第九章拉氏变换经典实用

1、第九章第九章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换9.1 9.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念9.2 9.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质9.3 9.3 拉氏逆变换拉氏逆变换9.4 9.4 拉氏变换的应用拉氏变换的应用 )()()()(0)( dtetftuetfftfltjwt 引引 言言fourier变换的限制变换的限制:绝对可积绝对可积在整个数轴上有定义在整个数轴上有定义指数衰减函数指数衰减函数e t ( 00)单位阶跃函数单位阶跃函数u(t)演变为拉氏变换演变为拉氏变换双边拉氏变换双边拉氏变换: )()()( dtetftfltjw 傅氏变换傅氏变换: )()( dtetftfljwt傅氏

2、变换与拉氏变换的关系0)(0 tft当当0 )()()()( jsetutfftflt tjs 双边拉氏变换双边拉氏变换 tjs 傅氏变换傅氏变换 tjs0 单边拉氏变换单边拉氏变换9.1 9.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念一、拉氏变换的定义一、拉氏变换的定义 设函数设函数f(t)当当t0时有定义，而且积分时有定义，而且积分 0)(dtetfst在在s的某一域内收敛的某一域内收敛(s是一个复参量是一个复参量) ，则由此积，则由此积分决定的函数可写为分决定的函数可写为 0)()(dtetfsfst称称f(s)为为f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换(简称拉氏变换简称拉氏变换)或象或象函

3、数，记为函数，记为f(s)=lf(t).又称又称 f(t)为为f(s)的拉普拉斯逆变换的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆简称为拉氏逆变换变换)或象原函数，即或象原函数，即f(t)=l 1f(s)解解: 由拉氏变换的定义有由拉氏变换的定义有 0d1)(tetulstsesst101 0d1)sgn(tetlsts1 0d11telsts1 例例1 分别求出单位阶跃函数分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数符号函数sgnt,以以 及及f(t)=1的拉氏变换的拉氏变换(res 0)(res 0)(res 0)例例2 求出指数函数求出指数函数f (t) = e kt 的拉氏变换的拉氏变换解解: 0)(0d

4、d)(teteetfltksstktks 1(res rek)例例3 求正弦函数求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数为实数)的的laplace变换变换解解: 根据定义有根据定义有 0sin)(sindtktektlst 022)cossin(ktkktsksest0re(s) 22 ksk同理可得同理可得0re(s) cos22 kssktl二、拉氏变换的存在定理二、拉氏变换的存在定理拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理: : 设函数设函数f (t)满足下列条件：满足下列条件：2 2f (t)在在t0的任一有限区间上分段连续，间断点的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间

5、断点；的个数是有限个，且都是第一类间断点；3 3f (t)是指数级函数是指数级函数(增长速度不超过指数函数增长速度不超过指数函数)1 1当当t0时，时，f (t)=0；则则f (t)的拉氏变换的拉氏变换 0)()(dtetfsfst在半平面在半平面re(s)c 一定存在，一定存在，f(s)是解析函数。是解析函数。即存在常数即存在常数m 0及及c 0使使| f(t)|mect (0t (res re ) 0)(0)(tsttsese ss四、常用函数的拉氏变换公式四、常用函数的拉氏变换公式 )0)(re(,1)()1( sstul )(re(1)()3( stld d )0)(re(,cos)5

6、(22 skssktl )0)(re(,sin )4(22 skskktl)re()(re(,1 )2(kskselkt (1) 线性性质线性性质)()(),()(sgtglsftfl 且且有有设设a a、 为常数为常数, , ).()()()(2121sfsftftfl 则有则有9.2 9.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质例例1: 求常数求常数a的的laplace变换变换. 0dtaest 0dteastsa/ 例例2: 求函数求函数f(t)=a(1 e a at)的的laplace变换变换. 0)1()(dteeatflstta a解解: 0)()(dtetftflst解解:)11(a a

7、 ssa 00dteaedtaesttsta a 00dteaedtaesttsta a例例3 求正弦函数求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数为实数)的的laplace变换变换1121jksjksj 22ksk dteeejstjktjkt 0)(21 0sin)(dtktetflst解解:例例4 求余弦函数求余弦函数f(t)=coskt(k为实数为实数)的的laplace变换变换dteeestjktjkt 0)(21(2) 相似性质相似性质(a为正实数为正实数) asfaatfl1设设lf(t)=f(s), 则当则当a为正实数时为正实数时 0d)()(teatfatflst证明：证明：

8、0cos)(dtktetflst解解:1121jksjks 22kss ，令令at 0d)()(aefatflas 0d)(1 asefa asfa1(3)微分性质微分性质 推论：推论： )(tfln )0()0()(21fsfssfsnnn ),0()1( nf)0()()(fssftfl 设设lf(t)=f(s), 则有则有证明：证明： tetsfetftetfstststd)()(d000 )0()(fssf sin1022wtwswsw 22wss 例例5 求函数求函数 f(t)=coswt 的拉氏变换的拉氏变换例例6 求函数求函数 f(t) = t m 的拉氏变换的拉氏变换解解: 由

9、于由于0)0()0()0(1 mfff!)(mtfm 而而故故)()( !tflstflmlmm 根据线性性质有根据线性性质有smlmml!1 ! ! )(sin1costwdtdwltwl 解解:故故1! msmtlm( (4)4)象函数微分性质象函数微分性质 一般地，有一般地，有 ,)1(sfdsdtftlnnnn )1(dd)(sstltfl 21s 例例7 求函数求函数 f(t) = t 的拉氏变换的拉氏变换解解: 由于由于sl1)1( 故故例例8 求函数求函数 f(t) = te at 的拉氏变换的拉氏变换 )()(sfdsdttfl 设设lf(t)=f(s), 则则2)(1as (

10、5)(5)积分性质积分性质 )1(dd)(assteltflat 解解: 由于由于aselat 1)(故故例例9 求函数求函数 f(t) = tsinkt 的拉氏变换的拉氏变换222)(2ksks )(ddsin)(22kskskttltfl 解解: 由于由于22)(sinkskktl 故故 sfsdttflt10 设设lf(t)=f(s), 则则0)0()()( gtftg且且则则)(1d)(0sfsttflt 即即推论推论: : .1000sfsdttfdtdtlnnttt 次次证明：证明：,d)()(0ttftgt 设设),0()()(gtgsltgl 由由微微分分性性质质有有例例10

11、求函数求函数 的拉氏变换的拉氏变换 ttdtttf02sin)(2sin)()(0 ttdttltflsf解解: 由拉氏变换积分性质有由拉氏变换积分性质有2sin1ttls 422sin2 stl由由于于由微分性质有由微分性质有222)4(4422sin sssttl22)4(4)( stfl故故( (6)6)象函数积分性质象函数积分性质 若若lf(t)=f(s)，则，则 sdssftftl1 0)()(dtetfsfst证明：证明：两边对两边对s s积分：积分： sstsstetfssfdd)(d)(0交换积分次序交换积分次序: :tsetfistsdd)(0 tettfstsd1)(0 t

12、ettftsd)(0 次次nsssndssfdsdstftl 1推论推论:例例11 求函数求函数 f(t) = sint / t 的拉氏变换的拉氏变换dssttltfls 11sin)(2解解: 由于由于11)(sin2 stl则由象函数积分性质有则由象函数积分性质有= arccots)(ttfl sarcdtettstcotsin0 即即令令s = 0得得2sin0 dttt(7) 延迟性质延迟性质 若若t 0, b0, 求单位阶跃函数求单位阶跃函数1, t b/a,0, t tjwsdsesfjtfjjst 积分路线是平行于虚轴的直线积分路线是平行于虚轴的直线res=反演积分公式反演积分公

13、式dsesfjtutfstjj )(21)()(一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (组组) )2.4 2.4 拉氏变换的应用拉氏变换的应用象原函数象原函数 (方程的解方程的解) 象函数象函数 微分方程微分方程象函数的代象函数的代数方程数方程取取laplace变换变换取取laplace逆变换逆变换解代数方程解代数方程例例19 求解微分方程求解微分方程0)0()0(,cos2)(2)(2)( xxtetxtxtxt解解: 设设lx(t)=x(s), 方程两边取拉氏变换方程两边取拉氏变换,1)1()1(2)(2)(2)(22 sssxssxsxs,1)1()1(2)(22 sssx解此方程得解此方程得:求拉氏逆变换得求拉氏逆变换得: 1)1()1(2)()(2211 sslsxltx)11(21 slet1121 sltetttetsin )1(2)(221 ssletxt解解:,11)()( ssysx解此方程组得解此方程组得:取拉氏逆变换得取拉氏逆变换得 x(t) = y(t) = et例例20 求解微分方程组求解微分方程组,)()()(tetytxtx . 1)0()0( yx,2)(2)(3)(tety