GM模型适用范围

1、6.5GM（1,1）模型的适用范围邓聚龙教授对GM（1, 1）模型作了十分深入的研究，得到了 GM（1, 1）模型的多种不同形式。主要有:(1)x(o>(k) + ax(l)(k) = b(2) x(0>(k) + az(1)(k) = bi(n(A: + l) = (x<0)(l)-k-flA+-£(。依 +1) = ”)(k + 1； _ 上心(5)=夕一3：(左一1) , k = 2,3,m ;；(6)i(0)(2) = Z?-av0>(l)x<0> (幻=(1 a)«°)(k l);k = 3,4 nx<0>

2、(2) = /7-tzr(0)(r)米。)(k)= H x(0)(k-l);k=3A -n1 + 0.5a(8)£。(2) = /-60 -<o)z> ,x(k -l)-0.5b(o)X (K) = -7- V (K -1)；K =3,4” (A 2) + 05%(9)髀伏）= + 0.5a J-i '1+0.5。)；k = 2,3,，7 / 6(10)x(0)(k) = 1-”)(3)/如% k>3(l-a)3 '匕(11)(12)(13)”，=（尸-以°）”心） =（Y）（x-绿 a£（°（攵）=（一 心田"

3、;” a命题6. 5.1当（ i）Zz（Qf f（幻时，GM（1, 1）模型无意义。k-2k-2证明采用最小二乘法估计模型参数，有,t Z(幻£ X -( -1) t Z("a = (-1)£0(盼2 -历泮2*-24.2、-fz(心(中3 = 2J-21-2k-2( lz2 Tlz(盼2 攵2心2当(-l)£z(k)F - fz(幻时'Gfs,Bfs,无法确定模型参数，故 A-242此GM(1,1)模型无意义。命题命5.2当GM(1, 1)发展系数1°整2时,GM(1, 1)模型无意义。证明由GM(1,1)表达式”（幻=3 次= 2,

4、3, U + 0.5«；1 + 0.5«可知，/当。=-2时，”)(幻-8;2° 当。=2时，”(幻=0；3.当|>2时，为常数，而随着A的奇偶性不同而改变符号，因此 x(%)随着A的奇偶性不同而变号。由以上讨论可知(-s,2u2,s)是GM(1, 1)发展系数-的禁区。当 £(,-2 = 2,8)时，GM(1, 1)模型失去意义。一般地，当|<2时，GM(1,1)模型有意义。但随着的不同取值， 预测效果也不同。对于一2<<0,即发展系数0<一n<2的情形，我们分 别取-a=0.l,0.2,0.3,0.4,0.5,0.

5、6,0.8,l.5,L8等进行模拟分析。取A=0,1, 2, 3, 4, 5,由 f (k + l) =可得如下数列：-a=0. 1, X0> = (x；0>(l)tx；o)(2)9x；0)(3)9x；0)(4)tx；o)(5),x；o)(6)= (1, 1. 1051, 1. 2214, 1. 3499, 1. 4918, 1. 6487)- a=0. 2,x£ = (l,1.2214,1.4918, 1.8221,2.2255,2. 7183)- a=0. 3,Xf = (1,1.3499,1. 8221, 2.4596,3.3201,4. 4817)- a=0. 4

6、, Xf = (1, 1. 4918, 2. 225, 3. 3201, 4. 9530, 7. 3890)- a=0. 5,XO> = (1,1.6487,2. 7183, 4.4817,7.3890,12. 1825)- a=Q. 6,X鲁二(1,1.8821,3. 3201, 6.0496,11. 0232, 20. 0855)- a=Q. 8, X黑二(1, 2. 2255, 4. 9530, 11. 0232, 24. 5325, 54. 5982)X黑= (1, 2.7183, 7. 3890, 20. 0855, 54. 5982, 148. 4132)一 a=L 5, X

7、；0) = (l, 4. 4817, 20. 0855, 90. 0171,403. 4288, 1808. 0424)- a=1.8,X：； 二 (l, 6. 0496, 36. 5982, 221. 4064, 1339. 4308, 8103. 0839)分别以X；。,，X；叫，X；。)为原始序列建立GM(1,1)模型得到如下的时间 响应式：X小 +1) = 1 0.5075009992,X2a -9.507541伙 +1) = 5.51643 t0-1990u -4.516431£；" + 1) = 3.8583逑沏769" 一2.858321(4 +1)

8、 = 3.033196° 网752 j 2.033192号)/ +1) = 2.54147048983824 -1.541474以)(k +1) = 2.21 636>O582626-u -1.21636：铲(Z+1) = 1.81597207598991* -0.81597 H-0.5819732(1) f 、 «0.9242348k xs (4 + 1) = 1.581973.(A:+ 1) = 1.2871821270298* -0.2871822.(k +1) = 0.19819*2* _oi98i 96f由般"+ 1)=¥)(攵 + 1)

9、-£丁(幻，i = l,2,0,得£；°)(攵 + 1) = 0.9991S。09992侬人,只。)(攵 + 1)= 0.9969&°99刈”3xfk + 1) = 0.99362*0297769" , x(k +1) = 0.9892803W52A,£黑(攵 +1) = 0.984240 4898382", £：°)(k +1) = 0.9786»05826263',辞(攵 +1) = 0.966617()-759899U , £；°)(k +1) = 0.

10、9541 09242348",我口(攵 + 1) = 0.92580»'2702981, £；：" + 1) = 0.9122,4325%"由于 GM (1, 1)模型 x(0)(k) + 四(%)=。中 Z(k) = L (x(,) (k) + x(k -1)为 2均值生成，对于增长序列，具有弱化其增长趋势的作用。指数序列建立GM(1, 1)发展系数减小。比较原始序列X7及模拟序列文：°)的误差(见表6. 5. l)o表6. 5. 1模拟误差发展系数一a1-2平均相对误差0. 10. 0040. 104%0.20. 0100

11、. 499%0. 30. 0381.300%0.40. 1162. 613%0.50. 3074. 520%0.60. 7417. 074%0.83. 60314.156%114. 80723. 544%1.5317. 86751. 033%1. 81632. 24065. 454%可以看出，随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加。当发展系数小 于或等于0.3时，模拟精度可以达到98%以上，发展系数小于或等于0.5 时，模拟精度可以达到95%以上，发展系数大于1,模拟精度低于70乐发 展系数大于1. 5,模拟精度低于50%o进一步考察1步，2步，5步，10步预测误差（见表6.5.2）表6. 5.

12、 2预测误差- a0. 10.20. 30.0.50.60.811.1.4581步误0. 120. 701.994. 317.98813.4031. 5965. 11差9%1%8%7%5%5%7%2步误0. 130. 762. 224. 869.09115. 3936. 9778. 11差7%8%6%5%2%9%3%5步误0. 160. 962.916. 5212. 4621.5654. 49差0%7%2%9%8%6%1%10步0. 851.304. 069. 3618. 3332.5988. 79误差5%1%7%2%0%9%0%可以看出，当发展系数小于0.3时，1步预测精度在98%以上，2步和 5步预测精度都在97%以上；当0.3一。0.5时，1步和2步预测精度皆 在90%以上，10步预测精度亦高于80%；当发展系数大于0. 8时，1步预 测精度已低于70%o表7. 5