概率论第4章PPT课件

1、1第4章 随机变量的数字特征习题22. 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次. 每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X). (设诸产品是否为次品是相互独立的.)解：设10件产品中的次品数为Y, 则Yb(10,0.1)A=“10件产品中的次品数多于1”2639. 0)9 . 0)(1 . 0()9 . 0(11)(911010CYPAPpXb(4, p)E(X)=4p=1.0556根据二项分布的数字特征可得：第1页/共24页26.(1)设随机变量X的分布律为0.30.30.4202Xkp求E(X),E(X2),E

2、(3X2+5)解：E(X)=-20.4+00.3+20.3=-0.222222310.400.32()( 20.32.8)kkkE Xx p 22(35)(3)5EXEX23 ()513.4E X第4章 随机变量的数字特征习题6第2页/共24页36.(2)设 ，求 .( )X 1/(1)EX 101(1)(1)!1kkeeeek,0,1 2!,kkkkepP Xk解：已知1(1)g XX令00 ()(11)!kkkkE g Xg kekpk则所求即为第4章 随机变量的数字特征习题6第3页/共24页4第4章 随机变量的数字特征习题99. (1)设随机变量(X,Y)的概率密度为. , 0, 10

3、,12),(2其他xyyyxf求E(X), E(Y), E(XY), E(X2+Y2).(2)设随机变量X,Y的联合概率密度为. , 0, 0, 0 ,1),()/(其他yxeyyxfyxy求E(X), E(Y), E(XY).第4页/共24页5第4章 随机变量的数字特征习题9(1)(1)解： X的概率密度其它其它 , 010 ,4 , 010 ,12),()(302xxxdyydyyxfxfxX544)()(104dxxdxxxfXEXY 的概率密度其它其它 , 010 ),1 (12 , 010 ,12),()(212yyyydxydxyxfyfyY53)1 (12)()(103dyyyd

4、yyyfYEY第5页/共24页6第4章 随机变量的数字特征习题9(1)2112),()(0310 xxydydxyxdyxyfdxXYE324)()(10522dxxdxxfxXEX52)1 (12)()(10422dyyydyyfyYEY15165232)()()(2222YEXEYXE第6页/共24页7第4章 随机变量的数字特征习题9(2)1)2()( ),()(20/00)/(0yxyyxyeyxyxddyyeeyxdxdyyxdxxfdyXE(2)解：1)2(1)2()( ),()(0/00)/(0yxyyxyeyxddyyeedxdyyxdxyfdyYE2)2() 3()( ),()

5、(0/020)/(0yxyyxyeyxyxdedyyedxxdyyxdxxyfdyXYE2) 3(第7页/共24页810.(1)设随机变量 ， 且 相互独立. 求(0,1)XN(0,1)YN,X Y222/()E XXY222/22001( cos )122rrerddrr解法一：22/2/2, 11( )( )2 2xyYXxeyeff由题意知X,Y各自的概率密度22()/21( )( )( , )2xyXYx fyef x yf因为相互独立，可得联合概率密度222222/()( , )xXYdxE Xdyf x yxy则所求期望可如下计算第4章 随机变量的数字特征习题10第8页/共24页9

6、10.(1)设随机变量 ， 且 相互独立. 求(0,1)XN(0,1)YN,X Y222/()E XXY解法二：222222/()/()1XYYYXE X222222/()/()XE YXYXEY因为X,Y处于等价的地位，故222222/()/()E XYXE YXY于是222/()1/ 2E XYX 2222221YXXYXY由可得第4章 随机变量的数字特征习题10第9页/共24页1010.(2)一飞机进行空投物资的作业，设目标点为原点 , 物资着陆点为(X,Y)，X，Y相互独立，且设 ，求原点到点(X,Y)间距离的数学期望. (0,0)O22(0,),(0,)XNYN222)()/(221

7、( )( )2( , )xyXYf x yfx fye2222()( , )XYdxdy xyxEfy22222()/(2)212xydxdy xy e2222/(2)3/2220011 13( )(2 )222rddrr e222222, 11( )( )2 2YxyXxfeyfe解：与(1)同理2第4章 随机变量的数字特征习题10第10页/共24页1120. 设随机变量X服从几何分布，其分布律为1(1), 1,2,kP Xkppk01p其中 是常数. 求E(X),D(X).111 (1)dpdpppp 2211()(1)kkE Xk pp11 (1) (1)kkk kk pp11()(1)

8、kkE Xkpp解：1(1)kkddppp 1111(1()1) 1)kkkkk kkpppp2221(1)(1)(2)kkpppE Xdpdpp222()() ()1D XE XE Xpp第4章 随机变量的数字特征习题20第11页/共24页12第4章 随机变量的数字特征习题2121. 设长方形的高(以m计) ，已知长方形的周长(以m计)为20，求长方形的面积A的数学期望和方差.)2 , 0(UX解：XXA)10(20)10(21)()10()(xdxxdxxxfxAE67. 8326151448)10(21)()10()(202222dxxxdxxfxxAE42.21326151448)()

9、()(222AEAEAD其他 , 020 , 2/1)(xxf第12页/共24页13第4章 随机变量的数字特征 习题2222(1). 设随机变量 相互独立，且有4321,XXXX4 , 3 , 2 , 1,5)(,)(iiXDiXEii设 。求43212132XXXXY)(),(YDYE4137)45(41)35(9)25() 15(4 )(21)(3)()(2)(4232212XDXDXDXDYD742133212 )(21)(3)()(2)(4321XEXEXEXEYE解：第13页/共24页14第4章 随机变量的数字特征 习题2222(2). 设随机变量 X,Y 相互独立，且 )30,72

10、0(2NX 。求 的分布，)25,640(2NYYXZYXZ21,2并求概率1400,YXPYXP解：因为是线性组合，故Z1,Z2仍然服从正态分布。2221165422525304)()(4)(20806407202)()(2)(YDXDZDYEXEZE15252530)()()(80640720)()()(2222YDXDZDYEXEZE)65,2080(21NZ)1525,80(2NZ第14页/共24页15第4章 随机变量的数字特征 习题22)0(1010222FZPZPYXP记Z2的分布函数为F2, 则9798. 0)05. 2()05. 2(1)1525800(1令Z3 = X+Y,

11、则同理可得)1525,1360(3NZ8461. 01)02. 1 (1)152513601400(1)1400(11400114001400333FZPZPYXP1539. 0第15页/共24页1628.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为22, 10, 1 /( , )xyf x y其他试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.( )()0E YE X221111()( ,01)xxE XYdxdyxyf x yxdxydyCov(, )()() ( )0X YE XYE X E YX,Y不相关2212112( )( , )1xXxxdyyff xdyx( )( )( , )XYx

12、fyf xfy不独立.22( )1Yyyf，2211()( ,1)0 xxE Xdxdyxf x yxdxdy解：第4章 随机变量的数字特征习题28第16页/共24页17第4章 随机变量的数字特征习题2929. 设随机变量(X,Y)的分布律为1/81/81/811/801/801/81/81/81Y101X验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.解：从联合分布律中提取出边缘分布律X=k101PX=k3/82/83/8Y=k101PY=k3/82/83/8E(X) = 0E(Y) = 0第17页/共24页18第4章 随机变量的数字特征习题29XY=k101PXY=k 2/84/82/8此外

13、还可以得到E(XY) = 0于是可得 Cov(X,Y)=E(X)E(Y)E(X)E(Y)=0故X,Y是不相关的。由联合分布律表可得 PX=1,Y=1=1/8由X的分布律表可得PX=1=3/8由Y的分布律表可得PY=1=3/8可见PX=1,Y=1PX=1PY=1故X,Y不是相互独立的。第18页/共24页1932.设随机变量(X,Y)具有概率密度1(), 02(,0280, , ) xyxyf x y其他求E(X),E(Y),Cov(X,Y), ,D(X+Y)XY( )(76)E YE X2200()14( ,()83dxdyxyf x yE XYdxdyxy xy13Cov(, )()() (

14、)6X YE XYE X E Y 220017( )()4(1)6XE Xxfx dxx xdx2011( )(1)84, )()Xff x y dyxy dxyx解：第4章 随机变量的数字特征习题32第19页/共24页2022()() ()1136D XE XE X113)6()D YD XCov(, )1/36111/3611()( )XYX YD XD Y ()()( )2Cov(, )59D XYD XD YX Y第4章 随机变量的数字特征习题3235) 1(41)()(2022022dxxxdxxfxXEX第20页/共24页21第4章 随机变量的数字特征习题33)( ,)(2221NZ)( ,)(2222NZ即)()(1ZE2221)()(ZD)()(2ZE2222)()(ZD33. 设随机变量 ， , 且设X,Y相互独立，试求 和 的相关系数(其中 是不为零的常数.),(2NXYXZ1YXZ2,),(2NY解法一：根据正态分布的性质，可知2)()( ,)()(YDXDYEXE,)()()(2222XEXDXE222)(YE同理第21页/共24页22第4章 随机变量的数字特征习题33解法一)()()(222221YXEYXYXEZZE)(2222)()(2222YEXE)()()()()()(),(22222222222121ZDZDZZCov)()()()