冀教版九年级上册数学 第28章圆28.4垂径定理课件

1、第二十八章第二十八章 圆圆 学习新知学习新知检测反馈检测反馈九年级数学上九年级数学上 新课标新课标 冀教冀教 学学 习习 新新 知知 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)在自己课前准备的纸片上作图:1.任意作一条弦AB.2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.5.图形中的已知是

2、什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗?如图所示,在O中,CD为直径,AB为弦,且CDAB,垂足为E.求证AE=BE,.AD BD AC BC证明:如图所示,连接OA,OB.在OAB中,OA=OB,OEAB,AE=BE,AOE=BOE.AD BDAOC=180-AOE,BOC=180-BOE,AOC=BOC.ACBC垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.几何语言几何语言:在O中,CD为直径,CDAB,.AD BD AC BCAE=BE,垂径定理的推论垂径定理的推论如图所示,在O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判

3、断CD与AB垂直吗?ADBDACBC 与 (或 与 )相等吗?说明你的理由.(2)若 = (或 = ),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.BCACBDADADBDACBC解:(1)CDAB, (或 ).理由是:连接OA,OB,如图所示,则OAB是等腰三角形,AE=BE,CDAB.由垂径定理可得,.ADBD ACBC(2)CDAB,AE=BE.理由是：ADBD ,AOD=BOD,又OA=OB,OE=OE,AEO BEO,AEO=BEO,AE=BE,CDAB.追加思考追加思考:(1)垂径定理中的条件和结论分别是什么?用语言叙述.(2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什

4、么?(3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗?在O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CDAB, 中的一项作为条件,则可得到另外两项结论.ADBD (教材164页例)如图所示,已知CD为O的直径,AB为弦,且ABCD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.思考:1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段?(连接半径,构造直角三角形)2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点?(根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半,另两边的长正好相差ED长)3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?(设未知数,用勾股定理列方程求解)解:如图所示,连接OA.设

5、O的半径为r.CD为O的直径,ABCD,AE=BE.AB=8,AE=BE=4.在RtOAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.解得r=5,从而2r=10.所以直径CD的长为10.赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)解:如图所示,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R.ABAB经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与 相交于点C,连接OA.

6、根据垂径定理知D为AB的中点,C为 的中点,CD就是拱高.AB由题设可知,AB=37.4 m,CD=7.2 m,所以AD= AB= 37.4=18.7(m),2121OD=OC-CD=R-7.2(m).在RtOAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R27.9(m).因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.【思考】1.在圆中解决有关弦的问题,常作什么辅助线?2.在圆中解决有关弦的问题,常用什么方法?知识拓展知识拓展1.由垂径定理可以得到以下结论:(1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧.(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分

7、弦所对的两条弧.(3)垂直且平分一条弦的弦是直径.(4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径.综上所述综上所述,可以知道在过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的劣弧,平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理.2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即是圆心.4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).5.圆心到弦的距离叫做弦心距.检测反馈检测反馈1.如

8、图所示,AB是O的直径,CD是弦,CDAB于点E,则下列结论不一定成立的是()A.COE=DOE B.CE=DEC.OE=BE D. BCBD解析:由垂径定理可知B,D均成立;由OCE ODE可得A也成立.不一定成立的是OE=BE.故选C.C解析:过点O作OCAB于C,OC过点O,AC=BC= AB=12,在RtAOC中,由勾股定理,得OC= =5.故选B.2.如图所示,已知O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是()A.6B.5C.4D.321221213 B3.如图所示,O的直径为10,弦AB的长为6,P是AB上一动点,则线段OP的长的取值范围是. 2235 解析解析:当弦与O

9、P垂直时,OP的值最小,连接OA,由勾股定理可得OP= =4;当点P与点A或点B重合时,OP的值最大,此时OP为O的半径5.故填4OP5.4OP54.如图所示,AB是O的弦,半径OCAB于点D.(1)若AB=8 cm,OC=5 cm,求CD的长;(2)若OC=5 cm,OD=3 cm,求AB的长;(3)若AB=8 cm,CD=2 cm,求O的半径.解:连接OA,则AO=OC.OCAB,ODA=90.(1)OCAB,AD= AB=4 cm,在RtOAD中,OA=5 cm,OD= = =3(cm),CD=OC-OD=2 cm.2122ADAO 2245 22ODAO 2235 (2)在RtOAD中

10、,OA=5 cm,OD=3 cm,AD= = =4(cm),OCAB,AB=2AD=8 cm.(3)设O的半径为r cm,则OD=(r-2)cm,OCAB,AD= AB=4 cm,21在RtOAD中,OA2=DO2+AD2,r2=(r-2)2+42,解得r=5,O的半径为5 cm.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。 本课件是在本课件是在Micorsoft PowerPoint的平台上制作的，可以在的平台上制作的，可以在Windows环境下独立运行，环境下独立运行，集文字、符号、图形、图像、动画、声音于一体，交互性强，信息量大，能多路刺激学集文字、符号