高中数学交融于点列与不等式的求和问题

1、高中数学交融于点列与不等式的求和问题点列可以将函数、数列、解析几何，导数以及不等式等知识融为一体，综合性强，以点列为载体考查数列知识是近年高考的热点也是难点问题。以点列为背景，与前n项和有关的不等式问题包括求取值范围、证明不等式、比较大小、恒成立等问题。解决问题的通法是先将点列问题数列化，求出数列的通项公式，再考虑能否求出相关数列的前n项和。一. 先求出前n项和，再解决不等式问题若是对等差或等比数列求前n项和，可直线利用前n项和公式求解。若不是等差或等比数列，可依据项的特点灵活解决。 1. 裂项相消法求前n项和对于形如等形式的数列求前n项和，可考虑用裂项相消法。 例1. 设一次函数图象关于直线

2、y=x对称的图象为c，且，若点列在图象c上，且，求的取值范围。图1解：设。因为，所以因为点在函数图象关于直线对称的曲线c上，所以，在函数图象上，于是。（1）当n=1时，有，又知，所以2=a+b。解方程组得代入（1）式，得于是当n=1时，也满足因此数列的通项公式为所以又因为所以容易判断单调递增，当n=1时，；当，所以评注：求关键在于将项裂成形式。 2. 错位相减法求前n项和对数列求前n项和，若注意到数列分别是等差和等比数列，可考虑用错位相减法求前n项和。 例2. 已知点列，满足，点在直线上；点列，满足，点在直线上，是否存在正整数c，使不等式对于一切正整数n恒成立？若不存在，说明理由；若存在，求出

3、c的最小值。解：因为点在直线上，所以即因此数列是首项，公差为2的等差数列所以即因为点在直线上，所以所以故所以数列是首项为，公比为2的等比数列因此即所以故令则，得所以故故可化为即由于故时，对于一切正整数n恒成立又当时，这说明c=6是使不等式对于一切正整数n恒成立的最小正整数。所以使不等式对于一切正整数n恒成立的c存在，c的最小值为6。评注：求，实际上是在对数列，求前n项和。注意到数列分别是等差数列与等比数列，故可用错位相减法求出t。二. 先放缩，再求和，最后解决不等式问题若无法求出给定数列的前n项和，可先对所给数列的通项进行适当放缩，进而利用裂项相消等方法解决问题。 1. 利用不等式的性质进行放

4、缩 例3. 已知点列，满足，点在直线上，设数列的前n项和为，试比较与2的大小。解：因为点在直线上，所以即因此数列是首项，公差为2的等差数列，所以即则所以故即评注：为比较与2的大小，可考虑先求出数列，即数列的前n项和，但很难达成目的。故考虑用不等式的性质将放大为，再利用裂项相消法求出数列前n项和，从而比较出大小。 例4. 在坐标平面上有一点列，对于每个正整数n，点位于函数的图象上。以点为圆心的圆与x轴都相切，且圆与圆又彼此相外切，且。设圆的面积为，求证：。图2解：因为圆、圆与x轴都相切，且点、位于函数的图象上，所以又因为圆与圆又彼此相外切，即所以则又因为，所以只取两边同除以，得因此是首项为，公差

5、为2的等差数列，所以故数列的通项公式为因此所以当n=1时，当时，故评注：解本题的关键是利用不等式的性质将适当放大为，再将裂为，最后利用裂项相消解决问题。 例5. 已知点列顺次为曲线上的点，点列，顺次为x轴上的点，且，均为等腰直角三角形（其中，为直角顶点）。设的坐标为。设为数列的前n项和，试比较与的大小，其中，且。图3解：因为为等腰直角三角形所以直线的方程为y=x由得即，因此因为为等腰直角三角形，所以直线的方程为。由，得即因为为等腰直角三角形，所以点的横坐标与线段中点横坐标相等，即因此数列是以为首项，以为公差的等差数列，故所以数列的通项公式为。因此所以即。因此，当时，；当时，。评注：解本题的关键是利用不等式的性质将缩小为，而又可裂为，故可利用裂项相消解决问题。 2. 利用单调性进行放缩 例6. 如下图，已知点的横坐标为。从曲线c：上的点作直线平行于x轴，交直线l：于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线c于点，点的横坐标构成数列。（1）求数列的通项公式；（2）当，时，证明；（3）当a=1时，证明；图4解：（1）因为点在曲线c：上，所以因为直线平行于x轴，且交直线l：于点，所以因为直线平行于y轴，且交曲线c：于点，所以因此点的横坐标为即（2）证明：由（1）知而a=1，所以