chp6.8反常积分与伽玛函数

1、二、无界函数的积分二、无界函数的积分第八节正常积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷区间上的积分一、无穷区间上的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分)反常积分与伽玛函数 第六章 一、无穷区间上的积分一、无穷区间上的积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy A1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1. 设( ) ,)f xa 在上连续,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 在a,+)上的广义积分广义积

2、分, 记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称广义积分xxfad)(收敛收敛 ;如果上述极限不存在,就称广义积分xxfad)(发散发散 .类似地 , 若, ,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )(,),f x 若在连续则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发散 .无穷区间上的广义积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发

3、散 .,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似 N L 公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 计算广义积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xoy211xy思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .例例. 证明第一类 p

4、 积分apxxd证证:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 广义积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 广义积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 计算广义积分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimx

5、xA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2. 设( )( , ,f xa b在连续而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称广义积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称广义积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若( ) , ),f xa b在上连续而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 (a , b 上的广义积分(或瑕积分瑕积分), 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积

6、函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类广义积分第二类广义积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点.例如,xxxd11112xxd) 1(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常(广义)积分. 则本质上是正常积分, 则定义112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例. 计算广义积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaa

7、x1arcsin2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 讨论广义积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以广义积分112dxx发散 .三、三、 函数函数1. 定义定义:函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在0r 内收敛 . 1111201d,drxrxIxexIxex.) 11I讨论10( )d(0)rxrxexr令11,;rI当时是定积分01,r当时1111rxrxxexe11rx11,r而1.I 收敛()r含参变量 的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1()rxxe1limrxxxe.)22I讨论2l

8、im xx0121drxIxex2.I收敛综上所述 , 12( ) rII0.r 在上收敛2. 性质性质 递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 0(1)drxrx ex(1)( )(0)rrrr (分部积分)0drxxe 010drxrxx erxex ( )rr 注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n内容小结内容小结 1. 广义积分积分区间无限被积函数无界正常积分的极限 2. 两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和正常积分可以互相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.第五节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业备用题备用题 试证xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1