圆锥曲线与方程教师版

1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程知识导航知识导航一、一、椭圆1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭椭1f2f12f f圆圆即：。|)|2( ,2|2121ffaamfmf这两个定点称为椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形xof1f2pya2a1b1b2xof1f2pya2b2b1标准方程222210 xyabab222210yxabab范围且axa byb 且bxb aya 顶点、1,0aa2,0aa、10, b20,b、10, aa20,aa、1,0b2,0b轴

2、长短轴的长 长轴的长2b2a焦点、1,0fc2,0fc、10,fc20,fc焦距222122ffc cab对称性关于轴、轴、原点对称xy离心率22101cbeeaa3常用结论：（1）椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两)0( 12222babyax21,ff1fba,点，则的周长= 2abf（2）设椭圆左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交)0( 12222babyax21,ff1f椭圆于两点，则的坐标分别是 qp,qp, | pq二、二、双曲线1、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹1f2f12f f称为双曲线双曲线即：。这两个定点称为双曲线的焦点双曲线的焦点，

3、两焦点的距离两焦点的距离|)|2( ,2|2121ffaamfmf称为双曲线的焦距称为双曲线的焦距2、双曲线的几何性质双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上x焦点在轴上y图形xof1f2pya2a1xof1pb2b1f2标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab范围或，xa xayr或，ya yaxr顶点、1,0aa2,0aa、10, aa20,aa轴长虚轴的长 实轴的长2b2a焦点、1,0fc2,0fc、10,fc20,fc焦距222122ffc cab对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称xy离心率2211cbeeaa渐近线方程byxa ayxb 3、双曲线的渐近线

4、：求双曲线的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得，因式分解得到。12222byax02222byax0 xyab与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；12222byax2222byax4、等轴双曲线为，其离心率为222tyx25、常用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同)0, 0( 12222babyax21,ff1f一支于两点，则的周长= ba,2abf（2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直)0, 0( 12222babyax21,ff1f线交双曲线于两点，则的坐标分别是 qp,qp, | pq三、三、抛物线1、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为

5、抛物线抛物线定点称为flf抛物线的焦点抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线l2、抛物线的几何性质：、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p 22ypx 0p 22xpy0p 22xpy 0p 图形xofpylofpylxofpylxofpylx顶点0,0对称轴轴x轴y焦点,02pf,02pf0,2pf0,2pf准线方程2px 2px 2py 2py 离心率1e 范围0 x 0 x 0y 0y 3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的aa“通径通径” ，即2pa 4、焦半径公式焦半径公式：若点在抛物线上，焦点为，则；00,xy220ypx pf02pfx若点在抛物

6、线上，焦点为，则；00,xy220 xpy pf02pfy5、焦点弦：=+pab21xx 四、圆四、圆1 1、定义：、定义：点集mom=r ，其中定点 o 为圆心，定长 r 为半径.2 2、方程：、方程：(1)(1)标准方程：标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r2(2)(2)一般方程：一般方程：当 d2+e2-4f0 时，一元二次方程 x2+y2+dx+ey+f=0 叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程)2,2(ed2422fedx2+y2+dx+ey+f=0 化为(x+)2+(y+

7、)2=2d2e44f-ed22当 d2+e2-4f=0 时，方程表示一个点(-,-);2d2e当 d2+e2-4f0 时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系点与圆的位置关系 已知圆心 c(a,b),半径为 r,点 m 的坐标为(x0,y0)，则mcr点 m 在圆 c 内，mc=r点 m 在圆 c 上，mcr点 m 在圆 c 内，其中mc=。2020b)-(ya)-(x（4 4）直线和圆的位置关系：）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用

8、圆心 c(a,b)到直线 ax+by+c=0 的距离与半径 r 的大小关系来判定。22bacbbaad补充知识点：1、椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 f1，f 2，点 p 为椭圆上任意一点22221xyab，则椭圆的焦点角形的面积为. .12fpf122tan2f pfsb2、双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为 f1，f 2，点 p 为双曲线上任意一22221xyab点，则双曲线的焦点角形的面积为.12fpf122t2f pfsb co3 3、弦长公式、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，bkxyl:ab则),(),2211yxbyxa（ 弦长221221)()(yyxxab22122

9、1)()(kxkxxx 2121xxk2122124)(1xxxxk4、圆锥曲线的统一定义.1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 f 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当10 e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace ，当bac , 0时）.2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证 ab=cd, 即证 ad 与 bc 的中点重合即可.5、注：注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1到两定点 f1,f2的距离之和为定值2a(2a|f

10、1f2|)的点的轨迹1到两定点 f1,f2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|f1f2|)的点的轨迹定义2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形标准方程12222byax(ba 0)12222byax(a0,b0)y2=2px方程参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数)范围axa，byb|x| a，yrx0中心原点 o（0，0）原点 o（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长

11、2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点f1(c,0), f2(c,0)f1(c,0), f2(c,0)0 ,2(pf焦距2c （c=22ba ）2c （c=22ba ）离心率) 10(eace) 1( eacee=1准线x=ca2x=ca22px渐近线y=abx焦半径exar)(aexr2pxr通径ab22ab222p焦参数ca2ca2p典型例题讲解及思维拓展典型例题讲解及思维拓展a.a.圆锥曲线的标准方程例 1. 椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其x12222byax0abcossinxayb中为参数） ，焦点在轴上时1（） 。方程表示椭圆y2222bx

12、ay0ab22axbyc的充要条件是什么？（abc0，且 a，b，c 同号，ab） 。如（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为_（答：12322kykxk） ； 11( 3,)(,2)22（2 2）若，且，则的最大值是_，的最小值ryx,62322 yxyx 22yx 是_（答：）5,2例 2. 双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1（x2222byaxy2222bxay） 。方程表示双曲线的充要条件是什么？（abc0，且 a，b0,0ab22axbyc异号） 。如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方2514922yx程_（答：） ； 2214xy（2）设中心在坐标

13、原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线 co1f2f2e过点，则 c 的方程为_（答：）)10, 4 ( p226xyb.b. 圆锥曲线焦点位置的判断例 3. （1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。x2y2如已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是12122mymx_（答：）)23, 1 () 1,(（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；x2y2（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 f ，f 的12位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双

14、曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物, a b线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，最大，在双曲线中，a222abc最大，。c222cabc c. .圆锥曲线的几何性质：例 4. （1）若椭圆的离心率，则的值是_（答：3 或）1522myx510em325；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：）22例 5. （1）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_（答：023 yx或） ； 132133（2）双曲线的离心率为，则=（答：4 或） ； 221ax

15、by5:a b14 （3）设双曲线（a0,b0）中，离心率 e,2,则两条渐近线夹角12222byax2 的取值范围是_（答：） ； ,3 2 例 6. 设，则抛物线的焦点坐标为_（答：） ；raa , 024axy )161, 0(ad.d.直线与圆锥曲线的位置关系：例 7. 1 相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线0 0 相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交0 点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线0 0 相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛0 物线相交且只有一个交点，故也

16、仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条0 件。（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_（答：(-,-1)） ； 315（2）直线 ykx1=0 与椭圆恒有公共点，则 m 的取值范围是2215xym_（答：1，5）（5，+） ） ； （3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于 a、b 两点，若ab4，则12122yx这样的直线有_条（答：3） ；2 相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与0 0 0 抛物线相切；3 相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与0 0 0 抛物线相离。例 8（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，

17、这样的直线有_（答：)4 , 2(xy822） ； （2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为116922yx_（答：） ； 44 5,33（3）过双曲线的右焦点作直线 交双曲线于 a、b 两点，若4，则满1222yxlab足条件的直线 有_条（答：3） ； l（4）对于抛物线 c：，我们称满足的点在抛物线的内部，xy420204xy),(00yxm若点在抛物线的内部，则直线 ：与抛物线 c 的位置关系是),(00yxml)(200 xxyy_（答：相离） ； （5）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于 p、q 两点，若线段 pf 与 fq 的xy42f长分别是 、，则

18、_（答：1） ； pqqp11（6）设双曲线的右焦点为，右准线为 ，设某直线交其左支、右支191622yxflm和右准线分别于，则和的大小关系为_(填大于、小于或rqp,pfrqfr等于) （答：等于） ； （7）求椭圆上的点到直线的最短距离（答：） ；284722yx01623 yx8 1313（8）直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分1 axy1322 yxabaab别在双曲线的两支上？当为何值时，以 ab 为直径的圆过坐标原点？（答：a；） ；3, 31a e. 焦半径例 9. （圆锥曲线上的点 p 到焦点 f 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半

19、径，其中表示 p 到与 f 所对应的准线的距离。redd（1）已知椭圆上一点 p 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 p 到右准线的距离1162522yx为_（答：） ；353（2）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于 5，则它到抛物线xy82y的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点到焦点的距离是 4，则点的坐标为_（答：mm） ；7,(2, 4)（4）点 p 在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点192522yxp 的横坐标为_（答：） ；2512（5）抛物线上的两点 a、b 到焦点的距离和是 5，则线段 ab 的中点到轴xy22y的距离为_（答：2） ；（6）椭圆

20、内有一点，f 为右焦点，在椭圆上有一点 m，使13422yx) 1, 1 ( p 之值最小，则点 m 的坐标为_（答：） ；mfmp2) 1,362(f.f.焦点三角形例 10. （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为00(,)p xy12,f f，焦点的面积为，则在椭圆中， ，且12,r r12fpfs12222byax) 12arccos(212rrb当即为短轴端点时，最大为12rrp；，当即为短轴端点时，max222arccosacb 20tan|2sbc y0|ybp的最大值为 bc；对于双曲线

21、的焦点三角形有：maxs22221xyab；。 如 （1）短轴长为21221arccosrrb2cotsin21221brrs，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于 a、b 两点，则532e1f2f1f的周长为_（答：6） ；2abf（2）设 p 是等轴双曲线右支上一点，f1、f2是左右焦点，若)0(222aayx，|pf1|=6，则该双曲线的方程为 （答：） ；0212ffpf224xy（3）椭圆的焦点为 f1、f2，点 p 为椭圆上的动点，当 0)xyca bab：3(1, ),2p,直线 的方程为.1=2el=4x(1) 求椭圆的方程;c(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直

22、线与直线 相交于点,记abfpablm的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求,pa pb pm123, .k k k123+=.kkk的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由在椭圆上得, 3(1, )2p221914ab依题设知,则 2ac223bc代入解得. 2221,4,3cab故椭圆的方程为. c22143xy(2)方法一:由题意可设的斜率为, abk则直线的方程为 ab(1)yk x代入椭圆方程并整理,得, 223412xy2222(43)84(3)0kxk xk设,则有 1122( ,),(,)a x yb xy 2212122284(3),4343kkxxx xkk在方

23、程中令得,的坐标为. 4x m(4,3 )k从而. 121231233331222,114 12yykkkkkxx注意到共线,则有,即有. ,a f bafbfkkk121211yykxx所以 1212121212123331122()1111212yyyykkxxxxxx 1212122322() 1xxkx xxx代入得, 22122222823432214(3)8214343kkkkkkkkkk又,所以.故存在常数符合题意. 312kk1232kkk2方法二:设,则直线的方程为:, 000(,)(1)b xyx fb00(1)1yyxx令,求得, 4x 003(4,)1ymx 从而直线的

24、斜率为, pm0030212(1)yxkx联立 ,得, 0022(1)1143yyxxxy0000583(,)25 25xyaxx则直线的斜率为:,直线的斜率为:, pa00102252(1)yxkxpb020232(1)ykx所以, 00000123000225232122(1)2(1)1yxyyxkkkxxx故存在常数符合题意. 27. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 word 版） ）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为.设c0,0fcc l20 xy3 22为直线 上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.plpc,pa pb,a b() 求

25、抛物线的方程;c() 当点为直线 上的定点时,求直线的方程;00,p xylab() 当点在直线 上移动时,求的最小值.plafbf【答案】() 依题意,设抛物线的方程为,由结合,解c24xcy023 222c 0c 得. 1c 所以抛物线的方程为. c24xy() 抛物线的方程为,即,求导得 c24xy214yx12yx 设,(其中),则切线的斜率分别为,11,a x y22,b xy221212,44xxyy,pa pb112x, 212x所以切线的方程为,即,即pa1112xyyxx211122xxyxy 11220 x xyy同理可得切线的方程为 pb22220 x xyy因为切线均过

26、点,所以, ,pa pb00,p xy1001220 x xyy2002220 x xyy所以为方程的两组解. 1122,x yxy00220 x xyy所以直线的方程为. ab00220 x xyy() 由抛物线定义可知, 11afy21bfy所以 121212111afbfyyy yyy联立方程,消去整理得 0022204x xyyxyx22200020yyxyy由一元二次方程根与系数的关系可得, 212002yyxy2120y yy所以 221212000121afbfy yyyyxy 又点在直线 上,所以, 00,p xyl002xy所以 22220000001921225222yxy

27、yyy 所以当时, 取得最小值,且最小值为. 012y afbf928. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 word 版含答案） ）平面直角坐标系xoy中,过椭圆2222:1(0)xymabab的右焦点f作直30 xy交m于,a b两点,p为ab的中点,且op的斜率为12.()求m的方程;(),c d为m上的两点,若四边形abcd的对角线cdab,求四边形abcd面积的最大值.【答案】 9. （2013 年高考湖北卷（理） ）如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为1c2co且在轴上,短轴长分别为,过原点且不与轴重合的直线 与mnx2m2nmnxl,的四个交点按

28、纵坐标从大到小依次为,.记,和1c2cabcdmnbdm的面积分别为和.abn1s2s(i)当直线 与轴重合时,若,求的值;ly12ss(ii)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 ,使得?并说明理由.l12ssoxyba第 21 题图cdmn【答案】解:(i), 12ssmnmn1111mnmn解得:(舍去小于 1 的根) 21(ii)设椭圆,直线 : 22122:1xycamam22222:1xycanlkyx 22221kyxxyam2222221am kya m222aamyam k同理可得, 222banyan k又和的的高相等 bdmabn 12bdbaababsbdyyyysa

29、byyyy如果存在非零实数使得,则有, k12ss11abyy即:,解得 222222222211an kan k2222232114akn当时,存在这样的直线 ;当时,不存在这12 20k l112 20k 样的直线 . l10. （2013 年高考北京卷（理） ）已知 a、b、c 是椭圆w:上的三个点,o是坐标2214xy原点.(i)当点 b 是 w 的右顶点,且四边形 oabc 为菱形时,求此菱形的面积;(ii)当点 b 不是 w 的顶点时,判断四边形 oabc 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(i)椭圆w:的右顶点 b 的坐标为(2,0).因为四边形 oabc 为菱2214xy

30、形,所以 ac 与 ob 相互垂直平分. 所以可设 a(1,),代入椭圆方程得,即m2114m. 所以菱形 oabc 的面积是. 32m 11| |2 2|322obacm (ii)假设四边形 oabc 为菱形. 因为点 b 不是 w 的顶点,且直线 ac 不过原点,所以可设ac 的方程为. (0,0)ykxm km由消去并整理得. 2244xyykxmy222(14)8440kxkmxm设 a,c,则,. 1,1()x y2,2()x y1224214xxkmk 121222214yyxxmkmk所以 ac 的中点为 m(,). 2414kmk214mk因为 m 为 ac 和 ob 的交点,

31、所以直线 ob 的斜率为. 14k因为,所以 ac 与 ob 不垂直. 所以 oabc 不是菱形,与假设矛盾. 1()14kk 所以当点 b 不是 w 的顶点时,四边形 oabc 不可能是菱形. 11. （2013 年高考陕西卷（理） ）已知动圆过定点a(4,0), 且在y轴上截得的弦mn的长为8. () 求动圆圆心的轨迹c的方程; () 已知点b(-1,0), 设不垂直于x轴的直线 与轨迹c交于不同的两点p, q, 若xl轴是的角平分线, 证明直线 过定点. pbql【答案】解:() a(4,0),设圆心 c2222,2),(ecmecmcamnmeemnyx，由几何图像知线段的中点为 xyxyx84) 422222 （() 点b(-1,0), . 222121212122118,8, 00),(),(x