3.3.2简单的线性规划问题第一课时利用简单的.

1、课前预习巧设计N0.1课堂强花%考点一 喇考点二 J5不等式3.3.281一占翥視S3删简单的线性规划问题不等式返回3. 3. 2简单的线，1生规戈!J问题3. 3. 2简单的线，1生规戈!J问题第一课时利用简单的线性规划求最值J-1自学自治彫战初儿认加 抓宇只出忖封口如卄曰读教材墳要点线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量心y的不等式（组）线性约束条件由X, y的一次不等式组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量小丁的函 数解析式名称意义线性目标 函数关于 4 丿的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（斗y y）可行域所有可行解组成的集合名称最优解使目标函数取得最大值或最小

2、值 的可行解线性规划问题在线性约束_条件下求线性目标函数的最大 值或最小值问题小问题大思维1.在线性约束条件下，最优解唯一吗?提示：最优解可能有无数多个，直线$ +巧=0与可 行域中的某条边界直线平行时求目标函z=ax+hy+cz=ax+hy+c的最值，最优解就可能有无数多个.2.将目标函数的直线平移时，应注意什么？提示：在平移过程中，要特别注意可行域各边的斜 率与目标函数直线的斜率的大小关系，以便准确判 断最优解的位置.3 在线性目标函数Z=x+y中，目标函数Z的最大、最小值与截距的对应关系是怎样的？提示：Z的最大值对应截距的最大值，Z的最小值对应截距的最小值.4.在线性目标函数:=工一中，

3、目标函数z的最大、最小值与截距的对应关系又是怎样的？ 提示：Z的最大值对应截距的最小值，Z的最小值对应 截距的最大值.返回）科一铠xN 3,例1设小y满足约束条件叮二；虫12,求目.4r+3y W36,标函数z=2x+3j的最小值与最大值.考点-求线性目标函数的最勺B问题自主解答作出可行域如图: 令z=U,作直线人2x+3j = 0,当把直线/向下平移时，所对应的z=2r+3y的函数值 随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B时，z=2x+3j取得最小值.从图中可以看出，顶点是直线X=3与直绳=一4的交点，其坐标为（一3, -4）；当把/向上平移时，所对应的2 =2x+3y2x+3y的函数值随之

4、增大，所以直线经过可行域的顶点D时，z=2x+3yz=2x+3y取得最大值.顶点、I)I)是直线- 4K+ 3, = 12与直线4x + 3y = 36的交点,-4x + 3y - 12解方程组仁 X 尢,得D(3,8) (4x(4x+ 3_y 36此时，顶点(-3, -4)与顶点0(3,8)为最优解，所以,Zmin-2X(-3) + 3X(-4) -18；Zmax-2X3 + 3X8-30.悟一法一般地，设目标函数为z=x+妙+c,当0时，把直线厶ax+hy=0ax+hy=0向上平移， 所对应的Z随之增大； 把/向 下平移时，所对应的乙随之减小.当V。时，结论相反.fxj + 20,、y满足

5、约束条件x-5j+100 x+j-80,B. 3, 11D.D.113x x- V + 2-0,由.k+y-8 = 0,由z - 3x - 4y艮卩y数z=3xz=3x4y4y的最大值和最小值分别为,则目标函A. 3, 11C. 11, 3解析：作出可行域如图.作出直线平移得最优解M(3,5), N(5,3).所以当X = 3,y y = = 5 5时，zmll)= - 11；当X =5, )=3时,Zmax = 3 答案：A【科一4L1兀一丿+2工0,例2已知尤+丿一4M0,求:2xy5W0,(1)Z=X2+J2-10J+ 25 的最小值;考点二求非线性口标函数的最1(2)Z=：的取值范围自

6、主解答作出可行域如图，并求 出顶点的坐标A(l,3)、(3, 1). C(7,9) (l)Z-x2+ (y-5)2表示可行域内任一点(x,/到定点M(0.5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC*上，故z的最小值MNMN2 2J - ( (2)z - 2丁7?7) )表示可行域内任点，丿)与定点。(-1731,-刃连线的斜率的两倍，且k kQAQA- - k kQnQn- g,所以z的取值范围为石，务返回力”-4二0.Z八/ V*-卅2二0/2x-y-5-0若目标函数为形如Z=H，可考虑( (4,小与仗，刃两 点连线的斜率.(2)若目标函数为形如z=(xa)2+(yZ)2,

7、可考虑(x,y)y)与(，力)两点距离的平方.【直一类IX2y + 7M0,4x3y 12W0,x+2y3M0,求Z=xZ=x2 2+y+y2 2的最大值.代入得Zma% P+長81 + 64 145.解：作出直线x引+7=0,4兀一3一12=(kx+2y3=0,根据不等式组确定 可行域如图阴影部分.把Z=0+y2看作点仗，y倒原点(0,0)的-12 0距离的平方.由图象可知可行域内的人点到原点( (0,0) )的距离最大，A点为直线x-2y + 7=o与4x切一12=0的交点.解方程组x - 2y + 7 - 0,AxAx-3y - 12 - 0,得到A A点的坐标为8),力-2尸7 0兀+

8、2y-3二0考 点 三已知目标函数的最值求参数例3已知变SxSx9 9y y满足约束条件02,若 目标函数z=ax+yz=ax+y（其中a0）仅在点（3,1）处取得最大值，求a的取值范围.I自主解答 由约束条件画岀可行域 （如图所示） 为矩 形4BCD（包括边界）.点C的坐标为(3,1), z最大即直线J = or+8在y轴上 的截距最大，. . akakCD9CD9艮卩aa 1 即4的取值范围为(1, +O0) ).在例3的条件下，若目标函数:=or+y(a0)取得最大值的点有无数个，求的取值范围.解：如例3中的图，若目标函=ax+y(a0)=ax+y(a0)取得最大值 的点有无数个，则必有

9、直线z=or+y与直线x+y=4平行, 此时4= 1 悟一法已知目标函数的最值求参数，这是线性规划的逆向思维问题.解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般 在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解.同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.返回3 （2011-湖可高WT）设04,在约束条件下，目x+ylx+yl标函数Z=*+5y的最大值为4,则m m的值为_解：画出可行域如图，可知z -x + 5j在点A（討万，拧万） 取最大值为4,解得m m = =3.I解鬲手I炒解迁1 4巧卅艮索 杯的过巾节祈刊时M心足卅5 !设实数X, y满足不等式组lWx+y W4,b + 2Ml

10、2x31 (1)画出点(x, y)所在平面区域；设aa l l9 9在(1)所求的区域内，求函数Z=yor的最大值和最小值.点(x,刃所在平面区域如图.错解lWx+yW4,L + 2MI2X-3Iflx +yW4,V + 2M2x - 3,2X-3M0IlWx +y W4, y+2M3-2r,2x2x-3v0 目标函数Z=yor,即y=ax+zy=ax+z知求Z的最值转化为y=ax+zy=ax+z截距的最值.分析知：当/过C点时，j=or+z截距最大.又C（一3,7）, Zimw=7+3同理当Z过4(2, 1)时,亦=_1_加错因这位同学所作平面区域完全正确.遗憾的是 在求目标函数的最小值时由于分析不彻底导致结果有误， 这种参数与斜率有关的问题，求解时可先作出线性约束条 件所表示的平面区域，充分利用斜率的特征加以转化，一 般情况下需分类讨论，如本题中可将条件4一1分为一1S2和“2两种情况分别求目标函数的最小值，经讨论求解的结果才是完美的答案.正解(1)已知的不等式组等W4,价于+ 2M2x-3,2r-3011W* +y W4,y + 23-2r,2x-3-1,.当直线/过顶点C时,Z最大，TC