能脆弱性可以得出与鲁棒性脆弱性相同的结论。对于参数变化分数阶PID控制器（尤其是平行的形式）比

21、整数阶PID控制器更灵敏，所以微调显得更加关键。通过评估每一个参数的参数性能脆弱性指数PFIpi（见图9-13），可以推断出分数阶PID控制器积分的分数阶和导数项分数阶的变化比其他参数的变化更灵敏。表1：时滞比L/T=0.5时的控制器参数和最大灵敏值为1.4和2.0时不同的控制任务，后置位点和负载抗扰对应的控制器参数。图2：系列形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示，整数阶PID控制器的RFI的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms

22、=2.0时负载干扰的调整。图3：系列形式的分数阶PID控制器的RFIKp的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFIKp的值用“”表示，整数阶PID控制器的RFIKp的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。图4：系列形式的分数阶PID控制器的RFITic的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFITic的值用“”表示，整数阶PID控制器的RFITic的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：M

23、s=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。图5：系列形式的分数阶PID控制器的RFITd的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFITd的值用“”表示，整数阶PID控制器的RFITd的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。图6：系列形式的分数阶PID控制器的RFIc的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFIc的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时对

24、负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。图7：系列形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示。 左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。图8：系列形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示，整数阶PID控制器的RFI的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms

25、=2.0时负载干扰的调整。图9：系列形式的分数阶PID控制器的RFIKpc的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFIKpc的值用“”表示，整数阶PID控制器的RFIKpc的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。图10：系列形式的分数阶PID控制器的RFITi的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFITi的值用“”表示，整数阶PID控制器的RFITi的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：

26、Ms=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。图11：系列形式的分数阶PID控制器的RFITd的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFITd的值用“”表示，整数阶PID控制器的RFITd的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。图12：系列形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时

27、对负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。图13：系列形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示，平行形式的分数阶PID控制器的RFI的值用“”表示。左上图：Ms=1.4时对初始值的调整。右上图：Ms=2.0时对初始值的调整。左下图：Ms=1.4时对负载干扰的调整。右下图：Ms=2.0时负载干扰的调整。5、 讨论前一部分指出了分数阶PID控制器的脆弱性主要是由导数项分数阶引起的。这部分通过举例分析了原因。(11)考虑最大目标灵敏度Ms=2.0负载抗扰过程和应用到设备的调整规则。对于平行形式分数阶PID控制器（为了简明省略了串级形式，但是其结果与平行形式十分类似），取得这些数据

28、Kp=1.008，Ti=0.908,Td=0.144,=1,=1.153,而对于整数阶PID控制器取得Kp=1.008,Ti=0.411,Td=0.330。通过分析标称情况下所得的波特图，见图14，显然，鲁棒性能相同时，分数阶PID控制器与整数阶PID控制器相比允许带宽增量（分数阶PID控制器的转折角频率是Wgc=2.01,整数阶PID控制器的转折角频率是Wgc=1.73）。这是分析导数项分数阶比一阶所引起的相位超前更大所得出的结论。这表明在阶跃响应下有更好的性能，而且，由于分数的微积分器可能显示出的不断增加的高频上卷，很显然不能保证频率响应函数单调性（见图14），表明控制器脆弱性增加了。这种

29、情况可以通过考虑闭环传递函数大小的频率导数来做出更好的分析。结果如下(12)(13)(14)(15)(16)这里控制器C（jw）表示如下(17)和(18)和(19)实际上，当分数阶PID控制器中一个参数在某一时刻的变化时，是通过评估频率响应函数来做出更深层的分析。结果见图15-19。图7和13所示结果不出所料，（分数的）微商作用是最重要的因素。特别是分数阶的增量会导致敏感度函数的高频峰值，多次获得交叉频率的环路增益，最终导致过程不稳定。事实上，尽管的变化小于它的30%，但是唯一能够破坏循环的参数。这是因为增大也就意味着增加频率响应函数的非单调性能（见图19），这正是增加高频上卷的结果。另一个重要的