北京市西城区北区高一数学下学期期末考试试题北师大版

1、北京市西城区（北区）20122013学年下学期高一期末考试数学试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1. 在数列中，且，则等于（ ）（a）8 （b）6 （c）9 （d）72. 将一根长为3m的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1m的概率是（ ）（a） （b） （c） （d）3. 在abc中，若，则abc的形状是（ ）（a）锐角三角形 （b）直角三角形 （c）钝角三角形 （d）不能确定4. 若，则下列不等式中成立的是（ ）（a） （b） （c） （d）5. 若实数x，y满足则的最小值是（ ）

2、（a） （b）0 （c）1 （d）16. 执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）（a）2（b）（c）3（d）7. 已知100件产品中有5件次品，从中任意取出3件产品，设a表示事件“3件产品全不是次品”，b表示事件“3件产品全是次品”，c表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（ ）（a）b与c互斥 （b）a与c互斥（c）任意两个事件均互斥 （d）任意两个事件均不互斥8. 口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次。则“两次取球中有3号球”的概率为（ ）（a） （b） （c） （d）9. 设o为坐标原点，点a（4，3

3、），b是x正半轴上一点，则oab中的最大值为（ ）（a） （b） （c） （d）10. 对于项数为m的数列和，记bk为中的最小值。给出下列判断：若数列的前5项是5，5，3，3，1，则；若数列是递减数列，则数列也一定是递减数列；数列可能是先减后增数列；若，c为常数，则。其中，正确判断的序号是（ ）（a） （b） （c） （d）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。11. 不等式的解集为_。12. 在abc中，则a=_。13. 某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表。已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。则x=_；现

4、用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为_。一班二班三班女生人数20xy男生人数2020z14. 甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图。已知甲、乙二人得分的平均数相等，则m=_；乙得分的方差等于_。15. 设是等差数列，sn为其前n项的和。若，则_；当sn取得最小值时，n=_。16. 当x1，9时，不等式恒成立，则k的取值范围是_。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本小题满分13分）在等比数列中，。（）求数列的通项公式；（）设是等差数列，且b2 =a2，b4=a4。求数列的公差

5、，并计算的值。18. （本小题满分13分）某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 85 75 71 49 45（）完成下面的频率分布表；（）完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a的值；（）在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间101，111）内的概率。分组频数频率41，51）251，61）361，71）471，81）681，91）91，101）101，111）219.

6、（本小题满分13分）在abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对的边，已知c=3，。（）若sinb=2sina，求a，b的值；（）求a2+b2的最大值。20. （本小题满分14分）已知函数。（）当a=1时，求在区间1，2上的值域；（）若函数在区间上是减函数，求a的取值范围；（）解关于x的不等式。21. （本小题满分14分）设数列的前n项和为sn，且。（）求数列的通项公式；（）设数列。（i）求数列的前n项和tn；（ii）求bn的最大值。22. （本小题满分13分）对于数列a：a1，a2，a3（ain，i=1，2，3），定义“t变换”：t将数列a变换成数列b：b1，b2，b3，其中，且。这种“t变

7、换”记作b=t（a），继续对数列b进行“t变换”，得到数列c：cl，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束。（）写出数列a：2，6，4经过5次“t变换”后得到的数列；（）若a1，a2，a3不全相等，判断数列a：a1，a2，a3经过不断的“t变换”是否会结束，并说明理由；（）设数列a：400，2，403经过k次“t变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值。【试题答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。1. d 2. b 3. c 4. c 5. a 6. d 7. b 8. a 9. b 10. b二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，11. 12

8、. 13. 24 914. 6，8.4 15. 11，6 16. 注：一题两空的试题，第一空2分，第二空3分：三、解答题：本大题共3小题，共36分，17. 解：（）设等比数列的公比为q，由已知， 2分两式相除，得q=2。 4分所以a1=2， 6分所以数列的通项公式。 7分（）设等差数列的公差为d，则 9分解得11分12分13分18. 解：（）如下图所示。 4分（）如下图所示。6分由己知，空气质量指数在区间71，81）的频率为，所以a= 0.02。8分分组频数频率81，91）1091，101）3（）设a表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数

9、在区间101，111）内”，由己知，质量指数在区间91，101）内的有3天，记这三天分别为a，b，c，质量指数在区间101，111）内的有2天，记这两天分别为d，e，则选取的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。基本事件数为10。10分事件“至少有一天空气质量指数在区间101，111）内”的可能结果为：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。基本事件数为7， 12分所以 13分19. 解：（）因为sin b=2sina，由正弦定理可得b=2a，3分由余弦

10、定理c2= a2 +b2 2abcosc， 5分得9=a2 +4a2 2a2， 7分解得a2=3， 8分所以 9分（）由余弦定理c2= a2 +b2 2abcosc，得ab=a2+b29，10分又a2 +b22ab， 11分所以a2+b218，当且仅当a=b时，等号成立。 12分所以a2+b2的最大值为18。 13分20. 解：（）当a=l时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增所以，在区间上的最小值为2分又。所以在区间上的最大值为3分在区间上的值域为4分（）当a=0时，在区间上是减函数，符合题意5分当时，若函数在区间上是减函数，则，且， 7分所以1a<0， 9分所以a的取值范围是1，

11、0（）由已知，解不等式。当a=0时，x>1。 10分当a>0时，解得 11分当a<0时，若，即时，； 12分若，即时，或 13分若，即时，或 14分综上，当a>0时，不等式的解集为;当a=0时，不等式的解集为；当1<a<0时，不等式的解集为;当a =1时，不等式的解集为当a<1时，不等式的解集为21. 解：（）由已知，当n=1时，。1分当时， 2分 3分综上， 4分（）（i）所以5分 6分两式相减，得8分所以 10分（ii）因为11分令，得 12分所以，且，即最大， 13分又。所以，的最大值为 14分22. 解：（）依题意，5次变换后得到的数列依次为4

12、，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，23分所以，数列a：2，6，4经过5次“t变换”后得到的数列为2，0，2，4分（）数列a经过不断的“t变换”不可能结束设数列d：d1，d2，d3，e：e1，e2，e3，f：o，0，0，且t（d）=e，t（e）=f依题意，所以即非零常数列才能通过“t变换”结束。6分设（e为非零自然数）。为变换得到数列e的前两项，数列d只有四种可能而任何一种可能中，数列e的笫三项是o或2e。即不存在数列d，使得其经过“t变换”成为非零常数列。8分由得，数列a经过不断的“t变换”不可能结束。（）数列a经过一次“t变换”后得到数列b：398，401，3，其结构为a，a+3，3。数列b经过6次“t变换”得到的数列分别为：3，a，a3；a3，3，a6：a6，a9，3;3，a12，a9;a15，3，a12;a18，a15，3。所以，经过6次“t变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18。 10分因为398 =18×