椭圆题型方法总结

1、【椭圆题型方法总结】知识要点一、椭圆的定义 到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即： 二、椭圆的方程。 （1）标准方程：（）或（）（其中，） （2）一般方程： 或三、椭圆的几何性质 标准方程（）（）图形f1f2myxoyxof2f1m性质范围对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点a1(-a,0)，a2(a,0) b1(0,-b)， b2(0,b)a1(0,-a)， a2(0,a) b1(-b,0)， b2(b,0)焦点f1（c，0）、f2（c，0）f1（0，c）、f2（0，c）两轴长轴长2a，短轴长2b焦距离心率 通径【易错点】：对于椭圆定义的把握要明确以

2、下几点：（1）没有“平面内”这个条件，则是椭球而不是椭圆；（2）到两定点f1、f2的距离之和为常数，常数必须要大于|f1f2|.【易忽视点】：对于确定哪种形式的标准方程则要看焦点的位置，若焦点在x轴上则x2的分母大，若焦点在y轴上则y2的分母大.【常用的思想方法】：方程的思想，解决椭圆问题的实质是确定a,b,c的关系（方程），求a,b,c的方法是列方程组求解；数形结合的思想，充分运用几何图形所蕴藏的性质，注意观察分析。题型方法讲解（一）椭圆的定义及标准方程例1、已知abc的顶点b、c在椭圆y21上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则abc的周长是（ ）（a）2 （b）6

3、 （c）4 （d）12【析】通过观察分析，充分巧妙利用定义（“”）是解决问题的关键例2、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 .【析】通过观察分析，利用对称性并结合定义处理。例3、如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）a b c d【析】一般方程标准化；焦点在y轴上则y2的分母大例4、已知方程表示椭圆，求的取值范围。【析】观察分析椭圆方程的特征：x2 和y2的分母均为正，且不相等（若相等即为圆的方程）。例5、已知4，则曲线和有相同的（ ）a. 长轴和短轴 b. 焦点 c. 离心率 d. 焦距【析】通过观察分析，充分把握平方

4、关系“” 是解题的关键。例6、根据下列条件分别求椭圆的标准方程：（1） 中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8；（2） 椭圆经过和【析】求椭圆标准方程常用待定系数法，若不知道焦点位置，通常设方程为，解题的关键是建立方程组。【变式思考】1. abc两个顶点坐标是a（4，0）、b（4，0），周长是18，则顶点c的轨迹方程 .2、已知m为椭圆上一点，为椭圆的一个焦点，且,n为 中点，则的长为 .3、已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则 .4、（2008浙江理12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于a、b两点.若，则=_.5、（2009陕西卷文）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的_

5、. a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 6、（2009北京文、理）椭圆的焦点为，点p在椭圆上，若，则 ；的大小为 .7、（2009广东卷理）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 8、椭圆有一个光学性质：光线由一个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点。现有一个椭圆形的台球桌，椭圆方程为（），一个球由该椭圆的一个焦点处击出，经桌壁反弹后又回到起点，则球所走的路程为（ ）a b.c. d.以上结果皆有可能9、已知椭圆（）的离心率为，且经过 （1）求椭圆的方程 （2）设是椭圆的左焦点，判

6、断以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系并说明理由。10、（2010课标全国）已知为椭圆 （）的左右焦点，设过斜率为1的直线与e相较于a、b两点。且成等差数列(1)求椭圆的离心率。(2)设点满足，求椭圆的方程。11、（2010安徽理数）19、（本小题满分13分）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 ()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程；()在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两 点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。（二）椭圆的几何性质的考查（1）椭圆的几何性质的灵活运用 例1、在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 .【析】根据标准方程确定a,b,

7、c的值，并结合正弦定理“”的性质“”即可。 例2、椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为p，则等于（ ） a b. c. d.4【析】掌握椭圆通径长并结合椭圆定义即可解决（2）离心率的求法椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法：求，求，再求比.数形结合，充分利用图形蕴藏的数量关系，含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可.例1、如图，直线过椭圆的左焦点f1和 一个顶点b，该椭圆的离心率为a b c d例2、设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )a. b. c. d. 例3、设f1、f2为椭圆的

8、两个焦点，以f2为圆心作圆f2，已知圆f2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于m点，若直线mf1恰与圆f2相切，则该椭圆的离心率e为（ ）a. 1 b.2 c. d.【变式思考】1、（2010广东文数）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） a. b. c. d. 2、（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） a b c d 3、已知为椭圆 （）的左右焦点，以为边作正三角形。若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，则椭圆的离心率为（ ） a b c d 4、(2008湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地

9、月转移轨道飞 向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在变点第二次变轨进入仍以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：; ; ; .其中正确式子的序号是 （ ）a. b. c. d. 5、（2008江苏）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以o为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= （3） 焦点三角形面积公式：例1、 已知椭圆，为椭圆上任一点，求证:例2、设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，求的面积。例3、已知椭

10、圆的焦点为f1、f2，点m在椭圆上且则点m到x轴的距离为（ ）a b c d例4、（2009年上海卷理）已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_. 例5、若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）a. 2 b. 1 c. d. 例6、如图，f1，f2分别为椭圆的左、右焦点，点p在椭圆上，pof2是面积为的正三角形，则b2的值是 . (4)有关大小讨论的问题例1、椭圆的焦点、，点为其上的动点，则使得的点的个数为（ ）a. 0 b.1 c. 2 d. 4例2、椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为钝角时,点 横坐标的取值范围是 。例3、已知、是椭圆（0）的两个

11、焦点，为椭圆上一点，且.求椭圆离心率的取值范围。例4、设p是椭圆（ab0）上的一点，f1、f2是椭圆的焦点，且f1pf2=90°，求证：椭圆的率心率e例5、（2008江西文、理科7）已知f1、f2是椭圆的两个焦点满足·0的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）a(0，1)b(0，c(0，)d，1)（三）点、线与椭圆的位置关系 （1）位置关系的讨论问题点与椭圆的位置关系： 在椭圆上。在椭圆外。在椭圆内。研究直线与椭圆位置关系的问题往往转化为研究方程解得问题，要回根据韦达定理和判别式解决问题。例1、当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？例2、已知以f1（2,0），f

12、2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ）a. b. c. d.例3、直线与椭圆恒有公共点，则b的取值范围是（ ）a（0，1）b（0，5）cd例4、设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）必在圆内必在圆上必在圆外以上三种情形都有可能（2）弦长公式：例1、已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点f2，交椭圆于a、b两点，求：（1）弦长|ab|；（2）abf1的面积。例2、 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为（ ）a b c d例3、过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点, 为坐标原点, 则的面积为 . 例4、ab是过椭圆的一个焦点f

13、的弦，若ab的倾斜角为，求弦ab的长例5、（2008北京文科19）已知abc的顶点a，b在椭圆上，c在直线l：y=x+2上，且abl当ab边通过坐标原点o时，求ab的长及abc的面积；例6、椭圆与直线相交于两点，若,且的中点 与椭圆中心连线的斜率为，求实数的值。例7、若直线y=x+t与椭圆 相交于a、b两点，当t变化时，求|ab|的最大值（3）与椭圆有关的中点弦问题例1、已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程【分析一】：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为代入椭圆方程，并整理得由韦达定理得是弦中点，故得所以所求直线方程为【分析二】：设

14、弦两端坐标为、，列关于、的方程组，从而求斜率：解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得得 将、代入得，即直线的斜率为所求直线方程为【说明】：有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” 【变式思考】1、椭圆内有一点p（3，2）过点p的弦恰好以p为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）abcd 2、过椭圆内一点引一条弦使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程3、过点作直线与椭圆交于a，b两点，若线段ab的中点恰为p点，求ab所在的直线的方程和线段ab的长度4、倾斜角为的直线交椭圆于两点，求线段中点的轨迹方程5、已知直线y= -x +1与椭圆相交于a、b两点，且线段ab的中点在直线l:

15、x -2y=0上.（1）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2+ y2=4上，求此椭圆的方程.（4）与椭圆有关的最值与取值范围问题例1、椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） a3bcd例2、 求椭圆上的点到直线的距离的最小值例3、直线和椭圆相交于a、b两点，当m变化时；（1） 求的最大值（2） 求面积的最大值（o是坐标原点）例4、设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 ；例5、（2010福建文）11若点o和点f分别为椭圆的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为a2 b3 c6 d8例6、已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于b、d两点，过的直线交椭圆于a、c两点，且，垂足为p. （）设p点的坐标为，证明：；（）求四边形abcd的面积的