由特殊到一般解题两例

1、由特殊到一般解题两例众所周知，通常解决数学问题是借助题意条件，凭借定义、定理或性质，按照运算的一般规律进行求解。事实上，有些问题的处理可以可以打破惯例，从特殊出发寻找问题的着眼点得到所求，然后对一般进行验证即可达到解决问题的目的下面就两道探索问题，进行分析与求解，以飨读者。例 1数列an满足 an= 3an_i-3n-1(nN*,n > 2)，已知a3= 95 1(1) 求ai,a2；(2)是否存在一个实数t,使得bnn(an，t)(nN*)，且数列bn3 为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由。分析：一般情况下，要使数列6为等差数列，根据定义只需 bn i - bn恒等

2、于一常数，也就是要求含有变量 n的式子的系数为零即可事实上，求解本题，可以先根据数列bn中1的前二项成等差数列得到所求，然后将所求代入bn n(an t)验证对任意nN *, bn十-b3是否等于一常数，若是说明存在，否则视为不存在解：(1)由 an =3anJ - 3n -1 (n N*, n > 2)及 a3 二 95可解得 q =5,a2 二 23；1 111(2) 由 bnn(an t)及(1)可得 D (5 t),b2(23 t)：(95 t).33927若数列bn为等差数列，则有b1 b = 2b2，即* 比站 )仁(3厂t , 3291 11113解得 t，则 bnn n

3、一，( )2 323221 1 1 1 1于是 bn bn 4 =莎(an -乡-3(an，_ 2)=莎( _ 3an"=1 ,1 3故存在实数t，可使数列bn是以b为首项，公差为1的等差数列.2 21x2例2过点P(0,)的动直线l与椭圆C :y2 =1相交于 A B两点，试问：在直3 2角坐标平面内，是否存在一个定点M，使得无论直线I如何转动，以 AB为直径的圆恒过定点M ?若存在，求出定点 M的坐标；若不存在，则说明理由.分析：动圆过定点，可先根据题意条件可得到特殊条件下两圆，求其公共点，然后验 证对一般情况下也成立，说明所求公共点就是所求定点。解：当直线l的斜率不存在时，以

4、AB为直径的圆为x2 y2 =1；当直线l的斜率等于110时，直线l为y ，当y 时,3 3则以AB为直径的圆为x2（y）2=16。394x2y2 =1(y 1)216可解得鳥0即特殊条件下两圆只有一个公共点Mo(0,1).当直线l的斜率存在且非零时，设直线1X2为y二kx 代入 y = 1得32x2二（kx-弓23=1，整理得(1 2k2)x2 -彳kx-16 = 0,39设 A(X1, yj, B(X2, y2).则 x1x24k3(1 2k2)16x, x2厂，9(1 +2k )% 二 km 冷,y2 二 kx? 一 £ 33于是44M 0AM0B=x-ix2厲-1)(y21)

5、 =x1x2(3 -)(kx2)332=(1 k )x24163k(x1 X2)§-(1 k2)-k丁 169(1+2k2)33(1 + 2k2)9-16(1 k2)9(1 2k2)16k216 -16(1 k2)-16k2 16(1 2k2) n2 += 2 09(1 2k2)99(1 2k2)M°A M°B =0，则M°A _ M0B，以AB为直径的圆过点M°(0,1)。综上可知，无论直线 l如何转动，以 AB为直径的圆恒过定点M 0，故存在一个定点M （0,1），使得无论直线l如何转动，以 AB为直径的圆恒过定点 M 。众所周知：一般成立，特殊一定成立；特殊成立，一般不一定成立；特殊不成立，一 般一定不成立。数学解题要求其解题过程和结论均要具有一般性，但一般性中往往包含有特殊性，所以一般性成立了 ，特殊性当然也就成立但由于问题的特殊性代表问题的本质基础 因此数学解题过程中，往往也从特殊性入手，即把特殊作为