圆锥曲线的综合应用课件

1、 掌握探究与圆锥曲线相关的最值掌握探究与圆锥曲线相关的最值问题、定点与定值问题、参变数取值问题、定点与定值问题、参变数取值范围问题的基本思想与方法，培养并范围问题的基本思想与方法，培养并提升运算能力和思维能力提升运算能力和思维能力.1.已知已知R,则不论则不论取何值，曲线取何值，曲线C：x2-x-y+1=0恒过定点恒过定点( )DA.(0,1) B.(-1,1)C.(1,0) D.(1,1) 由由x2-x-y+1=0,得得(x2-y)-(x-1)=0. x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1,可知不论可知不论取何值取何值,曲线曲线C过定点过定点(1,1).依题设依题设,即即2.已知已知kR,

2、直线直线y=kx+1与椭圆与椭圆 =1恒有公恒有公共点共点,则实数则实数m的取值范围是的取值范围是 .1,5)(5,+)225xym 由于直线由于直线y=kx+1过定点过定点P(0,1)，则当则当P(0,1)在椭圆上或椭圆内时，直线在椭圆上或椭圆内时，直线与椭圆恒有公共点，因此与椭圆恒有公共点，因此m且且m5,求求得得m1,5)(5,+).3.双曲线双曲线x2-y2=4上一点上一点P(x0,y0)在双曲线的在双曲线的一条渐近线上的射影为一条渐近线上的射影为Q，已知，已知O为坐标为坐标原点，则原点，则POQ的面积为定值的面积为定值 .1 如图如图,双曲线双曲线x2-y2=4的的两条渐近线为两条渐

3、近线为y=x,即即xy=0.又又|PQ|= ,|PR|= ，所以所以SPOQ= |PQ|PR|= =1.00|2xy00|2xy122200|4xy4.已知定点已知定点A(2,3),F是椭圆是椭圆 =1的右焦的右焦点点,M为椭圆上任意一点为椭圆上任意一点,则则|AM|+2|MF|的最小值为的最小值为 .221612xy6 由于点由于点A在椭圆内，过在椭圆内，过M点作椭点作椭圆右准线圆右准线x=8的垂线，垂足为的垂线，垂足为B.由椭圆第二定义，得由椭圆第二定义，得2|MF|=|MB|，则则|AM|+2|MF|AM+|BM|，当当A、B、M三点共线且垂直于准线时，三点共线且垂直于准线时，|AM|+

4、2|MF|的最小值为的最小值为6.1.基本概念基本概念在圆锥曲线中，还有一类曲线系方程，在圆锥曲线中，还有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题的定值问题.而当某参数取不同值时，某几而当某参数取不同值时，某几何量达到最大或最小，这就是我们指的最何量达到最大或最小，这就是我们指的最值问题值问题.曲线遵循某种条件时，参数有相应曲线遵循某种条件时，参数有相应的允许取值范围，即我们指的参变数取值的允许

5、取值范围，即我们指的参变数取值范围问题范围问题.2.基本求法基本求法解析几何中的最值和定值问题是以解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体，以函数、不等圆锥曲线与直线为载体，以函数、不等式、导数等知识为背景，综合解决实际式、导数等知识为背景，综合解决实际问题，其常用方法有两种：问题，其常用方法有两种：(1)代数法：引入参变量，通过圆锥代数法：引入参变量，通过圆锥曲线的性质，及曲线与曲线的交点理论、曲线的性质，及曲线与曲线的交点理论、韦达定理、方程思想等，用变量表示韦达定理、方程思想等，用变量表示(计计算算)最值与定值问题，再用函数思想、不最值与定值问题，再用函数思想、不等式方法得到最

6、值、定值；等式方法得到最值、定值；(2)几何法：若问题的条件和结论能明几何法：若问题的条件和结论能明显的体现几何特征，利用图形性质来解决显的体现几何特征，利用图形性质来解决最值与定值问题最值与定值问题.在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找需要我们去寻找.对于圆锥曲线的参数的取对于圆锥曲线的参数的取值范围问题值范围问题,解法通常有两种解法通常有两种:当题目的条件当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时和结论能明显体现几何特征及意义时, 可考虑利用数形结合法求解或构造参数可考虑

7、利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时与圆锥曲线相交时0等），通过解不等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域化为求解函数的值域.例例1 已知已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动是平面上一动点，且满足点，且满足| | |= . (1)求点求点P的轨迹的轨迹C的方程；的方程； (2)已知点已知点M(m,2)在曲线在曲线

8、C上，过点上，过点M作作直线直线l1、l2与与C交于交于D、E两点，且两点，且 l1、l2的斜率的斜率k1、k2满足满足k1k2=2,求证：直线求证：直线DE过定点，并求此定点过定点，并求此定点.PA BA PB AB (1)设设P(x,y),则则 =（1-x,-y), =(-1-x,-y), =(-2,0), =(2,0).因为因为| | |= ，所以所以 2=2(x+1),即即y2=4x,所以点所以点P的轨迹的轨迹C的方程为的方程为y2=4x .(2)证明证明:由由(1)知知M(1,2),设设D( ,y1),E( ,y2),所以所以k1k2= =2,整理得整理得(y1+2)(y2+2)=8

9、. PA BA PB AB PA BA PB AB 22(1)xy214y224y122211221144yyyykDE= = =k,所以所以y1+y2= . 由知由知y1y2=4- ,所以直线所以直线DE的方程为的方程为y-y1= (x- ),整理得整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0,即即4x- y+4- =0,即即(x+1)k-(y+2)=0,所以直线所以直线DE过定点过定点(-1,-2).4k12221244yyyy124yy8k124yy214y4k8k 与圆锥曲线有关的定点问题的探求与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量，将题设转化一般途径是恰当引入参变量，将

10、题设转化为坐标关系式，然后通过分析参变量取符为坐标关系式，然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时，坐标关系式合题设条件的任何一个值时，坐标关系式恒成立的条件，而获得定点坐标恒成立的条件，而获得定点坐标.例例2 如图，如图，F1(-3,0),F2(3,0)是双曲线是双曲线C的两焦点的两焦点,其一条渐近线方程为其一条渐近线方程为y= x,A1、A2是双曲线是双曲线C的两个顶点，点的两个顶点，点P是双曲线是双曲线C右支上异于右支上异于A2的一的一 动点，直线动点，直线A1P,A2P交直线交直线 x= 分别于分别于M、N两点两点. (1)求双曲线求双曲线C的方程；的方程； (2)求证：求证：

11、是定值是定值.524312FM F N (1)由已知，由已知，c=3, = .又又c2=a2+b2，所以，所以a=2,b=5.所求双曲线所求双曲线C的方程为的方程为 =1.(2)证明：设证明：设P的坐标为的坐标为(x0,y0),M、N的纵坐的纵坐标分别为标分别为y1、y2,因为因为A1(-2,0),A2(2,0),所以所以 =(x0+2,y0), =(x0-2,y0), =( ，y1), =(- ,y2).ba522245xy1AP2A P 1AM1032A N23因为因为 与与 共线，共线，所以所以(x0+2)y1= y0,y1= .同理同理y2=- .因为因为 =( ,y1), =(- ,

12、y2),所以所以 =- +y1y2=- -=- - =-10，为定值，为定值.1AP1AM10300103(2)yx 0023(2)yx 1FM1332F N 531FM2F N 6596592020209(4)yx 65920205(4)2049(4)xx例例3 设设F1、F2分别是椭圆分别是椭圆 +y2=1的左、右的左、右焦点焦点. (1)若若P是该椭圆上的一个动点是该椭圆上的一个动点,求求 的的最大值与最小值；最大值与最小值； (2)设过定点设过定点M(0,2)的直线的直线l与椭圆交于不同的与椭圆交于不同的两点两点A、B，且，且AOB为锐角（其中为锐角（其中O为坐标为坐标原点），求直线原

13、点），求直线l的斜率的斜率k的取值范围的取值范围.24x12PF PF (1)由方程易知由方程易知a=2,b=1,c=3，所以所以F1(- ,0),F2( ,0).设设P(x,y),则则 =(- -x,-y)( -x,-y)=x2+y2-3=x2+1- -3 = (3x2-8).因为因为x-2,2，所以，所以0 x2，故故 的最大值为的最大值为1，最小值为，最小值为-2.3324x12PF PF 331412PF PF (2)显然直线显然直线x=0不满足题设条件，不满足题设条件，可设直线可设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). y=kx+2 +y2=1,消去消去y,整理得

14、整理得(k2+ )x2+4kx+3=0.所以所以x1+x2= ,x1x2= .由由=(4k)2-4(k2+ )3=4k2-30,解得解得k 或或k- . 联立方程组联立方程组24x142414kk 2314k 143232又又0AOB0,得得 0, 所以所以 =x1x2+y1y20.又又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4 = + +4= .所以所以 + 0,即即k2b0)的离心率为的离心率为e= ，右焦点为，右焦点为F(c,0)，方程，方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为的两个实根分别为x1和和x2，则点，则点P(x1,x2)( )A.必在圆必在圆

15、x2+y2=2内内B. 必在圆必在圆x2+y2=2上上C. 必在圆必在圆x2+y2=2外外D. 以上三种情形都有可能以上三种情形都有可能2222xyab12A 椭圆的离心率为椭圆的离心率为e= ，故，故a=2c,b= c,代入代入ax2+bx-c=0,得得2x2+3x-1=0，所以，所以x1+x2=- ，x1x2=- .故故P(x1,x2)到圆心到圆心(0,0)的距离，的距离，d= = = = 2,所以点所以点P在圆内，故选在圆内，故选A.12332122212xx21212()2xxx x74231()2 ()22 学例2 (2009浙江卷浙江卷)已知椭圆已知椭圆C1： =1(ab0)的右顶

16、点为的右顶点为A(1，0)，过，过C1的焦点且的焦点且垂直长轴的弦长为垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆求椭圆C1的方程；的方程； (2)设点设点P在抛物线在抛物线C2： y=x2+h(hR)上，上，C2在在 点点P处的切线与处的切线与C1交于交于 点点M、N.当线段当线段AP的中的中 点与点与MN的中点的横坐标相等时的中点的横坐标相等时,求求h的最小的最小值值.2222xyab b=1 a=2 2 =1 b=1.因此，所求的椭圆方程为因此，所求的椭圆方程为 +x2=1.(2)设设M（x1,y1）,N(x2,y2),P(t,t2+h)，则抛物，则抛物线线C2在点在点P处的切线斜率为处的切线斜率为y|x=t=2t，直线，直线MN的方程为：的方程为：y=2tx-t2+h.将上式代入椭将上式代入椭圆圆C1的方程中，得的方程中，得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0.即即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0. (1)由题意，得由题意，得，从而，从而2ba24y因为直线因为直线MN与椭圆与椭圆C1有两个不同的交点，有两个不同的交点，所以式中的所以式中的1=16-t4+2(h+2)t2-h2+40.设线段设线段MN的中点的横坐标是的