高二数学抛物线的简单几何性质练习

1、高二数学抛物线的简单几何性质练习【同步达纲练习】a级一、选择题1.若a是定直线l外的一定点，则过a且与l相切圆的圆心轨迹是( )a.圆 b.椭圆 c.双曲线一支 d.抛物线2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是( )a.2.5b.5c.7.5d.103.已知原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )a.y2=11xb.y2=-11xc.y2=22xd.y2=-22x4.过抛物线y2=2px(p0)的焦点且垂直于x轴的弦ab，o为抛物线顶点，则aob( )a.小于90°b.等于90°c.大于90°d.不能确定5.

2、以抛物线y2=2px(p0)的焦半径pf为直径的圆与y轴位置关系为( )a.相交b.相离c.相切d.不确定二、填空题6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .7.若以曲线+=1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于a、b两点，则ab= .8.若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为，则此抛物线的方程是 .三、解答题9.抛物线x2=4y的焦点为f，过点(0，-1)作直线l交抛物线a、b两点，再以af、bf为邻边作平行四边形fabr，试求动点r的轨迹方程.10.是否存在正方形abcd，它的对角线ac在直线x+y-2=0上，顶

3、点b、d在抛物线y2=4x上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.aa级一、选择题1.经过抛物线y2=2px(p0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( )a.pb.2pc.4pd.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于a、b两点，若ab的中点横坐标为2，则ab为( )a.b.4c.2d.3.曲线2x2-5xy+2y2=1( )a.关于x轴对称b.关于y轴对称c.关于原点对称，但不关于y=x对称d.关于直线y=x对称也关于直线y=-x对称4.若抛物线y2=2px(p0)的弦pq的中点为(x0,y0)(y0)，则弦pq的斜率为( )a.-b.c.px-d.-px05.已知抛物线

4、y2=2px(p0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1,y1)，b(x2,y2)，则的值一定等于( )a.4b.-4c.p2d.-p2二、填空题6.抛物线y2=4x的弦ab垂直于x轴，若ab的长为4，则焦点到ab的距离为 .7.以椭圆+y2=1的右焦点f为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是a，则af= .8.若oab为正三角形，o为坐标原点，a、b两点在抛物线y2=2px上，则oab的周长为 .三、解答题9.抛物线y=-与过点m(0，-1)的直线l相交于a、b两点，o为坐标原点，若直线oa和ob斜率之和为1，求直线l的方程.10.已知半圆的直径为2r，ab为直径，半圆外

5、的直线l与ba的延长线垂直，垂足为t，且ta=2a(2a),半圆上有m、n两点，它们与直线l的距离mp、nq满足条件mp=am,nq=an，求证：am+an=ab.【素质优化训练】一、选择题1.过点a(0，1)且与抛物线y2=4x有唯一公共点的直线的条数为( )a.1 b.2 c.3 d.42.设抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是( )a.x3=x1+x2b.x3=+c.x1x2=x2x3+x3x1d.x1x3=x2x3+x1x23.当0k时，关于x的方程=kx的实根的个数是( )a.0个

6、 b.1个 c.2个 d.3个4.已知点a(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点b、c，则abc是( )a.锐角三角形 b.钝角三角形c.直角三角形 d.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，则实数b的值等于( )a.-1 b.1 c.7 d.9二、填空题6.抛物线y2=-8x被点p(-1，1)所平分的弦所在直线方程为 .7.已知抛物线y2=2x的弦过定点(-2，0)，则弦ab中点的轨迹方程是 .8.已知过抛物线y2=2px的焦点f的弦ab被f分成长度为m、n的两部分，则+= .三、解答题9.已知圆c过定点

7、a(0，p)(p0)，圆心c在抛物线x2=2py上运动，若mn为圆c在x轴上截得的弦，设am=m,an=n，man=.(1)当点c运动时，mn是否变化?写出并证明你的结论?(2)求+的最大值，并求取得最大值时的值和此时圆c的方程.10.已知抛物线y2=4ax(0a1)的焦点为f，以a(a+4,0)为圆心，af为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点m和n，设p为线段mn的中点，()求mf+nf的值；()是否存在这样的a值，使mf、pf、nf成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点p(x0,y0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点p为中点的抛物线y2=2px

8、(p0)的中点弦方程为yy0-p(x+x0)=y20-2px0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y2=2px上点的切线方程有什么联系?若p(x0,y0)为非对称中心，将抛物线y2=2px换成椭圆+=1或双曲线-=1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子oa，o恰在圆形水面中心，oa=1.25米.安置在柱子顶端a处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过oa的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流

9、在到oa距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径.以oa所在直线为y轴，过o点作oy轴的垂直线ox轴，建立直角坐标系如图依题意a(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则b(1，2.25)，抛物线与x轴正向交点为c，oc即圆型水池的半径.设抛物线abc的方程为(x-1)2=-2p(y-2.25)将a(0，1.25)代入求得p=抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25)令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使

10、喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=-的最大值.解：将函数变形为y=-，由几何意义知，y可以看成在抛物线f(x)=x2上的点p(x,x2)到两定点a(3，2)和b(0，1)的距离之差，pa-pbab，当p、a、b三点共线，且p在b的左方时取等号，此时p点为ab与抛物线的交点，即p为(，)时，ymax=ab=.2.参与设计小花园的喷水池活动.要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设f是抛物线的焦点，m是抛物线上任意一点，mt是抛物线在m的切线，mn是法线，me是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线mn必平分fme，即1=2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y

11、2=2px.(p0)，因为me平行x轴(抛物线的轴)，1=2,只要证明1=3，也就是fmn的两边fm和fn相等.设点m的坐标为(x0,y0)，则法线mn的方程是y-y0=-(x-x0),令y=0，便得到法线与x轴的交点n的坐标(x0+p,0)，所以fn=x0+p-=x0+,又由抛物线的定义可知，mf=x0+,fn=fm,由此得到1=2=3，若m与顶点o重合，则法线为x轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料：圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案:【同步达纲练习】a级1.d 2.b 3.d 4.c 5.c 6.(x-)2+(y±1)2=1 7. 8.y2=12x或y2=-4x9.解：

12、设r(x,y),f(0,1),平行四边形farb的中心为c(,),l:y=kx-1,代入抛物线方程，得x2-4kx+4=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k2-160，即|k|1 ，y1+y2=4k2-2,c为ab的中点.消去k得x2=4(y+3),由得，x4，故动点r的轨迹方程为x2=4(y+3)(x4).10.解：设存在满足题意的正方形.则bd：y=x+b,代入抛物线方程得x2+(2b-4)x+b2=0,=(2b-4)2-4b2=16-16b0,b1, ，设b(x1,y1),d(x2,y2),bd中点m(x0,y0),则x1+x2=4-2b

13、,x0=2-b,y0=x0+b=2,m在ac直线上，(2-b)+2-2=0，b=2与相矛盾，故不存在满足要求的正方形.aa级1.b 2.c 3.d 4.b 5.b 6.2 7.9-18 8.12p9.解：设l:y=kx-1,代入y=-,得x2+2kx-2=0，设a(x1,y1),b(x2,y2)，则x1+x2=-2k,x1x2=-2,又+=+=2k-=2k-=k=1，直线l的方程为y=x-1.10.证明：由mp=am,nq=an知m、n在以l准，a为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px，又ta=2a=p,抛物线方程为y2=4ax，又圆的方程为(x-a-r)2+y2=r2，

14、将两方程相减可得：x2+2(a-r)x+a2+2ar=0，设m(x1,y1),n(x2,y2)，则x1+x2=2r-2a,am+an=pm+qn=x1+x2+2a=2r,即am+an=ab【素质优化训练】1.c 2.c 3.d 4.c 5.c 6.4x+y+3=0 7.y2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.9.解：(1)设圆心c(x0,y0),则x20=2py0，圆c的半径ca=，其方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x20+(y0-p)2,令y=0，并将x20=2py0，代入，得x2-2x0x+x20-p2=0，解得xm=x0-p,xn=x0+p,mn=xn-xm=2p(定值)(2)m=am=,n=an=,m2+n2=4p2+2x20,m·n=，+=22，当且仅当y0=p时等号成立，x0=±p，此时mcn为等腰直角三角形，且mcn=90°，man=mcn=45°，故当=45°时，圆的方程为(x- p)2+(y-p)2=2p2或(x+p)2+(y-p)2=2p210.解：(1)由已知得f(