全基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析

1、 1 / 51基本不等式应用基本不等式应用一基本不等式1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取rba,abba222rba,222baabba “=”）2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=” ）*,rbaabba2*,rbaabba2ba (3)若，则 (当且仅当时取“=” ）*,rba22baabba 3.若，则 (当且仅当时取“=” ）;若，则 (当且仅当时取0 x 12xx1x 0 x 12xx 1x “=” ）若，则 (当且仅当时取“=” ）0 x 11122-2xxxxxx即或ba 3.若，则 (当且仅当时取“=” ）0ab2abbaba 若，则 (当且仅当时取“=

2、” ）0ab 22-2abababbababa即或ba 4.若，则（当且仅当时取“=” ）rba,2)2(222bababa 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx12x 21x解：（1）y3x 22 值域为，+）12x 266 （2）当 x0 时，yx 22；1x当 x0 时， yx

3、 = （ x ）2=21x1x值域为（，22，+）解题技巧：解题技巧：技巧一：凑项技巧一：凑项例 1：已知，求函数的最大值。54x 14245yxx解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑450 x1(42)45xx42x项， 2 / 51，5,5404xx 11425434554yxxxx 231 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。15454xx1x 1x max1y评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数技巧二：凑系数例 1. 当时，求的最大值。(82 )yxx解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个

4、式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即2(82 )8xx(82 )yxx可。当，即 x2 时取等号 当 x2 时，的最大值为 8。(82 )yxx评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。230 x)23(4xxy解：230 x023 x2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当即时等号成立。,232xx23, 043x技巧三技巧三： 分离分离例 3. 求的值域。2710(1)1xxyxx 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离

5、。当,即时,（当且仅当 x1 时取“”号）。421)591yxx（技巧四技巧四：换元：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1 +10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,（当 t=2 即 x1 时取“”号）。4259ytt评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求( )(0,0)( )aymg xb abg x最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数技巧五：注意：在应用最值定理

6、求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。的单调性。( )af xxx例：求函数的值域。2254xyx 3 / 51解：令，则24(2)xt t2254xyx22114(2)4xtttx 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。10,1ttt1tt1t 2,因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。1ytt 1,2,52y 所以，所求函数的值域为。5,2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1） （2） (3) 231,(0)xxyxx12,33yxxx12sin,(0, )sinyxxx2已知，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.01x(1)y

7、xx203x(2 3 )yxx条件求最值条件求最值1.若实数满足，则的最小值是 .2baba33 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值， ba33 解： 都是正数，ba33 和ba33 632332baba当时等号成立，由及得即当时，的最小值是ba33 2baba33 1 ba1 baba33 6变式：若，求的最小值.并求 x,y 的值44loglog2xy11xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。2：已知，且，求

8、的最小值。0,0 xy191xyxy错解错解：，且， 故 0,0 xy191xy1992212xyxyxyxyxymin12xy。错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立2xyxyxy1992xyxy条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出19xy9yx等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解正解：，190,0,1xyxy199106 1016yxxyxyxyxy 4 / 51当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。9yxxy191xy4,12xymin16xy变式： （1）若且，求的最小值ryx,12

9、yxyx11(2)已知且，求的最小值ryxba,1ybxayx 技巧七技巧七、已知已知 x，y 为正实数，且为正实数，且 x 21，求，求 x的最大值的最大值.y y 2 221 1y y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab。a 2b 22同时还应化简中 y2前面的系数为 ， xx x1y 2121y 22下面将 x，分别看成两个因式：x 即 xx 341y 22342技巧八：已知技巧八：已知 a，b 为正实数，为正实数，2baba30，求函数，求函数 y的最小值的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题一是通过消元，

10、转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， abb 302bb1302bb12 b 230bb1由 a0 得，0b1令 tb+1，1t16，ab2（t）34t282t 234t31t16t16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。118法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab2 ab令 u则 u22u300， 5u3 ab2223，ab18，ya

11、b2118点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不abba2）（rba,等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到230abab）（rba,ababba与不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.abba2）（rba,abab变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方技巧九、取平方5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 w的最值.3x2y解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单ab2a 2b 22 5 / 51 2 3x2y22 3x2y

12、5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。w0，w23x2y210210()2()2 10(3x2y)203x2y3x2y3x2y w2 205变式: 求函数的最大值。152152 ()22yxxx 解析：注意到与的和为定值。21x52x22( 2152 )42 (21)(52 )4(21)(52 )8yxxxxxx 又，所以0y 02 2y当且仅当=，即时取等号。 故。21x52x32x max2 2y评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一

13、正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用二：利用基本不等式证明不等式应用二：利用基本不等式证明不等式1已知为两两不相等的实数，求证：cba,cabcabcba2221）正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc例 6：已知 a、b、c，且。求证：r1abc1111118abc分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。1121abcbcaaaa 解：a、b、c，。同理，r1abc1121abcbcaaaa 121acbb 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得121ab

14、cc 。当且仅当时取等号。1112221118bcacababcabc13abc应用三：基本不等式与恒成立问题应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。0,0 xy191xyxymm解：令，,0,0,xyk xy191xy991.xyxykxky1091yxkkxky 。 ， 10312kk 16k,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用：应用四：均值定理在比较大小中的应用： 6 / 51例：若，则的大小关系是 .)2lg(),lg(lg21,lglg, 1barbaqbapbarqp,分析： 1 ba0lg, 0lgba（21qpbabalglg)lgl

15、g rqp。qababbarlg21lg)2lg(2012 届高三文科数学小综合专题练习不等式一、选择题1设，若，则下列不等式中正确的是（ ）rba,0 baa b cd0ab0 ab033ba022ba设，是非零实数，若，则下列不等式成立的是（）22ba baab22baab2211baab3下列函数中，的最大值为的是（） xxy42)3(222xxy)0(sin4sinxxxyxxeey44不等式的解集为 ( )21xxa b c d)0, 1), 1 1,(), 0( 1,(5设 f(x)为奇函数, 且在(-, 0)内是减函数, f(-2)= 0, 则 x f(x)0 时，f(x)1(1

16、)求证 f(x)是 r 上的增函数；(2)设 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)1)12xx(1)证明：函数 f(x)在(1，+)上为增函数；(2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根参考答案一、bd a c 二、670 7 8； 9 101 , 131 5 , 110, 6三、11，因此2)(2)(yxbabayxbyax（）若，则收购站受益；（）若，则两种方式的付款额相等；（）若，则收购站吃亏12-1a1 且0a13设楼房每平方米的平均综合费为 f（x）元，则 8 / 51 2160 100001080056048560482000f xxxxx10,xxz ,2000108

17、00482560)(xxxf当且仅当，即 时； xx1080048 15x 2000)(minxf答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 15 层14(1)(2)时,解集为；时, 解集为；时, 解集为; 2, 1ba2c2 , c2cc, 22c15(2)-3a0, 1 且0,12xxa1xa0,又 x1+10,x2+10) 1(12112xxxxxaaaa0,) 1)(1()( 3) 1)(1() 1)(2() 1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx于是 f(x2)f(x1)=+ 012xxaa12121122xxxxf(x)在(1，+）上为递

18、增函数(2）证法一：设存在 x00(x01)满足 f(x0)=0,则，且由 01 得12000 xxax0 xa01，即x02 与 x00 矛盾，故 f(x)=0 没有负数根1200 xx21证法二：设存在 x00(x01)使 f(x0)=0,若1x00,则2,1,f(x0)1 与 f(x0)=0 矛盾，1200 xx0 xa若 x01,则0, 0，f(x0)0 与 f(x0)=0 矛盾，故方程 f(x)=0 没有负数根1200 xx0 xa高二数学选修高二数学选修 1 11 1 综合测试题综合测试题一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1、已知命题、，如果是的充分而不必要条件，那么是的（

19、 ）pqpqqp （ a ）必要不充分条件 ( b )充分不必要条件 ( c )充要条件 ( d )既不充分也不必要2、命题“若，则是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，090cabc真命题的个数是（ ） （ a ） 0 ( b ) 1 ( c ) 2 ( d ) 33、一动圆的圆心在抛物线上，切动圆恒与直线相切，则动圆必定过点（ xy8202 x 9 / 51）（ a ） （4，0） ( b ) （2，0） ( c ) （0，2） ( d ) （0，-2）4、抛物线上一点 q,且知 q 点到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离是（ pxy22), 6(0y） （ a ）

20、 4 ( b ) 8 ( c ) 12 ( d ) 165、中心点在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是（ ）4x21 （ a ） ( b ) 13422yx14322yx( c ) ( d ) 1422 yx1422yx6、若方程表示准线平行于轴的椭圆，则的范围是（ ）1) 1(2222mymxxm （ a ） ( b ) ( c ) 且 ( d ) 且21m21m21m1m21m0m7、设过抛物线的焦点的弦为，则以为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（ ）fpqpq （ a ） 相交 ( b )相切 ( c ) 相离 ( d ) 以上答案均有可能8、如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是

21、（ ）121|22mymxm （ a ） ( b ) 或 2m1m2m ( c ) ( d ) 或21m11m2m9、已知直线与曲线相切，则的值为（ ）kxy xylnk （ a ） ( b ) ( c ) ( d ) eee1e110、已知两条曲线与在点处的切线平行，则的值为（ ）12 xy31xy0 x0 x （ a ） 0 ( b ) ( c ) 0 或 ( d ) 0 或 1323211、已知抛物线上一定点和两动点、，当时， ，点的横坐标的12 yx)0 , 1(apqpqpa q取值范围（ ） （ a ） ( b ) ( c ) ( d ) 3,(), 1 1, 3), 1 3,(1

22、2、过双曲线的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（ ）122 yx （ a ） ( b ) ), 0)43,2()2,4( 10 / 51( c ) ( d ) )43,4(),2()2, 0(二、填空题 （每小题 4 分，共 16 分）13、命题“a、b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的逆否命题是 。14、抛物线上一点到点与焦点的距离之和最小，则点的坐标为 。xy42a)2 , 3(ba15、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 12222byax1e12222aybx2e21ee 。16、已知椭圆，为左顶点，为短轴端点，为右焦点，且12222byax)0( baab

23、f，则这个椭圆的离心率等于 。bfab 二、解答题 (1721 每小题 12 分，22 题 14 分)三、17、已知抛物线通过点，且在处与直线相切，cbxaxy2) 1 , 1 (a) 1, 2( b3 xy求、的值。abc18、点为抛物线上的动点， 为定点，求的最小值。),(yxmxy42)0 ,(aa| ma19、已知椭圆的中心在原点，它在轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，切此焦点和轴xx上的较近端点的距离为，求椭圆方程。) 12(420、讨论直线与双曲线的公共点的个数。1: kxyl1:22 yxc21、在直线上任取一点，过作以为焦点的椭圆，当在09: yxlmm)0 , 3(),

24、0 , 3(21ff m什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程22、如图，由围城的曲边三角形，在曲线弧上求一点，使得过所作的2, 8, 0 xyxyobmm的切线与围城的三角形的面积最大。2xy pqaboa,pqa附参考答案一、选择题 1、b , 2、b, 3、b , 4、b , 5、c, 6、d , 7、 b ， 8、d , 9、c , 10、 c , 11、 d, 12、 cxyombqpa 11 / 51四、填空题13、若 a+b 不是偶数，则 a、b 都不是偶数。14、 （1，2）15、22解：22222111baabeem 82222222222222222baabbaabm

25、22m16、215 解：为直角三角形斜边上的高，则boabffoaobo2即 解得 acb 2acca22215 ac五、解答题17、解：baxy 2 则 14| 2bayx 又抛物线过点 ) 1 , 1 (a则1cba 点在抛物线上 ) 1, 2( b124cba解得9,11, 3cba18 解：解： xy4242p12p 22)(|yaxma2242axaxx 根号下可看作关于的二次函数，这里44)2(2aaxx0 x若 02 a2a 时，2 ax44|minama若，时，02 a2a|minamaa(a,0)m(x,y)ofxy 12 / 5119 解：设椭圆的方程为，12222byax

26、)0( ba 根据题意 解得 2245cos) 12(40acca424ca16222cab椭圆的方程为 1163222yx20、解：解方程组1122yxkxy 消去得 y022)1 (22kxxk 当 ， 时 012 k1k1x 当时 1, 012kk22248)1 (24)2(kkk 由 得 00482 k22k 由 得00482 k2k 由 得或00482 k2k2k 综上知 ： 时，直线 与曲线有两个交点，)2, 1 () 1 , 1() 1,2(klc 时，直线 与曲线切于一点，时，直线 与曲线交于一点。2klc1klc21、 分析：因为，即问题转化为在直线上求一点，使到 的距amf

27、mf2|21mm21,ff离的和最小，求出关于 的对称点，即求到、的和最小，的长就是所求的最小值。1flfmf2f2ff解：设关于的对称点 )0 , 3(1f09: yxl),(yxf 则13009223xyyx69yx，连交 于，)6 , 9(fff2lm点即为所求。m： 即ff2)3(21xy032yx解方程组4509032yxyxyxxyff1f2lmom 13 / 51 )4 , 5(m当点取异于的点时，。mm|22fffmfm满足题意的椭圆的长轴566)39(|2222 ffa所以 53a3c36945222cab椭圆的方程为：1364522yx22、解： 设 ),(00yxm00)

28、(:yxxkypq 则 ，200 xy 02|20 xxyxx 即 所以 02xk 000)(2yxxxy令 则 0y000022xxyxx)0 ,2(0 xp 令 则 8x20016xxy)16, 8(200 xxqs)16)(28(212000 xxxspaq3020041864xxx200431664xxs令，则（舍去）或 0s160 x3160 x即当时 3160 x274096maxs9256)316(20y)9256,316(m导数专题导数专题一、一、 选择题选择题(本大题共本大题共 12 小题，小题，每小题每小题 5 分，共分，共 60 分，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

29、是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1曲线在点处的切线方程为（ ） 3xy )8 , 2(a b 126 xy1612 xyc d108 xy322 xy2已知函数的图象与轴有三个不同交点，且在dcxbxaxxf23)(x)0 ,(),0 , 0(1x)0 ,(2x)(xf，时取得极值，则的值为（ ）1x2x21xx 14 / 51a4 b5 c6 d不确定3在上的可导函数，当取得极大值，当取得极小值，rcbxaxxxf22131)(23) 1 , 0(x)2 , 1 (x则的取值范围是（ ） 12aba b

30、 c d) 1 ,41() 1 ,21()41,21()21,21(4设，则（ ） xxysin12 ya bxxxxx22sincos)1 (sin2xxxxx22sincos)1 (sin2 c dxxxxsin)1 (sin22xxxxsin)1 (sin225设，则（ ） 1ln)(2xxf)2( fa b c d545251536已知，则的值为（ ） 2)3( , 2)3(ff3)(32lim3xxfxxa b c d不存在4087函数在区间的值域为（ ） )cos(sin21)(xxexfx2, 0a b c d21,212e)21,21(2e, 1 2e), 1 (2e8积分（

31、） aadxxa22a b c d241a221a2a22 a9由双曲线，直线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）12222byaxbyby ,ya b c d238abba238ba234234ab10由抛物线与直线所围成的图形的面积是（ ） xy224 xyabcd183383161611设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长为（ ） v d3v32v34v32 v 15 / 5112某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界由六段全等的正弦曲线弧组成，其中)0(sinxxy曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个纸花瓣的面积为（ ） a b

32、c d23362233122622336第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分）二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分。请将答案填在答题卷相应空格上。分。请将答案填在答题卷相应空格上。 ）13曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则3xy )0)(,(3aaaxax 61_ 。a14一点沿直线运动，如果由始点起经过 秒后的位移是，那么速度为零的时刻是t23425341ttts_。15_.)2211(lim22222nnnnnn16 _。dxxx40|)3|1(|三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，解答应

33、写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17） （本小题满分 10 分）已知向量，若函数在区间上是增函数，求 的取值范),1 (),1,(2txbxxabaxf)() 1 , 1(t围。（18） （本小题满分 12 分）已知函数在处取得极值.xbxaxxf3)(231x(1)讨论和是函数的极大值还是极小值;) 1 (f) 1(f)(xf(2)过点作曲线的切线,求此切线方程.)16, 0(a)(xfy （19） （本小题满分 14 分）设，求函数的最大值和最小值。ax 0 xxxxxf24683)(234（20） （本小题满分 12 分） 16 / 51用

34、半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角多大r时，容器的容积最大？(21) （本小题满分 12 分） 直线分抛物线与轴所围成图形为面积相等的两个部分,求的值.kxy 2xxyxk(22) （本小题满分 14 分）已知函数。0,21)(,ln)(2abxaxxgxxf （1）若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围。2b)()()(xgxfxha （2）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分)(xf1c)(xg2cqp,pqx别交、于点。证明：在点处的切线与在点处的切线不平行。1c2cnm,1cm2cn新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应

35、用测试题参考答案一、选择题：（本大题共一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。分。 ）二、填空题：（本大题共二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分）（13） 、 （14） 、 （15） 、 （16） 、 10t2ln2110三、解答题：（本大题共三、解答题：（本大题共 6 小题，共小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17） （本小题满分 10 分） 解：由题意知：，则ttxxxxtxxxf232) 1()1 ()( （3 分）txxxf

36、23)( 2 在区间上是增函数，)(xf) 1 , 1(0)( xf 即在区间上是恒成立， （5 分）xxt232) 1 , 1( 设，则，于是有xxxg23)(231)31(3)(2xxg 5) 1()(maxgxgt 当时，在区间上是增函数 （8 分）5t)(xf) 1 , 1(123456789101112bcabbcabbacb 17 / 51 又当时， ，5t314)31(3523)( 22xxxxf在上，有，即时，在区间上是增函数) 1 , 1(0)( xf5t)(xf) 1 , 1(当时，显然在区间上不是增函数5t)(xf) 1 , 1( （10 分）5t（18） （本小题满分

37、12 分） 解：（1），依题意，323)( 2bxaxxf ，即 解得 （3 分）0) 1( ) 1 ( ff. 0323, 0323baba0, 1ba ，xxxf3)( 3) 1)(1(333)( 2xxxxf令，得 0)( xf1, 1xx 若，则), 1 () 1,(x0)( xf 故在上是增函数；)(xf), 1 () 1,(和 若，则) 11(，x0)( xf 故在上是减函数；)(xf) 1 , 1( 所以是极大值，是极小值。 （6 分）2) 1(f2) 1 (f （2）曲线方程为，点不在曲线上。xxy33)16, 0(a 设切点为，则),(00yxm03003xxy 由知，切线方

38、程为) 1(3)( 200 xxf （9 分）)(1(30200 xxxyy 又点在切线上，有)16, 0(a)0)(1(3)3(16020030 xxxx 化简得 ，解得 830 x20 x 所以切点为，切线方程为 （12 分）)2, 2(m0169 yx（19） （本小题满分 14 分）解：)2)(1)(1(1224122412)( 23xxxxxxxf 18 / 51 令，得： （2 分）0)( xf2, 1, 1321xxx 当变化时，的变化情况如下表：x)(),( xfxfx) 1 , 0(1)2 , 1 (2), 2( )( xf00)(xf单调递增极大值单调递减极小值单调递增 极

39、大值为，极小值为13) 1 (f8)2(f 又，故最小值为 0。 （6 分）0)0(f最大值与有关：a （1）当时，在上单调递增，故最大值为：) 1 , 0(a)(xf), 0(a （8 分）aaaaaf24683)(234 （2）由，即：，得：13)(xf01324683234xxxx ，或 0)1323() 1(22xxx1x31021x 又，或 （10 分）0 x1x31021x 当时，函数的最大值为： （12 分）1 a31021,)(xf13) 1 (f（3）当时，函数的最大值为：(a),31021)(xf （14 分）aaaaaf24683)(234（20） （本小题满分 12 分

40、） 解：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则rhv 由，所以222rrh )0( ,3131)(313132222rhhhrhhrhrv ，令得 （6 分）2231hrv0vrh33 19 / 51 易知：是函数的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。rh33v 当时，容积最大。 （8 分）rh33 把代入，得 rh33222rrhrr36 由得 rr2362 即圆心角时，容器的容积最大。 （11 分）362答：扇形圆心角时，容器的容积最大。 （12 分）362 (21) （本小题满分 12 分） 解：解方程组 得：直线分抛物线的交点的横坐标为2xxykxykxy 2xxy 和 （4 分）

41、0 xkx1 抛物线与轴所围成图形为面积为2xxyx （6 分）61| )3121()(1032102xxdxxxs 由题设得 dxkxdxxxskk10102)(2 （10 分）6)1 ()(3102kdxkxxxk 又，所以，从而得： （12 分）61s21)1 (3 k2413k (22) （本小题满分 14 分） 解：（1）时，函数，且2bxaxxxh221ln)(2xxaxaxxxh1221)( 2函数存在单调递减区间，有解。 （2 分）)(xh0)( xh 20 / 51又， 有 的解。0 x0122 xax0 x 当时，为开口向上的抛物线，总有 的解; 0a122xaxy0122

42、 xax0 x （4 分） 当时，为开口向下的抛物线，而有 的解，0a122xaxy0122 xax0 x则 ，且方程至少有一正根，此时，044a0122 xax 01a综上所述，的取值范围为。 （7 分）a), 0()0 , 1(（2）设点，且，则),(),(2211yxqyxp210 xx 点的横坐标为，nm,221xxx在点处的切线斜率为；1cm21212|121xxxkxxx在点处的切线斜率为。 （9 分）2cnbxxabaxkxxx2)(| )(212221 假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即1cm2cn21kk 212xx bxxa2)(21则)()(2)(21221222

43、112xxbxxaxxxx 1212121222lnln)2()2(xxyybxxabxxa所以 （11 分）12lnxx12121) 1(2xxxx设，则， 12xxt tln1,1) 1(2ttt令，则1,1) 1(2ln)(ttttth 21 / 51222) 1() 1()1 (41)( tttttth当时，所以在上单调递增。1t0)( th)(th), 1 故，从而 这与矛盾，假设不成立，0) 1 ()( hthttt1) 1(2ln在点处的切线与在点处的切线不平行。 （14 分）1cm2cn导数及其应用导数及其应用单元测试题（文科）单元测试题（文科）（满分：150 分 时间：120

44、 分钟）一、选择题（本大题共 10 小题，共 50 分，只有一个答案正确）1函数的导数是（ ）22)(xxf(a) (b) (c) (d) xxf4)(xxf24)(xxf28)(xxf16)(2函数的一个单调递增区间是（ ）xexxf)(a) (b) (c) (d) 0 , 1 8 , 2 2 , 1 2 , 03已知对任意实数，有，且时，则x()( )()( )fxf xgxg x ，0 x ( )0( )0fxg x，时（ ）0 x ab( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，cd( )0( )0fxg x，( )0( )0fxg x，4若函数在内有极小值，则（ ）bbx

45、xxf33)(3 1 , 0（a） （b） （c） （d） 10b1b0b21b5若曲线的一条切线 与直线垂直，则 的方程为（ ）4yxl480 xyla b c d430 xy450 xy430 xy430 xy6曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）xye2(2)e，294e22e2e22e7设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正( )fx( )f x( )yf x( )yfx确的是（ ） 22 / 518已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则2( )f xaxbxc( )fx(0)0fx( )0f x 的最小值为（ ）(1)(0)ffa b c d35

46、22329设在内单调递增，则是的（）2:( )eln21xp f xxxmx(0)，:5q mpq充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件10 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） )(xf（a） y ) 2() 3 () 3 () 2(0/ffff（b） ) 2() 2() 3 () 3 (0/ffff（c） ) 2() 3 () 2() 3 (0/ffff（d） o 1 2 3 4 x ) 3 () 2() 2() 3 (0/ffff二填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）11函数的单调递增区间是( )ln (0)f xxx x12已知函数在区间上的最大值

47、与最小值分别为，则3( )128f xxx 3,3,m mmm13点 p 在曲线上移动，设在点 p 处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是 323xxy14已知函数(1)若函数在总是单调函数，则的取值范围是 . 53123axxxy,a(2)若函数在上总是单调函数，则的取值范围 .), 1 a（3）若函数在区间（在区间（-3，1）上单调递减，）上单调递减，则实数的取值范围是 .a三解答题（本大题共 4 小题，共 12+12+14+14+14+14=80 分） 15用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的 23 / 51长、宽、高各为多少时

48、，其体积最大？最大体积是多少？16设函数在及时取得极值32( )2338f xxaxbxc1x 2x （1）求 a、b 的值；（2）若对于任意的，都有成立，求 c 的取值范围0 3x，2( )f xc17设函数3( )32f xxx 分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点ab、的坐标分别为11()x f x（,）、22()xf x（,），该平面上动点p满足4pa pb ,点q是点p关于直线2(4)yx的对称点，.求()求点ab、的坐标； ()求动点q的轨迹方程. 18. 已知函数32( )233.f xxx（1）求曲线在点处的切线方程；( )yf x2x （2）若关于的方程有三个

49、不同的实根，求实数的取值范围.x 0f xmm19已知raxxaaxxf14) 1(3)(23（1）当时，求函数的单调区间。1a（2）当时，讨论函数的单调增区间。ra（3）是否存在负实数负实数，使，函数有最小值3？a0 , 1x20已知函数，其中 2af xxx lng xxx0a （1）若是函数的极值点，求实数的值；1x h xf xg xa（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值12,1x xe ，e 1f x 2g xa范围【文科测试解答】一、选择题1;,42)(222xxxfxxf242)(xxf28)(2， 选(a).)(xxexexxf 21)(xxxeexexf

50、 1, 012xeexxx3.(b)数形结合4.a 由,依题意，首先要求 b0, 所以bxbxxf22333)( bxbxxf3)(由单调性分析，有极小值，由得.bx 1 , 0bx5解：与直线垂直的直线 为，即在某一点的导数为 4，而480 xyl40 xym4yx 24 / 51，所以在(1，1)处导数为 4，此点的切线为，故选 a34yx 4yx430 xy6 （d）7 （d）8 （c）9 （b）10b 设 x=2,x=3 时曲线上的点为 ab,点 a 处的切线为 at点 b 处的切线为 bq，t y b )2()3(ffabkff23)2()3( a ,)3(bqkf,)2(atkf如

51、图所示，切线 bq 的倾斜角小于直线 ab 的倾斜角小于 q切线 at 的倾斜角 o 1 2 3 4 x bqkabkatk所以选 b 11 1,e123213,432, 014. (1). 3) 3( ; 3)2( ; 1aaa三、解答题15. 解：设长方体的宽为 x（m） ，则长为 2x(m)，高为.230(m)35 . 441218， xxxh故长方体的体积为).230()(m69)35 . 4(2)(3322， xxxxxxv从而).1 (18)35 . 4(1818)(2xxxxxxv令 v（x）0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1.当 0 x1 时，v（x）0；当 1x

52、时，v（x）0，32故在 x=1 处 v（x）取得极大值，并且这个极大值就是 v（x）的最大值。从而最大体积 vv（x）912-613（m3） ，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3。 25 / 5116解：（1），2( )663fxxaxb因为函数在及取得极值，则有，( )f x1x 2x (1)0f (2)0f 即663024 1230abab，解得，3a 4b （2）由（）可知，32( )29128f xxxxc2( )618126(1)(2)fxxxxx当时，；(01)x，( )0

53、fx当时，；(12)x ，( )0fx当时，(2 3)x，( )0fx所以，当时，取得极大值，又，1x ( )f x(1)58fc(0)8fc(3)98fc则当时，的最大值为0 3x，( )f x(3)98fc因为对于任意的，有恒成立，0 3x，2( )f xc所以，298cc解得或，1c 9c 因此的取值范围为c(1)(9) ，17解: (1)令解得033)23()(23xxxxf11xx或当时, 当时, ,当时,1x0)( xf11x0)( xf1x0)( xf所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,1x1x1, 121xx4) 1 (, 0) 1(ff所以, 点 a、b 的坐标为.)

54、4 , 1 (),0 , 1(ba (2) 设，),(nmp),(yxq 4414 ,1,122nnmnmnmpbpa，所以，又 pq 的中点在上，所以21pqk21mxny)4(2xy4222mxny消去得.nm,92822yx 26 / 51另法：点 p 的轨迹方程为其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为 3 的圆；设点（0，2）, 9222 nm关于 y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点 q 的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为 3 的圆，由，2102ab得 a=8,b=-2420222ab18解（1） 2 分2( )66 ,(2)12,(2)7,fxxx ff曲线在处的切线方程为，即

55、；4 分( )yf x2x 712(2)yx12170 xy（2）记322( )233,( )666 (1)g xxxmg xxxx x令或 1. 6 分( )0,0g xx则的变化情况如下表,( ), ( )x g x g xx(,0)0(0,1)1(1,)( )g x00( )g x极大极小当有极大值有极小值. 10 分0, ( )xg x3;1, ( )mxg x2m由的简图知，当且仅当( )g x(0)0,(1)0gg即时，30,3220mmm 函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.( )g xa所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.14 分a( )yf xm( 3, 2)1

56、9 （1）或递减; 递增; （2）1、当,2,x, 2 x)(xf,2 , 2x)(xf, 0a递增;2、当递增;3、当或递增; ,2,x)(xf, 0a,2 ,2ax)(xf, 10 a,2 ,x,2ax)(xf当递增;当或递增;（3）因由分两类（依据：, 1a,x)(xf, 1a,2,ax, 2 x)(xf, 0a单调性，极小值点是否在区间-1,0上是分类“契机”：1、当 递增，解得, 2, 12aa,2 ,20 , 1ax)(xf3) 1()(min fxf, 243a2、当由单调性知：，化简得：，解得, 2, 12aa3)2()(minafxf01332 aa不合要求；综上，为所求。,

57、 26213a43a20 （1）解法解法1 1：，其定义域为， 22lnah xxxx0 ， 2212ah xxx 27 / 51是函数的极值点，即 1x h x 10h230a， 0a 3a 经检验当时，是函数的极值点，3a 1x h x 3a 解法解法2 2：，其定义域为， 22lnah xxxx0 ， 2212ah xxx令，即，整理，得 0h x22120axx2220 xxa，21 80a 的两个实根（舍去） ， 0h x2111 84ax 2211 84ax 当变化时，的变化情况如下表：x h x h xx20,x2x2,x h x0 h x极小值依题意，即，211 814a 23

58、a ， 0a 3a （2）解：解：对任意的都有成立等价于对任意的都有12,1x xe ， 1f x 2g x12,1x xe ， minf x maxg x当1，时，xe 110gxx 函数在上是增函数 lng xxx1e， max1g xg ee，且， 2221xaxaafxxx 1,xe0a 当且1，时，01axe 20 xaxafxx函数在1，上是增函数， 2af xxxe. 2min11f xfa 由，得，21a1eae又，不合题意 01aa当1时，ae 28 / 51若1，则，xa 20 xaxafxx若，则axe 20 xaxafxx函数在上是减函数，在上是增函数 2af xxx1

59、,aae，. min2f xf aa由，得，2a1ea12e又1， ae12eae当且1，时，aexe 20 xaxafxx函数在上是减函数 2af xxx1e，. 2minaf xf eee由，得，2aee1eae又，aeae综上所述，的取值范围为a1,2e数列专题数列专题例 1解答下述问题：（）已知成等差数列，求证：cba1,1,1（1）成等差数列；cbabacacb,（2）成等比数列.2,2,2bcbba解析该问题应该选择“中项”的知识解决， 29 / 51.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,.)(2)()(2)() 1 (),(222112222222成等比数列成等差数列

60、bcbbabbcabacbcbacbabacacbbcacabcaaccacabacabacbccbaacbcabacbaccabca（）设数列),1(2 , 1,2nnnnansasna且满足项和为的前（1）求证：是等差数列；na（2）若数列:满足nb62) 12(531321nnnabnbbb求证：是等比数列.nb解析（1）) 1)(1(2) 1(211nnnnansans得, 1) 1(1) 1(211nnnnnnaannaana:, 32, 32, 1, 11321用数学归纳法证明猜想得令得令naanaann1）当;, 3221, 3121,121结论正确时aan2）, 32,)2(k