用放缩法证明与数列和有关的不等式

1、仅供个人参考用放缩法证明与数列和有关的不等式江苏省江阴长泾中学严 洁 邮编 214411数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点， 这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.一.先求和后放缩 例1 .正数数列an 的前n项的和Sn,满足2 Sn = an 1，试求：(1)数列1的通项公式；1 1(2 )设bn，数列b /的前n项的和为Bn,求证：Bnanan +2解：(1 )由已知得4Sn =n1)2 , n 2时，4Sn

2、=(an1)2 ,作差得：4an二a：-2an- a；-2an,所以(anan)(an- a.-2) = 0 ,又因为：a,为正数数列，所以an -an=2，即：an 是公差为2的等差数列，由 2 Sa11，得印=1，所以 an = 2n -1(2)bn1anan 11(2n -1)(2n 1)1 1 1()，所以2 2n -1 2n 1不得用于商业用途注：一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、 等比、差比数列(这 里所谓的差比数列，即指数列 aJ满足条件an 4 -an二f n )求和或者利

3、用分组、裂项、 倒序相加等方法来求和.二.先放缩再求和1.放缩后成等差数列，再求和例2.已知各项均为正数的数列 an的前n项和为&，且aan二2Sn.(1)求证:Sn.an2 - an -12解：(1 )在条件中，令 n =1，得a2 *印=20 =2耳，：a1 0 - a1 ，又由条件2 2an an - 2Sn有an -1 ' an - 2Sn 1，上述两式相减，注意到 an 1 - Sn 1 _ Sn得an 0 an 1 an 0(an 1an)(an 1 an -1)-0所以,an =1 1 (n 1) = n , Snn(n 1)所以Sn2 2n(n T)1 n (n

4、 1)(2)因为n:,n(n1) ： n 1，所以n(n 1).2所以2.n2 3nSn 1 -1；寸 S + S2 +寸 Sn >+=.2放缩后成等比数列，再求和n n(n 1)Sn.2 2 ” 2 .23. (1 )设 a, n N*, a>2,证明:a2n _ (_a)n _ (a 1) an;(2)等比数列an中，,2前n项的和为An,且A7, A9, A8成等差数列设2anbn Sa数列 bn前n项的和为Bn，证明：Bn< - 3解：(1 )当n为奇数时,an> a，于是,nna -(-a)二 an(an 1) _ (a 1) an 当n为偶数时,a 1 &g

5、t; 1,且 an>a2,于是2nna -(-a)an(an -1) _(a2 -1) an(a 1)(a-1) an _(a 1) an (2)A9 -A7 =a8 ' a9 ,A8 -'A9-_a9, a8公比 q = a9a811七)n1<4n_(_2)n 3 2n BnF d bn.23 2n 31-14(13放缩后为差比数列，再求和例4.已知数列an满足：a1=(1 际n=1,23 ) 求证:证明：因为an 1 = (1-斗)a.，所以an 1与an同号，又因为a1 =10，所以a.0 ,2即 an 1 -a0，即an -1 - an 所以数列an为递增数

6、列，所以a. - a1 = 1,令Sn2Snn2n1 2=+ * +2122ann1 2-n，累加得：an - a1 _-22n2 22幕，所以2 s"1，所以 Sn =21 2+ +232 2+n+ 2nn -1 + “2"J -1，两式相减得:n 1尹，所以 an 一3 - 2nj，n +1故得 a n 1 a n 丄 3 2 n 二-4 放缩后为裂项相消，再求和例5.在m （m2）个不同数的排列 P1P2Pn中，若1 < i< j< m时Pi >Pj （即前面某数大 于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的

7、逆序数 记排列（n 1）n（n 一1）321的逆序数为a.,如排列21的逆序数a1 =1，排列321的逆序数a3 6 （1 ）求a4、a5，并写出an的表达式;(2)令 bn巫.空，证明 2" :：: b1b2bn : 2" 3, n=1,2,.an 卅an解（1）由已知得a4 =10,a5 =15,an 二 n (n -1)n(n 1)2(2)因为 bn 二出a-an + an""2+"2 ""2= 2,n =1,2,所以 b1 b - bn 2".又因为 bn 2 - 乙，n =12,n +2 nn n +21

8、11111所以 b1 b2b =2n 2( - ) ( 一 (一 )1 32 4n n+22 2=2n 32n 3.n +1 n +2综上，2" ： b, b2bn ： 2" 3," =1,2,.注：常用放缩的结论:(1)1 . 1 k(k 1)k21 1<=k(k-1) k -11-丄(k 2) k11=2(1- 1 )(k_2).k -1、k在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式.如例2要证明的结论n2 3n2 22 j为等差数列求和结果的类型,则把通项放缩为等差数ii i列，再求和即可；如例 3要证明的结论 丄（1 一

9、当）：丄为等比数列求和结果的类型，则把通3 231项放缩为等比数列，再求和即可；如例 4要证明的结论3- n ,为差比数列求和结果的类22 2型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论2n 3为n +1 n + 2 裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可.虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩.如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口.本文发表在扬州大学主办的高中数学教与学2007年第8期刊号 ISSN 1007 1830仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa