《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》最新教研教案教学设计(统编人教A版高中必修第一册)

1、第 2 课时 一元二次不等式的应用学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的实际应用 （重 点）.2.理解三个“二次”之间的关系 .3.会解一元二次不等式中的恒成立问题 （难点）.1.通过分式不等式的解法及不等式的恒 成立问题的学习，培养数学运算素养 .2.借助一元二次不等式的应用培养数学 建模素养 .1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式axbacxxdb>0（<0）（其中 a，b，c，d 为常数 ）法一：axb>0 <0axb<0 >0或cxd>0cxd<0法二：（ax b）（cxd）> 0（< 0）ax

2、bacxxdb0(0)法一：axb0 0axb0 0或axd>0cxd<0法二：ax b cxd 0 0cxd0<k axb cxd>k k （其中 k为非零实数 ）k先移项通分转化为上述两种形式x 3x3思考 1：>0 与(x3)(x2)>0等价吗？将>0 变形为(x3)(x2)>0，x 2x2有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集为 R(或恒成立 )的条件不等式ax2 bxc>0ax2bxc<0a0b0，c>0b0，c<0a0a>0<0a<

3、0<0(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数2 y ax2 bxc若 ax2bxck 恒成立 ? ymaxk若 ax2bxck 恒成立? ymink3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1) 阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关 系(2) 设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系 ( 或表示成函数关系 ) (3) 解不等式 (或求函数最值 )(4) 回扣实际问题思考 2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示 ：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型 ，选择 其中起关键作用的未知量为 x，用 x来表示其他未知量 ，

4、根据题意 ，列出不等关 系再求解 1若集合 Ax|12x13，B x xx 20 ，则 AB等于()xAx|1x<0Bx|0<x1C x|0 x<2Dx|0x1B Ax|1x1，Bx| 0<x2，ABx|0<x1x 12不等式 x 5 的解集是 x1x1 5x 4x1x 4x1 0，x 0<x4原不等式 ? x x? x 0?解得4xx xx 0，10<x4.3不等式 x2ax4< 0的解集不是空集，则实数 a的取值范围是 a>4 或 a<4 x2ax4<0 的解集不是空集 ，即不等式 x2ax4<0 有解，a24

5、5;1×4>0，解得，a>4或 a< 4.4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300m2的内接矩形花园 （阴影部分 ），则其边长 x（单位：m）的取值范 围是 x|10x30 设矩形高为 y，由三角形相似得： 40 40 ，且 x>0，y>0， x<40，y<40，xy300，整理得 yx40，将 y40x 代入 xy300，整理得 x2x 40 y40x3000，解得 10 x30. 分式不等式的解法【例 1】 解下列不等式：x3（1）x2<0；x 1（2）2xx131.x3解 （1） <0? （x3）（x 2

6、）<0? 2<x<3， x2原不等式的解集为 x|2<x<3 x1(2)12x3x1 2x310，x42x30，x4 即 3 0.x233 此不等式等价于 (x4) x32 0 且 x320，解得 x<23或 x4，3原不等式的解集为 x x<2或 x41对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次 不等式组求解，但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分 (不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解x 15x 11解下列不等式： (1)0；(2)<3.x 3x1x1解 (1)根

7、据商的符号法则 ，不等式0 可转化成不等式组x3x1 x 3 0， x3.解这个不等式组 ，可得 x1 或 x>3.即知原不等式的解集为 x|x1或 x>35x15x1（2）不等式<3 可改写为3<0，x 1x 12 x 1即 <0.x1可将这个不等式转化成 2（x1）（x 1）<0，解得 1<x<1.所以，原不等式的解集为 x|1<x<1 一元二次不等式的应用【例 2】 国家原计划以 2 400元/吨的价格收购某种农产品 m吨按规定， 农户向国家纳税为： 每收入 100 元纳税 8 元（称作税率为 8 个百分点， 即 8%）为 了减

8、轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加 2x 个百分点试确定 x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总 收入不低于原计划的 78%.思路点拨 将文字语言转换成数学语言： “税率降低 x 个百分点”即调节 后税率为 （8x）%；“收购量能增加 2x个百分点 ”，此时总收购量为 m（12x%） 吨，“原计划的 78%”即为 2 400m×8%×78%.解 设税率调低后 “税收总收入 ”为 y 元y 2 400m（12x%）·（8 x）%2125m（x242x400）（0<x8）依题意，得 y2 400m×8%&#

9、215;78%，即 25m（x 42x 400） 2 400m× 8%× 78%，整理，得 x242x880，解得44x2.根据 x的实际意义 ，知 x的范围为 0<x2.求解一元二次不等式应用问题的步骤2某校园内有一块长为 800 m，宽为 600 m 的长方形地面，现要对该地面 进行绿化，规划四周种花卉 （花卉带的宽度相同 ），中间种草坪，若要求草坪的面 积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解 设花卉带的宽度为 x m（0<x<600），则中间草坪的长为 （8002x）m，宽12 为（6002x）m.根据题意可得 （8002x）（6002x）2&#

10、215;800× 600，整理得 x2700x 600×1000，即（x 600）（x100）0，所以 0<x100 或 x600，x600 不 符合题意 ，舍去 故所求花卉带宽度的范围为 0<x100.不等式恒成立问题 探究问题 1若函数 yax22x2对一切 xR，f（x）>0恒成立，如何求实数 a的取值范围？提示：若a0，显然 y>0不能对一切 xR都成立所以 a0，此时只有二次函数 yax22x2的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点且抛物线开口向上a> 0，1时 ，才满足题意 ，则解得 a>21.4 8a<0，x210x4&

11、lt;0.因为 x22x4<0 的解集是空集 ，所以不存在实数 x，使函数 yx22(a 2)x4 对任意 3a1，y<0 恒成立例 3】 已知 yx2ax3a，若 2x2，x2ax3a0 恒成立，2若函数 yx2ax3 对3x1 上恒有 x2ax 3<0成立，如何求 a 的范围？提示：要使 x2ax 3<0在 3 x 1上恒成立 ，则必使函数 yx2ax3在3x1上的图象在 x轴的下方 ，由 y的图象可知 ，此时 a应满足2 3 3a 3< 0，3a6<0，即 1 2a3<0，a2<0，解得 a< 2.故当 a<2 时，有 f(x)

12、<0 在 3 x 1上恒成立 3若函数 yx22(a2)x4对任意 3a1时，y<0 恒成立，如何求 x 的取值范围？提示：由于本题中已知 a 的取值范围求 x，所以我们可以把函数 f(x)转化为关于自变量是 a 的函数，求参数 x 的取值问题 ，则令 y2x·ax24x4.要使对任意 3a1，y<0 恒成立，只需满足2 2xx24x4<03 × 2xx2 4x4<0，2x22x4<0，求 a 的取值范围思路点拨 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问 题，可以利用函数的图象与性质求解 解 设函数 yx1(变结论 )本例条件

13、不变，若 yx2 ax3a2 恒成立，求 a 的取值范 围解 若2x2，x2ax3a2 恒成立可转化为：当 2 x2 时 ，ymin2a22，?2 ymin 2 22a3 a 7 3a2， a 2 a a 2 a·2 3a3a 4 2，ax3a 在 2x2 时的最小值为关于 a 的一次函数 ，设为 g(a)，则a(1)当对称轴 x22，即 a4时，g(a)(2)2(2)a3a73a0， 解得 a73，与 a4 矛盾，不符合题意 aa2(2)当222，即4a4 时，g(a)3a 40，解得 6a2， 此时 4a2.(3)当2a2，即a4时，g(a)222a3a7a0，解得 a7，此 时

14、 7a 4.2 或ymin综上，a 的取值范围为 7a2.或 ymin222a 3a7a2，解得 a 的取值范围为 5x22 2.2（变条件 ）将例题中的条件“ yx2ax 3 a，2x 2，y0 恒成立” 变为“不等式 x22xa23>0 的解集为 R”，求 a 的取值范围解 法一： 不等式 x22xa23>0 的解集为 R，函数 yx22xa23 的图象应在 x 轴上方 ，44（a23）<0，解得 a>2 或 a< 2.法二：令 yx22xa23，要使 x22xa23>0的解集为 R，则 a 满足ymin a24>0，解得 a>2 或 a&l

15、t;2.法三： 由 x 2xa 3>0，得 a >x 2x 3，即 a2>（x1）24，要使该不等式在 R 上恒成立 ，必须使 a2大于 （x1）24 的最大值 ，即 a2>4，故 a>2 或 a<2.1不等式 ax2bx c>0 的解是全体实数 （或恒成立 ）的条件是：当 a0 时， b0，c>0；当 a0 时，a>0， <0.142不等式 ax2bx c<0 的解是全体实数 （或恒成立 ）的条件是：当 a0 时，b0，c<0；当 a0 时，a<0， <0.3解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数一般地，

16、知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数1解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式 (组)求解当不等式含有等号时，分母不为零2对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参 数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然，这必须以参 数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若 f(x)有最大值 f(x)max，则 a>f(x)恒成立? a>f(x)max；(2)若 f(x)有最小值 f(x)min， 则 a<f(x)恒成立 ? a<f(x)min.3在某集合 A 中恒成立问题设 y ax2

17、 bx c(a 0)若 ax2bxc>0在集合 A中恒成立，则集合 A 是不等式 ax2bxc>0 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的取值(范围 ).1思考辨析1(1)不等式 x>1的解集为 x<1.()(2)求解 m>ax2bxc(a< 0)恒成立时，可转化为求解 yax2bx c 的最小 值，从而求出 m 的范围 ( )1 1x 1提示 (1)x>1? x1>0? x <0? x|0<x<1故(1)错(2)m>ax2bx c(a< 0)恒成立转化为 m>ymax，故(2)错答案 (1)× (2)×2x1 x 2 2 x32不等式x4>0 的解集为 x|4<x<3或 x>1 原式可转化为 (x1)(x2)2(x3)(x4)>0，根据数轴穿根法 ，解集为 4<x<3或 x>1.3对于任意实数 x，不等式 (a2)x22(a2)x4<0 恒成立，则实数 a 的 取值范围是 2<a2 当 a20，即 a2时，4<0 恒成立；当 a20，即 a2 时，则有a2<0， 2 a2 2 4× a2 × 4 < 0，解