利用空间向量知识求空间中的二面角经典实用

1、第七章空间中的向量方法第七章空间中的向量方法第七讲第七讲立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法第第3课时利用向量知识求空间二面角课时利用向量知识求空间二面角第八章第八章利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法掌握利用向量方法解决面面的夹角的求法重点：二面角与向量夹角的关系难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法温故知新1回顾复习二面角及其平面角的定义，求法思维导航2怎样用空间向量来求二面角的大小？知识点：二面角利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空

2、间中的向量方法空间中的向量方法3用向量方法求二面角平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，则二面角l为或设二面角大小为，则|cos|_|cos|n1n2|n1|n2|利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法利用向量法求二面角的两种方法利用向量法求二面角的两种方法(1)(1)若若ab,cdab,cd分别是两个平面分别是两个平面,内与棱内与棱l垂直的异面直线垂直的异面直线, ,则两个平面的夹角的大小就是向量则两个平面的夹角的大小就是向量 与与 的夹角的夹角, ,如图如图. . (2)(2)设设n1 1, ,n2 2分别是平面分别是平面,的法

3、向量的法向量, ,则向量则向量n1 1与与n2 2的夹角的夹角( (或其补角或其补角) )就是两个平面夹角的大小就是两个平面夹角的大小, ,如图如图ab cd 利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法例题讲解：正方体例题讲解：正方体abef-dcefabef-dcef中中, m,n, m,n分别为分别为ac,bfac,bf的中点的中点( (如图如图), ),求平面求平面mnamna与平面与平面mnbmnb所成所成角的余弦值角的余弦值. .利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法【解析解析】方法一：设正方体棱长为方法一：

4、设正方体棱长为1.1.以以b b为坐标原点，为坐标原点，baba，bebe，bcbc所在直线分别为所在直线分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立空轴建立空间直角坐标系间直角坐标系b-xyzb-xyz，则，则a(1a(1，0 0，0)0)，b(0b(0，0 0，0)0)取取mnmn的中点的中点g g，连接，连接bgbg，agag，则，则因为因为amnamn，bmnbmn为等腰三角形，为等腰三角形，所以所以agmnagmn，bgmn.bgmn.所以所以agbagb为为二面角的平面角或其补角二面角的平面角或其补角因为因为所以所以1 1 1g()2 4 4， 111ga ()244， ，111

5、gb ()244 ， ，1ga gb18cosga gb.333ga gb88 ， 利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法 故所求两平面所成角的余弦值为故所求两平面所成角的余弦值为1.3方法二：设平面方法二：设平面amnamn的法向量的法向量n1 1(x(x，y y，z)z)111 1am (0) an (0)222 2 ， ， ， ，11am0an0 ，nn11xz02211xy0.22，令令x x1 1，解得，解得y y1 1，z z1 1，所以所以n1 1(1(1，1 1，1)1)同理可求得平面同理可求得平面bmnbmn的一个法向量的一个法向量n2

6、 2(1(1，1 1，1)1)所以所以 coscosn1 1，n2 2= =121211.333n nn n故所求两平面所成角的余弦值为故所求两平面所成角的余弦值为1.3利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法练习：如图所示，四棱锥练习：如图所示，四棱锥p-abcdp-abcd中，底面中，底面abcdabcd为为正方形，正方形，pdpd平面平面abcdabcd，pdpdabab2 2，e e，f f，g g分别为分别为pcpc，pdpd，bcbc的中点的中点(1)(1)求证：求证：paef.paef.(2)(2)求二面角求二面角d-fg-ed-fg-e的余

7、弦值的余弦值利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法【解析解析】以以d d为坐标原点为坐标原点, ,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz,d(0,0,0),a(0,2,0),c(-2,0,0),p(0,0,2),e(-1,0,1), d-xyz,d(0,0,0),a(0,2,0),c(-2,0,0),p(0,0,2),e(-1,0,1), f(0,0,1),g(-2,1,0).f(0,0,1),g(-2,1,0).(1)(1)证明：由于证明：由于(0(0，2 2，2)2)，(1(1，0 0，0)0)，则则 1 10 00 02

8、 2( (2)2)0 00 0，所以所以paef.paef.pa efpa ef 利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法(2)(2)易知易知 (0(0，0 0，1)1)， (1(1，0 0，0)0)， ( (2 2，1 1，1)1)，设平面设平面dfgdfg的法向量的法向量m(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，则则 解得解得令令x x1 11 1，得，得m(1(1，2 2，0)0)是平面是平面dfgdfg的一个法向的一个法向量量df effg df0fg0 ，mm1111z02xyz0.，利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中

9、的向量方法空间中的向量方法设平面设平面efgefg的法向量的法向量n(x(x2 2，y y2 2，z z2 2) )，同理可得同理可得n(0(0，1 1，1)1)是平面是平面efgefg的一个法向量的一个法向量因为因为coscosm，n设二面角设二面角d-fg-ed-fg-e的平面角为的平面角为，由图可知，由图可知m，n，所以所以cos cos 所以二面角所以二面角d-fg-ed-fg-e的余弦值为的余弦值为 . .2210| |55210，m nmn105，105，利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法课后训练：课后训练：(1)在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为个向量分别为 (0,-1,3), (2,2,4), 则这个二面角的余弦值为则这个二面角的余弦值为()(2)pa平面平面abc，acbc，paac1，bc 求二面角求二面角a-pb-c的余弦值的余弦值151515a. b c. d663以上都不对2.利用空间向量知识求空间中的二面角第七章第七章 空间中的向量方法空间中的向量方法课堂小结：利用空间向量求二面角的方法(1)若ab,cd分别是两个平面,内与棱l垂直的异面直线,则两个平面的夹角的大小就是向量 与 的夹角。 (2)设n1