材料力学：第六章 弯曲变形

1、材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University研究弯曲变形的目的：研究弯曲变形的目的： 对梁进行刚度计算对梁进行刚度计算 研究超静定梁的解法研究超静定梁的解法材料力学课件材料力学课件Fuzhou University挠度和转角挠度和转角FwxxCwC梁的梁的挠曲线挠曲线C点处横截面的转角点处横截面的转角 转角转角( )wf x只要知道了只要知道了f (x)，任意任意点处点处的的挠度和转角都可以计算挠度和转角都可以计算|CCx xwwddCCx xwxlBACC点的线位移点的线位移CC 挠度挠度 C( )wf x C材料力学课

2、件材料力学课件Fuzhou University1MEI（对细长的、非纯弯曲梁可近似使用）（对细长的、非纯弯曲梁可近似使用）中性层的曲率半径中性层的曲率半径弯曲后梁轴线的曲率半径弯曲后梁轴线的曲率半径挠曲线的曲率半径挠曲线的曲率半径由高等数学知由高等数学知曲率曲率223/22d1dd1dwxwx 1MEI由第五章知由第五章知材料力学课件材料力学课件Fuzhou University如果小变形如果小变形d1dwx远小于221ddwx 22ddwMxEI 223/22d1dd1dwxwx 1MEI由第五章知由第五章知由高等数学知由高等数学知材料力学课件材料力学课件Fuzhou University

3、22d0dwxwxOwxO22d0dwxM 0M b，10w 220/3 2/3 xlba ab讨论：讨论：如果令载荷如果令载荷F 向向B 移动，移动，极端情况极端情况0b 322max9 3FbwlbEIl 00.577xl即即wmax发生在很靠近发生在很靠近 x = l/2 处处（注意到（注意到 x0a, ,wmax 在在AC段，结论是正确的）段，结论是正确的）wmax2221136FbEIwlbxl 2221116FbxEIwlbxl 材料力学课件材料力学课件Fuzhou University讨论：讨论：如果令载荷如果令载荷F 向向B 移动，移动，极端情况极端情况0b 00.577xl即

4、即 wmax 发生在很靠近发生在很靠近 x = l/2 处处此时，用此时，用x = l/2 的挠度作为的挠度作为wmax 误差小于误差小于3%令令0/ 2xl22/23448x lFbwlbEI 当简支梁承受若干个集中力作用时，只要挠曲线当简支梁承受若干个集中力作用时，只要挠曲线朝一个朝一个方向弯曲方向弯曲，可用中点，可用中点 ( x = l/2 ) 的挠度去计算最大挠度的挠度去计算最大挠度FlabABl/2wl/2wmaxx0材料力学课件材料力学课件Fuzhou University研究两个问题：研究两个问题： 挠曲线的分段和连接条件的写法挠曲线的分段和连接条件的写法例：例：分段：基本上和弯

5、矩方程分段一致分段：基本上和弯矩方程分段一致三段：三段：ABBCCDw1w2w3会有会有6个积分常数个积分常数AB CDqqxw材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityw1w2w3会有会有6个积分常数个积分常数A处：处：10w B处：处：120ww12wwC处：处：23ww( (注意：只连续，不光滑注意：只连续，不光滑) )D处：处：30w 可以定出可以定出6个积分常数个积分常数AB CDqqxw材料力学课件材料力学课件Fuzhou University 快速画挠曲线的近似形状快速画挠曲线的近似形状# # 支座处挠度为零支座处挠度为零M 0, , “”，# # M = 0,

6、, “ ” “” 过度点，曲率为零过度点，曲率为零Fl2/4Fl2/2MC材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University小变形、线弹性小变形、线弹性梁的挠度和转角与梁的挠度和转角与载荷成线性关系载荷成线性关系多个载荷作用下某个截面的挠度和转角多个载荷作用下某个截面的挠度和转角SS( (单个载荷作用下该截面的挠度和转角单个载荷作用下该截面的挠度和转角) )叠加法叠加法关于载荷的叠加关于载荷的叠加关于结构的叠加关于

7、结构的叠加材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityFABCql/2l/2例例3 3 求梁跨中的挠度求梁跨中的挠度CABq()CqwFABC()CFw解：解：q作用的结果（表作用的结果（表6.16.1）F作用的结果（表作用的结果（表6.16.1）45()()384CqqlwEI435()()()38448CCqCFqlFlwwwEIEI3()()48CFFlwEI叠加叠加材料力学课件材料力学课件Fuzhou University例例4 4 已知空心轴外径已知空心轴外径 D=80mm，内径，内径 d=40mm，l=400mm，a=200mm，E=210GPa， F1=1kN，F2

8、=2kN。求。求 B B 和和 wC。4444()64188 10 mmIDd解：解：近似为等截面梁近似为等截面梁计算简图如下计算简图如下F1F2F1F2ACBDl/2l/2a材料力学课件材料力学课件Fuzhou University1BF1F2ACBDl/2l/2aACBDF22Cw2BACBF11Cw1BABF1F1a12Cw11CwF1BCF2作用的结果（表作用的结果（表6.16.1）()22216BF lEI222216CBF l awaEI()F1作用的结果（表作用的结果（表6.16.1、) )113BFalEI()111CBwa()31123CFawEI()CF11BB材料力学课件

9、材料力学课件Fuzhou University1BF1F2ACBDl/2l/2aACBDF22Cw2BACBF11Cw1BABF1F1a叠加（注意方向）叠加（注意方向）2141.09 10 radBBB ()21211122()3.53 10 mmCCCCCCwwwwww ()12Cw11CwCF11BB材料力学课件材料力学课件Fuzhou University222220d33448482bCq x xqbwlxlbEIEI例例5 5 求梁跨中的挠度，设求梁跨中的挠度，设b l/2。解：解：取取dx 段分布载荷的合力段分布载荷的合力qdx 作为集中载荷作为集中载荷2234()48CFblbw

10、abEI由表由表6.16.1()22dd3448Cq x xwlxEI分布载荷可以处理为微集中载荷的叠加分布载荷可以处理为微集中载荷的叠加( (积分积分) )qlABbl/2CdxxaFlbAB材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityCw2BwFCABFl /2l /22EIEIACB例例6 6 求自由端的转角和挠度求自由端的转角和挠度CBF1B1BwCAFFl / 2Cw2Bw1BwC12BBB()解：解：221/228BF lFlEIEI( CB梁梁 )222/ 2/ 2/ 2222316BCF lFllEIEIFlEI()( AC梁梁 )材料力学课件材料力学课件Fuzh

11、ou UniversityCw2BwFCABFl /2l /22EIEIACBCBF1B1BwCAFFl / 2Cw2Bw1BwC122223581616BBBFlFlFlEIEIEI()121/2BBBBCCwwwwwl331/2324BF lFlwEIEI()( CB梁梁 )材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityCw2BwFCABFl /2l /22EIEIACBCBF1B1BwCAFFl / 2Cw2Bw1BwC121/2BBBBCCwwwwwl323/2/2/23222596CF lFllwEIEIFlEI()( AC梁梁 )3316BFlwEI()材料力学课件材料

12、力学课件Fuzhou University多余约束：为平衡所不必须的约束多余约束：为平衡所不必须的约束FBACl/2l/2EI求解图示超静定梁求解图示超静定梁1 1、选择多余约束，解除，、选择多余约束，解除，代之以约束反力代之以约束反力取消取消B支座，代之以支座，代之以FRBy得到静定基得到静定基（静定基本结构）（静定基本结构）FRBy2 2、写静定基的变形条件、写静定基的变形条件0Bw 3 3、暂时将、暂时将FRBy视为已知，视为已知，计算位移计算位移wBR()()ByBBFBFwww解：解：材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityFBACl/2l/2EIFRBy查表，查表

13、，35()48BFFlwEI()R3R()3ByByBFFlwEI()3 3、暂时将、暂时将FRBy视为已知，视为已知，计算位移计算位移wBR()()ByBBFBFwwwR516ByFF ()l可知，静定基在可知，静定基在F 和和FRBy 的共同作用之下，其行为的共同作用之下，其行为和原超静定梁是相同的，于是其强度、刚度等计算和原超静定梁是相同的，于是其强度、刚度等计算均可在静定基上进行。均可在静定基上进行。5F/165Fl/323Fl/16材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityFBACl/2l/2EIl所以，所以，B支座对提高梁的强度和刚度具有重要意义支座对提高梁的强度和

14、刚度具有重要意义增加增加B支座后，静定梁支座后，静定梁AB变变成超静定的成超静定的比较两梁：比较两梁：Fl/23Fl/16降低到降低到37.5%静定梁静定梁超静定梁超静定梁MmaxwmaxwB=5Fl3/48EIwC=7Fl3/768EI降低到降低到8.75%材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityl静定基的选择不是唯一的静定基的选择不是唯一的FBACl/2l/2EIFBACMA令令 A=0，316AFlM 和前解法是相同结果的和前解法是相同结果的上述解法：上述解法：变形比较法变形比较法材料力学课件材料力学课件Fuzhou University变形比较法解题过程：变形比较法解

15、题过程：1 1、建立静定基、建立静定基( (解除多余约束，代之以约束反力解除多余约束，代之以约束反力) )。2 2、写静定基的变形条件。、写静定基的变形条件。( (以方便计算为准以方便计算为准) )( (要具体分析，问题的难点要具体分析，问题的难点) )3 3、计算变形，求解、计算变形，求解“多余多余”反力。反力。材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou Univers

16、ity材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversityFABCC叠加（注意方向）叠加（注意方向）FSM材料力学课件材料力学课件Fuzhou UniversitydACt txlBA材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料力学课件材料力学课件Fuzhou University材料

17、力学课件材料力学课件Fuzhou Universityl 连续光滑条件连续光滑条件bxbx2112x ax aww12x bx bww或或ABxwlFbABxwlFa# # 连续条件连续条件# # 光滑条件光滑条件材料力学课件材料力学课件Fuzhou University2ABqlFF222qlqxEIwx ABxwlq22( )222AqxqlqxM xF xxFAFBx3246qlqxEIwxC 例题例题解：解：弯矩的表达式弯矩的表达式列方程列方程431224qlqxEIwxCxD材料力学课件材料力学课件Fuzhou University00, 0 xx lwwABxwlqFAFBx324

18、6qlqxEIwxC 431224qlqxEIwxCxD边界条件边界条件0 ,243DqlC3233231()(64)462424qlqqlqwxxllxxEIEI 3343231()(2)12242424qlqqlqxwxxxllxxEIEI 材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universityd0dwxABxwlqFAFBx研究研究maxwmax323(64)24qwllxxEI 323(2)24qxwllxxEI C2lx 4max25|384lxqlwwEI ()3max0| 24AxqlEI 3max| 24Bx lqlEI()()材料力学课件材料力学课件Fuzhou Universi