1随机事件与事件间的关系与运算

1、1.1 1.1 随机事件与事随机事件与事件间的关系与运算件间的关系与运算退 出目 录前一页后一页一一 随随 机机 事件事件二二 事件间的关系与运算事件间的关系与运算简称试验，是指对事物的某一特征的观察过程。简称试验，是指对事物的某一特征的观察过程。特点：特点： (1)可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行 (2)每次试验结果有多种可能，所有的可每次试验结果有多种可能，所有的可 能能结果是事先知道的结果是事先知道的 。 （3）每次试验只能出现其中的某一种结果，）每次试验只能出现其中的某一种结果，在试验之前不能断定究竟出现哪种结果。在试验之前不能断定究竟出现哪种结果。1随随 机机 试

2、试 验验1）随机试验e1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面h（head）、）、反面反面t（tail）出现的情况。）出现的情况。e3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 e2：抛一颗骰子，观察出现的点数。：抛一颗骰子，观察出现的点数。退 出前一页后一页目 录e4：观察某批电子元件的寿命。：观察某批电子元件的寿命。(1)事件事件： 试验的结果试验的结果(2)随机事件随机事件 : 在试验中可能发生也可能不发生的事件。可在试验中可能发生也可能不发生的事件。可用用 a, b, c 等字母表示。等字母表示。例例 (i) 抛一枚硬币，观察正面出现正面还是反面

3、，可用抛一枚硬币，观察正面出现正面还是反面，可用h表表示正面（示正面（head），），t表示出现反面表示出现反面（tail）(ii)抛一颗骰子，观察出现的点数。可以用抛一颗骰子，观察出现的点数。可以用ei表示出现表示出现i点点(i=1，2，3，4，5，6）(3)基本事件基本事件 :不能分解成其他事件组合的最简单的事件。不能分解成其他事件组合的最简单的事件。2) 随随 机机 事事 件件退 出前一页后一页目 录例：例：抛一颗骰子，观察出现的点数。若用抛一颗骰子，观察出现的点数。若用ei (i=1，2，3，4，5，6）表示出现）表示出现i点，用点，用a表示出现偶数点，表示出现偶数点，b表示奇数点。则

4、表示奇数点。则 a与与b都不是基本事件，而都不是基本事件，而ei 是基本事件。这是因为是基本事件。这是因为a=e2 ue4 ue6， b=e1 ue3 ue5。（4）必然事件必然事件 :在试验中一定发生的事件，记为在试验中一定发生的事件，记为s 。（。（5）不可能事件不可能事件 :在试验中不可能发生的事件，记为在试验中不可能发生的事件，记为。例：例：抛一颗骰子，观察出现的点数。若抛一颗骰子，观察出现的点数。若a=“出现的点数小于出现的点数小于7”，b =“出现的点数大于出现的点数大于7” ，则，则 a是必然事件，而是必然事件，而b不可能事件。不可能事件。3) 样本空间样本空间(space)（1

5、）样本空间：）样本空间：试验试验 e 的每一个基本事件称为一个的每一个基本事件称为一个样本样本点点，所有样本点的集合称为，所有样本点的集合称为 e 的的样本空间样本空间， 记为记为 s 。注注:（i）我们称一个我们称一个事件发生事件发生当且仅当当且仅当至少有一个至少有一个它所它所包含的一个样本点包含的一个样本点在试验中在试验中出现。出现。（iiii）样本空间）样本空间s s是所有基本事件的集合，样本空间可是所有基本事件的集合，样本空间可视为必然事件。视为必然事件。（2)2)空集空集：不包含任何样本点的集合，记为：不包含任何样本点的集合，记为。注注:空集空集可视为不可能事件。可视为不可能事件。退

6、 出前一页后一页目 录例例 （1 1）e e1 1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面h h（headhead）、反面）、反面t t（tailtail）出现的情况。则）出现的情况。则e e1 1 的样本空间的样本空间 ： s1 = h , t （2 2）e e2 2：抛一颗骰子，观察出现的点数。若：抛一颗骰子，观察出现的点数。若 ei=“出现出现i i点点”，(i=1，2，3，4，5，6）表示。则表示。则 e2 的的 样本空间样本空间 ： s2 =e1, e2, e3, e4, e5, e6 （3 3）e e3 3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。若：观察某一时间段通过某一路口的车

7、辆数。若用用n n表示车辆数。表示车辆数。 则则e e3 3的的 样本空间样本空间 ： s3 = n|n= n|n为非负整数为非负整数 （4）e4：观察某一电子元件的寿命。：观察某一电子元件的寿命。1）要求：会写出随机试验的）要求：会写出随机试验的 样本空间。样本空间。2）注意到概率论中的样本点、样本空间、空集的概）注意到概率论中的样本点、样本空间、空集的概念与集合论中的元素、全集、空集的概念是分别对应念与集合论中的元素、全集、空集的概念是分别对应的。的。 思考一下，这种对应关系对于学习概率论具有什么思考一下，这种对应关系对于学习概率论具有什么好处？好处？ 则则e4的的 样本空间样本空间s4

8、= t | t 0 1) 包含关系包含关系 二二 、 事件间的关系与运算事件间的关系与运算sab如果事件如果事件a发生必导致事件发生必导致事件b发生，则称发生，则称b包含包含a，或者说，或者说a是是b的子事件。记为：的子事件。记为：abba 或.,abbaba 且且2）相等关系）相等关系 退 出前一页后一页目 录例：若例：若a=“老王能活到老王能活到85岁岁”，b=“老王能活老王能活到到80岁岁”，则，则a b （填（填 ） 或例：若例：若a=“不大于不大于7的整数的整数”，b=“小于或者等于小于或者等于7的整数的整数”，则，则a=b。sab3) 和（并）事件和（并）事件 ：“事件事件a与与b

9、至少有一个发生至少有一个发生”，称为称为a与与b的和事件，记为的和事件，记为abab或者1,211,2,.nininaa aaa aa注 ：表 示的 和 事 件 ，即中 至 少 发 生 一 个 发 生退 出前一页后一页目 录例：某产品分为一，二，三，例：某产品分为一，二，三，四等品，其中一、二等品为合四等品，其中一、二等品为合格品，三、四等品为不合格品。格品，三、四等品为不合格品。若若ai=“i 等品等品” (i=1，2，3 ,4）; b=“合格品合格品”，c=“不合格品不合格品”，则则: b= a1+ a2 ， c= a3+ a4 4) 积（交）事件积（交）事件: “事件事件a与与b同时发生

10、同时发生”，称为，称为a与与b的的乘积（交）事件，记为乘积（交）事件，记为ab ，或，或ab，或者，或者 。sab退 出前一页后一页目 录ba例：某圆柱产品的直径与长度同例：某圆柱产品的直径与长度同时合格才算是合格品。时合格才算是合格品。 若若a=“直径合格直径合格” ， b=“长度长度合格合格” c=“合格品合格品” 。则。则:c=a b注：注： abaabb ba退 出前一页后一页目 录ba 5) 差事件：差事件：“ a 发生同时发生同时 b 不发不发生生”，称为，称为a与与b的差事件，记为的差事件，记为 a-b。sabbaasba ab退 出前一页后一页目 录性质：性质：a-b=a-ab

11、6) 互不相容（互斥）：若互不相容（互斥）：若a和和b不能够同时发生，不能够同时发生，即即，则称，则称a和和b互不相容。互不相容。basba退 出前一页后一页目 录注：同一个样本空间中的任意两个基本事件一定互不注：同一个样本空间中的任意两个基本事件一定互不相容的。相容的。7) 相互对立（互逆、互补）：相互对立（互逆、互补）： s,a ba b 若且saab 逆运算的性质：逆运算的性质：请注意互不相容与对立事件的区别：请注意互不相容与对立事件的区别：则称则称a和和b相互对立相互对立（互逆、互（互逆、互补），补），b叫做叫做a的逆（补）事件，的逆（补）事件，记做：记做： 同样，同样，。即 ,baa

12、。 ab (1) , s. as-a. (2) a, (3)a-babaaaaa 相互对立互不相容相互对立互不相容3样本空间样本空间的的一个划分一个划分定义：定义：若若 两两互斥，且两两互斥，且 ，则称则称 构样本空间构样本空间s的一个划分，或者的一个划分，或者说说 构成构成s的一个的一个互斥事件的完备互斥事件的完备组。组。注：注：样本空间样本空间s中中所有的基本事件所有的基本事件一定可以构成一个一定可以构成一个s 的一个划分。的一个划分。12snaaanaaa,21naaa,21naaa,21四四 事件间的运算法则事件间的运算法则1 1）幂等律）幂等律: :aaaaaa,2 2）交换律）交换

13、律: :abbaabba, 3）结合律结合律: :cbacba4 4）分配律）分配律: :bcacbaccbcacba)(;)(5 5） de morgande morgan律律 : :cbacbababababa, 退 出前一页后一页目 录例例1：向指定的目标射三发子弹，若：向指定的目标射三发子弹，若试用试用 表示下列事件：表示下列事件：（1） 只击中第一发；（只击中第一发；（2）只击中一发；（）只击中一发；（3）三发都）三发都没有击中；（没有击中；（4）至少击中一发）至少击中一发 ；（；（5）最多击中一发）最多击中一发解解:例例2：已知：已知a表示事件表示事件“全班学生英语成绩都及格全班学

14、生英语成绩都及格”，则，则 表示什么含义？表示什么含义？ ),3 , 2 , 1( iiai发子弹击中目标”“第123,aaa213(1) aaa211132323( 2 ) aaaaaaaaa123(3) aaa123(4)aaa(5) (3) (2)a1 随机事件的概率练习：练习：设设 a, b, c 为三个随机事件，用为三个随机事件，用a, b, c 的运的运 算关系表示下列各事件算关系表示下列各事件.(1) a 发生，发生，b 与与 c 都不发生都不发生.cba(2) a ,b , c 都发生都发生.abc(3) a ，b , c 至少有一个发生至少有一个发生.cba退 出前一页后一页目 录(5) a ，b , c 都不发生都不发生.cba(6) a ，b , c 不多于一个发生不多于一个发生.cba(7) a ，b , c 不多于两个发生不多于两个发生.cba.cba(8) a