全等三角形全章复习讲义

1、全等三角形专题一 全等三角形基本性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1) ab与 是对应边，bc与 是对应边， ca与 是对应边；(2)a与 是对应角，abc与 是对应角，bac与 是对应角【方法总结】在两个

2、全等三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)bod ； (2)acd .【例题2】已知图2中的两个三角形全等，则度数是（ ）a.72° b.60° c.58° d.50°【例题3】如图，abcc1a1b1若，且，则 【练习1】如图，30°，则的度数为（ ）caba 20° b3

3、0° c35° d40°【练习2】如图，abd绕着点b沿顺时针方向旋转90°到ebc， 且abd90°。（1）abd和ebc是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。（2）若ab3cm,bc5cm,你能求出de的长吗？（3）直线ad和直线ce有怎样的位置关系？请说明理由专题二 全等三角形的判定 - （以图形常见类型为标准）三角形全等的判定方法1、如图：abc与def中 2、如图：abc与def中 abcdef（ sss ） abcdef（ sas ）3、如图：abc与def中 4、如图：abc与def中 abcdef（ asa ） abcdef

4、（ aas ）5、如图：rtabc与rtdef中， 90° rtabcrtdef（ hl ）【题型一】公共边类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 a b c d d c b a 注意隐含条件adad 隐含条件abba 隐含条件accaa b c d b c a dd 【例1】 在中，ab=ac,ad平分bac，求证：【针对训练】1. 已知：如图bdcd,12,求证：bc.2. 如图，已知：，. 求证：. 3. 已知：在中，m在bc上，d在am上，（如图）求证：4. 如图所示，已知，e是ac上一点. 求证：. 5. 如图，在中,m在bc上，d在am上，abac , dbdc 。求证：

5、mbmc6.【例2】如图, abcdcb, acbdbc,求证：acdb.a b c dd 【针对训练】1. 已知：（如图）. 求证：2. 如图：acbc,adbd,adbc,ceab,dfab,垂足分别是e,f，求证：cedf.c d a e f b 【例3】已知：如图，abcd，abcd求证：adbc【题型二】边加减类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 图形4 a d b e f c (1) a bb f e d c (2) a b e f d c (3) a b f e c d (4) be=cf be+ef=cf+ef bf=ce be=cf be-ef=cf-ef bf=ce be

6、=cf be+ef=cf+ef bf=ce be=cf be-ef=cf-ef bf=ce 【例4】已知点b,e,c,f在同一条直线上，abdf,acde,becf. 求证：ad.a d b e c f 【例5】如图，已知：求证：.【例6】如图，已知：.求证：（1）;(2)aedf. 【例7】已知：如图，a、c、f、d在同一直线上，afdc，abde，bcef，bcdefa求证：abcdef【针对训练】1. 已知a,b,c,d在同一条直线上，abcd，deaf，且deaf，求证：afcdeb.2. 已知b,e,f,d在同一条直线上，abcd, bd,bfde.求证：（1）aecf, (2) a

7、ecf，(3) afeced3. 已知：如图，abdc,acdb,bece.求证：aede.【题型三】公共角类型的全等三角形右图中全等的三角形有 写出他们所有的对应边与对应角 【例7】如图，ab=ac,be和cd相交于p，pb=pc,求证：pd=pe.【针对训练】1. 如图，已知：，.求证：.2、已知：如图，pmpn，mn求证：ambnaedbco123. 如图，已知：becd，bc，求证：12。4. 已知：如图，abac，bdac，ceab，垂足分别为d、e，bd、ce相交于点f，求证：becdacbdef5. 已知：如图abc中，bdac，ceab，bd、ce交于o点，且bdce求证：ob

8、oc.6. 如图，已知点d、e分别是线段ab、ac上的点，abac，adae.求证：cdebed.【题型四】对顶角类型的全等三角形图形1 图形2 【例8】如图1，已知：ab=cd，ad=cb.求证：b=d.【针对训练】已知：如图，acbd，adac，bcbd 求证：adbc；【例9】如图，两条直线ac,bd相交于o，bo=do,ao=co，直线ef过点o且分别交ab、cd于点e,f，求证：oe=ofd f c o a e b 【针对训练】1、如图4，abde，ab=de，1=2.求证：bg=df.2.如图已知：ab=cd，ad=bc，o是bd中点，过o点的直线分别交da和bc的延长线于e，f.

9、求证：ae=cf. dfcobae【题型五】旋转类型的全等三角形图形1 图形2 图形3 图形4 【例10】已知：如图(1)，ab=ad，bc=de，1=2.求证：(1)ac=ae； (2) cae=cde.【针对训练】1.如图，点e在abc的外部，点d在bc边上，de交ac于点f，若1=2 =3，ac=ae，求证：ab=ad。2.已知：如图，abad，acae，12求证：bcde【例11】已知：如图(2)，e=f=90°，b=c，ae=af，给出下列结论：1=2；be=cf；canabm；cd=dn.其中正确的结论是_.【例12】如图，已知ab=ad， b=d，1=2，证明：bc=d

10、e【针对训练】1.如图，在abe中，abae,adac,badeac, bc、de交于点o.求证：(1) abcaed； (2) oboe .2.如图，已知：，.求证：点b是线段ac的中点.【例13】已知a、c、b共线，acd和bce为等边三角形，直线bd、ae交与f，ae、cd相较于点m， bd、ae相较于点n。如图1， 求证：ae=bd 求afb的度数 求证：cm=cn 求证：mnab 求线段bf、ef、cf的关系【题型六】大山型的全等三角形【例14】已知：如图，abcd,edbd，ab=cd，bc=de，求证：acce.【针对训练】1、已知：如图，在mpn中，h是高mq和nr的交点，且m

11、qnq求证：hnpm.2已知：如图，aeab，bcab，aeab，edac 求证：edac3. 已知，如图14，在abc中，adbc，ad=bd，e是ad上一点，ed=cd，连结be并延长交ac于f， 求证：be=ac，beac.4.已知，如图7， ad为abc的高， e为ac边上一点，be交ad于f，且有bf=ac，fd=cd. 求证：（1）beac；（2）若把条件bf=ac和结论beac互换，那么这个命题成立吗？5.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （a、b、d三点共线，abcb，ebdb，abcebd90°），连接ae、cd，试确定ae与cd的位置与数量关系，并证明你

12、的结论c e b a f d 6.如图所示：在abc和dbc中，acb=dbc=,e是bc的中点，efab,垂足为f，且ab=de. （1）求证：bd=bc; （2）若bd=8cm，求ac的长.【题型七】以等腰直角三角形为背景的全等三角形【例15】如图，在abc中，acb90°，acbc，直线l经过顶点c，过a、b两点分别作l的垂线ae、bf，e、f为垂足（1）当直线l不与底边ab相交时，求证：efaebf（2）如图，将直线l绕点c顺时针旋转，使l与底边ab交于点d，请你探究直线l在如下位置时，ef、ae、bf之间的关系adbd；adbd；adbd【题型八】角的平分线的性质1如图，c

13、dab，beac，垂足分别为d，e，be，cd相交于点o，ob=oc求证1=22如图，oc是aob的平分线，p是oc上的一点，pdoa交oa于d，peob交ob于ef是oc上的另一点，连接df，ef求证df=ef3如图，在abc中，d是bc的中点，deab，dfac，垂足分别是e，f，be=cf求证：ad是abc的角平分线4如图, 在abc中, a90°, bd平分b, debc于e, 且beec, (1)求abc与c的度数；(2)求证：bc2ab. 【题型九】倍长中线与截长补短法1在abc中，ab=5，ac=3，ad为bc边的中线，则ad的长的取值范围是（ ）.a.1<<

14、;4 b.3<<5 c.2<<3 d.0<<52ad是abc中bc边上的中线，ab=4，ac=6，则ad的取值范围是 .3如图,abd和ace是abc外两个等腰直角三角形,bad=cae=900.（1）判断cd与be有怎样的数量关系;（2）探索dc与be的夹角的大小.（3）取bc的中点m，连ma，探讨ma与de的位置关系。4如图，四边形abcd中，adbc，e是cd上一点，且ae、be分别平分bad、abc. （1）求证：aebe； bcead（2）求证：e是cd的中点； （3）求证：ad+bc=ab.5如图abc中，a=500，ab>ac，d、e分别在ab、ac上，且bd=ce,bcd=cbe，be、cd相交于o点，求boc的度数.6abc中，d是bc中点，dedf，e在ab边上，f在ac边上，判断并证明be+cf与ef的大小？.7已知：如图，在abc中，a=90°，ab=ac，1=2， 求证：bc=ab+ada21cbd（分别用截长法和补短法各证一次）8已知，如图，在正方形abcd中ab=ad，bd90°（1）如果bedfef，求证：eaf45°；fa平分dfe（2）如果eaf45°，求证：bedfeffa平分dfe（3）如果点