4-5数学归纳法自我小测

1、精品资源4.1 数学归纳法自我小测1 11一1 .设 f(n) = 1 + 2+3+ +罚(nM)，则 f(n+f等于()A.13n+ 2,3n+3n+1欢迎下载3n+ 1 + 3n+2 D , 3n+3n+ 1 + 3n+22 .在用数学归纳法证明n边形内角和为（n 2） 180。时，第一步应验证 （A. n=1成立 B . n=2成立C. n = 3成立 D . n = 4成立3.在数列an中，a1 = 2 - 1,前n项和3='n+ 1 - 1,先算出数列的前 4项的值,根据这些值归纳猜想数列的通项公式是（）A. an=加+ 1 - 1 B . an= nn+ 1 -1C. an

2、=/2n-/nD . an= n+ 1 诉r 1 -an+24 .用数学归纳法证明：1+a+a+a =-1），在验证n=1时，左边计算所得的项为()A. 1 B . 1 + aC. 1 + a+ a D . 1 + a+ a+ a5 .已知整数对的序列如下:(1,1) ,(1,2) ,(2,1) ,(1,3) ,(2,2) ,(3,1) ,(1,4) ,(2,3), (3,2) , (4,1) , (1,5) , (2,4),，则第 60 个数对是 .6 .如图，第n个图形是由正(n+2)边形“扩展”而来(n=1,2,3 ,)，则第(n 2)个 图形中共有 个顶点.(4)、一1 117 .设a

3、n =1+ -+-+-(nNI+),是否存在关于n的整式g(n),使得等式d+a2 +2 3 na3+ an 1= g( n) (an1),对大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论.一，一.18已知数列而7X10'' (3n 2)(3 n+1)'，计算数列和 S,根据计算结果，猜想S的表达式，并用数学归纳法进行证明.参考答案1 111 .斛析： 因为 f (n) = 1 + 片+；+ ；,2 33n 11111111所以 f(n+1)=1+2+3+罚+3n+ 赤 +372.所以 f(n+1)-f(n)=3n+3n+ 1 + 3n+2.答案：D2 . C3 .解析：由题

4、意，可知 S2= a1 +a2 =，31, 82 =。31 -42+1 = 43 ，2； S3=a1 + a?+a3= <4 1,a3= S2=。4一、/3,同理，可得 a4=&一&=45 44,故可猜想 an =,n+1iyn.答案：D4 .解析：令n=1,则等式左边=1 + a+a2.答案：C5 .解析：设每个数对内的两数之和为k,则组成数对的个数为ak = k-1, k=2,3,，则由不等式 0=(1 +"2)( kT) = k(k2- 1)<60,得 k(k-1)<120,则 k 的最大值为 11,11X10且S1 = 2=55,则第56个数

5、对之和为12,即(1,11),后面的依次为(2,10) , (3,9), (4,8) , (5,7),所以第 60 个数又为(5,7).答案:(5,7)6 .解析：设a为第n个图形的顶点数，则由题图可知：第1个图形有6个顶点，a1=6;第2个图形有12个顶点，a2=12；第3个图形有20个顶点，a3=20；第4个图形有30个顶点，a4=30;第5个图形有42个顶点，a5=42;则 an=(n+1)( n + 2),an 2= (n- 1) n= n2- n.答案：n2n7 .答案：解：假设g(n)存在，1那么，当 n=2 时，a1=g(2)( a21),即 1 = g(2)(1 +2-1),

6、/. g(2) =2.111当 n = 3 时，a1+a2 = g(3)( 8 1),即 1+1 + 3厂g(3) H + 2 + 3-1 1,g(3) = 3.n = 4 时，ai + a2 + as = g(4)( a4 1),即 i + i+21 1+ J+2+3/=i i ig(4) 1 + 2+3+4-1g(4) = 4.由此猜想 g(n) = n( n>2, n C N+).下面用数学归纳法证明当 n>2, nC N+时，等式ai +&+ an1= n(an1)成立.1(1)当 n=2 时，ai= 1, g(2)( a2-1) =2X(1 + 万1) = 1,结

7、论成立.(2)假设当n=k(k NI+, k>2)时结论成立，即 ai+a2+ ak-1= k(ak1)成立.那么当 n = k+1 时，ai + a2+ a-1+ak=k( ak1) + a = (k+1) akk= ( k+1) ak(k + 1) +1 = (k+1) Jak+-i ；= (k+1)( ak+i 1)，说明当 n=k+1 时，结论成立.由(1)(2)可知，对一切大于 1的自然数n,存在g(n) = n,使等式 ai + a2+ an-i = g( n)( an- 1)成立.111122133148 .答案：解：s=v=4, &=4+彳=7, $=7+7=沔，S4=w+wn = n.上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想 Sn3n+1.111证明：(1)当n=1时，左边=S = -,右边=猜想成立. 43X114(2)假设当n=k(k N)时猜想成立，即+ ；1；= k 成立,1X44X7(3k-2)(3 k+1) 3k+1，则当n=k+ 1时，111 1Tx7+4-><T+'"+ (3 k2)(3 k+1) + 3( k+1) -23( k+1) + 12._ k1_3k+4k+1= 3k+1 + (