数理方程课件：4_3格林函数的应用

1、14.3 4.3 格林函数的应用格林函数的应用由公式由公式分表示出来。分表示出来。则在这个区域内，则在这个区域内，可知，对于一个由曲面可知，对于一个由曲面普拉斯方程普拉斯方程的的狄利克雷问题狄利克雷问题的解就可以用此积的解就可以用此积源像法源像法( (镜像法镜像法) )求得。求得。拉拉它的格林函数可用它的格林函数可用静电静电对于某些特殊区域，对于某些特殊区域，只要求出它的只要求出它的格林函数格林函数，来说，来说，围成的区域围成的区域dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)24.3 4.3 格林函数的应用格林函数的应用由公式由公式关于关于的的像点像

2、点( (对称点对称点) )所谓所谓镜像法镜像法，处放置处放置适当的负电荷，适当的负电荷，此时二者形成电场在此时二者形成电场在然后在这个像点然后在这个像点点点由它所产生的由它所产生的负电位负电位与与0M边界边界外外找出点找出点就是就是在区域在区域dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)内内的电位，的电位，, 1M1M处的处的单位正电荷单位正电荷所产生的所产生的正电位正电位在曲面在曲面0M上上互相抵消，互相抵消，就相当于所要求的就相当于所要求的格林函数格林函数。3dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)

3、4.3.1 4.3.1 半空间的格林函数半空间的格林函数及狄利克雷问题及狄利克雷问题求解上半空间求解上半空间,),(|0yxyxfuz ),0(0zuuuzzyyxx ),(0000zyxM0z0z内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23)(23)(22)(22)先求出格林函数先求出格林函数).,(0MMG为此，为此，在上半空间在上半空间的点的点处放置一处放置一单位正电荷单位正电荷， 在点在点),(0001zyxM0M的对称点的对称点0z关于平面关于平面处放置一处放置一单位负电荷单位负电荷。4dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)4.3.1 4.

4、3.1 半空间的格林函数及狄利克雷问题半空间的格林函数及狄利克雷问题求解上半空间求解上半空间,),(|0yxyxfuz ),0(0zuuuzzyyxx 0z内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23)(23)(22)(22)由它们所形成的静电场的电位由它们所形成的静电场的电位在平面在平面上上因此，因此，上半空间的格林函数上半空间的格林函数为为0z恰好为恰好为0 0. .,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)5dSnGMfMu)()(0(20)(20)为了求得问题为了求得问题(22)(23)(22)(23)的解，需要计算的解，需要计算由于在平面由于在平面00|zzzGnG.|0zn

5、G0z上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，oz轴的负轴的负,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)202020)()()(141zzyyxxz0202020)()()(1zzzyyxxz6dSnGMfMu)()(0(20)(20)为了求得问题为了求得问题(22)(23)(22)(23)的解，需要计算的解，需要计算由于在平面由于在平面00|zzzGnG.|0znG0z上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，oz轴的负轴的负,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)2/32020200)()()(41zzyyxxzz0202020)()()

6、(1zzzyyxxz7dSnGMfMu)()(0(20)(20)为了求得问题为了求得问题(22)(23)(22)(23)的解，需要计算的解，需要计算由于在平面由于在平面00|zzzGnG.|0znG0z上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，oz轴的负轴的负,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24)2/32020200)()()(41zzyyxxzz02/32020200)()()(zzzyyxxzz8dSnGMfMu)()(0(20)(20)为了求得问题为了求得问题(22)(23)(22)(23)的解，需要计算的解，需要计算由于在平面由于在平面0|znG.|0znG

7、0z上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，oz轴的负轴的负,1141),(100MMMMrrMMG(24)(24),)()(212/32020200zyyxxz(25)(25)将将(25)(25)代入代入(20)(20)中，得到定解问题中，得到定解问题(22)(23)(22)(23)的解的解)(0Mu.)()(),(212/32020200 zyyxxdxdyzyxf(26)(26)9补充补充4 4 半平面的格林函数及狄利克雷问题半平面的格林函数及狄利克雷问题CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln21),(00vrMMGMM(17(17) )求解上半平面求解

8、上半平面,),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx ),(000yxM0y0y内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23(23) )(22(22) )先求出格林函数先求出格林函数).,(0MMG为此，为此，在上半平面在上半平面的点的点处放置一处放置一单位正电荷单位正电荷，在点在点),(001yxM0M的对称点的对称点0y关于边界关于边界处放置一处放置一单位负电荷单位负电荷。10由它们所形成的静电场的电位由它们所形成的静电场的电位在边界在边界上上因此，因此，上半平面的格林函数上半平面的格林函数为为0y恰好为恰好为0 0. .,1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) )补

9、充补充4 4 半平面的格林函数及狄利克雷问题半平面的格林函数及狄利克雷问题CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln21),(00vrMMGMM(17(17) )求解上半平面求解上半平面,),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx 0y内的狄利克雷问题内的狄利克雷问题(23(23) )(22(22) )11为了求得问题为了求得问题(22(22)(23)(23) )的解，需要计算的解，需要计算由于在边界由于在边界00|yyyGnG.|0ynG0y上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，oy轴的负轴的负2020)()(1ln21yyxxy02020)()(1ln

10、yyyxxyCdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) )122020021)()(yyxxyy02020)()(1yyyxxy为了求得问题为了求得问题(22(22)(23)(23) )的解，需要计算的解，需要计算由于在边界由于在边界00|yyyGnG.|0ynG0y上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，oy轴的负轴的负CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) )13020200yyyxxyy)()(2020021)()(yyxxyy为

11、了求得问题为了求得问题(22(22)(23)(23) )的解，需要计算的解，需要计算由于在边界由于在边界00|yyyGnG.|0ynG0y上的外法线方向是上的外法线方向是向，因此，向，因此，oy轴的负轴的负CdSnGyxfMu.),()(0(20(20) ),1ln1ln21),(100MMMMrrMMG(24(24) )140|ynG,)(202001yxxy(25(25) )将将(25(25) )代入代入(20(20) )中，可得中，可得半平面拉普拉斯方程半平面拉普拉斯方程.)()()(2020001yxxdxyxfMu(26(26) )因此，因此，CdSnGyxfMu.),()(0(20

12、(20) ),),(|0 xxfuy ),0(0yuuyyxx (23(23) )(22(22) )解的积分表达式解的积分表达式狄利克雷问题狄利克雷问题15dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)4.3.2 4.3.2 球域的格林函数及狄利克雷问题球域的格林函数及狄利克雷问题求解求解球域上球域上的狄利克雷问题：的狄利克雷问题：).,(|zyxfu,),(0zyxuuuzzyyxx ),(0000zyxMo(28)(28)(27)(27)其中其中是以是以边界为边界为为心，为心，现在利用现在利用静电源像法静电源像法求球的求球的格林函数格林函数。 为此

13、，为此，0oMR在半射线在半射线.为半径的球域，为半径的球域，上截取上截取在球内任取一点在球内任取一点, 1oM线段线段.210RrrOMOM使使(29)(29)16dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17),44110PMPMrqr0M点点1M称为点称为点的的反演点或对称点反演点或对称点。关于球面关于球面要适当选取要适当选取电位电位在球面在球面上正好抵消上正好抵消。则应有则应有满足关系式满足关系式P设设.210RrrOMOM是球面上任一点，是球面上任一点，(29)(29)0M为求出格林函数为求出格林函数),(0MMG在点在点处放置处放置单位单位正

14、电荷正电荷，我们我们的值，的值，q使得这两个点电荷所产生的使得这两个点电荷所产生的1M在点在点处放置处放置q单位的负电荷单位的负电荷，.01PMPMrrq 17dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17),001OMPMPMrRrrO与与1OPM在点在点而夹此角而夹此角有公共角，有公共角，三角形相似。三角形相似。也就是说我们必须在点也就是说我们必须在点电荷电荷。0/rR处放置处放置由于由于POM0单位的负单位的负.14110MMOMrrRv1M的相应两边按的相应两边按(29)(29)式是成比例的，式是成比例的，从而有从而有因此这两个因此这两个.01P

15、MPMrrq ,0OMrRq 由此得由此得18dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)那么，以那么，以记记则则(30)(30)式变形为式变形为0OM的夹角，的夹角，.1141),(1000MMOMMMrrRrMMG为球面的为球面的球域的格林函数球域的格林函数就是就是是是(30)(30)OM和和cos2141),(02200rrrrMMGcos2112210rrrrrR,1010OMOMOMrrrrrr19dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)利用关系式利用关系式(29)(29)cos2141),(

16、02200rrrrMMGcos2112210rrrrrR,210RrrOMOM则可得则可得cos2141),(02200rrrrMMG.cos2402202RrrRrrR为了求解原问题为了求解原问题(27)(28)(27)(28)的解，还需算的解，还需算出出.|nG20dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)在球面在球面上，上，cos2141),(02200rrrrMMG.cos2402202RrrRrrRRrrGnG|2/302200cos2cos41rrrrrrRrRrrRrrRrRrr2/34022020220cos2cos21dSnGMf

17、Mu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)在球面在球面上，上，cos2141),(02200rrrrMMG.cos2402202RrrRrrRRrrGnG|2/30202202cos241RrrRrRR因此，由因此，由(20)(20)得问题得问题(27)(28)(27)(28)的解的表达式为的解的表达式为.cos2),(41)(2/302022020dSRrrRrRzyxfRMu(31)(31)22dSnGMfMu)()(0(20)(20),41),(00vrMMGMM(17)(17)因此，由因此，由(20)(20)得问题得问题(27)(28)(27)(28)的解的表达式为的解的表达式为.cos2),(41)(2/302022020dSRrrRrRzyxfRMu(31)(31)在在球坐标系球坐标系中，表达式中，表达式(31)(31)变为变为 200000),(4),(RfRru(32)(32),sincos22/30202202ddRrrRrR公式公式(31)(31)或或(32)(32)称为称为球域上的泊松公式球域上的泊松公式23 200000),(4),(RfRru(32)(32)