计量学基础教学线性参数最小二乘处理

1、 最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛应用的数据处理方法应了解最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度测量中线性、非线性参数的最小二乘估计方法，并科学给出估计精度。一、引入一、引入待测量（难以直接测量）：txxx,21直接测量量：nyyy,21),(),(),(212122221111tnnnttxxxfylxxxfylxxxfyl问题：如何根据和测量方程解得待测 量的估计值？nlll,21txxx,21: tn 直接求得。txxx,21: tn 有利于减小随机误差，方程组有冗余，采用最小二乘原理求 。txxx,21讨论：最小二乘原理：最可信赖值应使残余误差平方和最小。二、

2、最小二乘原理二、最小二乘原理 设直接测量量 的估计值为 ，则有nyyy,21nyyy,21),(),(),(2121222111tnnttxxxfyxxxfyxxxfy由此得测量数据 的残余误差nlll,21),(),(),(212122221111tnnnttxxxflvxxxflvxxxflv残差方程式 若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 出现在相应真值附近 区域内的概率为nlll,21n,21nddd,21), 2 , 1(21)2(22nidepiiiii由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率为nnniidddeppniii21)2(2111222

3、1nlll,21测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率p为最大。要使p最大，应有nlll,212222222121nn最小由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表示为2222222121nnvvv最小等精度测量的最小二乘原理：niinvvvv1222221最小 不等精度测量的最小二乘原理：niiinnvpvpvpvp122222211最小最小二乘原理（其他分布也适用）最小二乘原理（其他分布也适用） 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。三、等精度测量的线性参数最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二乘原理线性参数的测量方程和相应的估计

4、量为：tntnnnttttxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111tntnnnttttxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111残差方程为)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalv令ntnnttnnnaaaaaaaaaavvvvxxxxllll212222111211212121则残差方程的矩阵表达式为xalv等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：最小）（）（最小xalxalvvtt不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：22222212

5、21000000000000nnnnpppp权矩阵最小）（）（最小xalpxalpvvtt四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的有确定解的代数方程组。一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalv2211222212122121211111最小22221nvvv0)(0)(12112nniiniixvxv正规方程：正规方程：tniititniiitniiitiniittniitiniiiniiiinii

6、tniitiniiiniiiiniixaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaala12121111122122111212112121111111特点：特点：主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等看正规方程组中第r个方程：012121111tniitirniiirniiiriniirxaaxaaxaala02211nnrrrvavava则正规方程可写成000221122221121221111nntttnnnnvavavavavavavavava0vat即正规方程的矩阵形式正规方程的矩阵形式将代入到中，得xalv0vat0xaalattlaxa

7、attaactlaxctlacxt1（待测量的无偏估计）例1 已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：，为。为获得时铜棒的长度和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。)1 (0tyyt0y0ycti0/mmli/解： 1）列出误差方程)(00iiitayylv令 为两个待估参量，则误差方程为daycy00,)(dtclviii按照最小二乘的矩阵形式计算60150140130120110160.200148.200107.200180.200072.200036.2000adcxl则有：0012. 0034. 0034. 013. 11c03654. 097.199

8、91dclacxt那么：cydmmcy000/0000183. 0/97.1999二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规 方程方程最小niiivp120)(0)(12112nniiiniiixvpxvp由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：tniititiniiitiniiitiiniititniitiiniiiiniiiiiniiitniitiiniiiiniiiiiniiixaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplap12121111122122111212112121111111整理得

9、：000222111222221121122121111nntnttnnnnnnvapvapvapvapvapvapvapvapvap即0pvat不等精度的正规方程不等精度的正规方程将代入上式，得xalv0xpaaplattplaxpaattpaactplaxctplacxt1（待测量的无偏估计）例2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差： 08. 0)5(27.1508. 0)4(22.1308. 0)3(81.1006. 0)2(60. 806. 0)(44. 652154214321322121211xxvxxvxxvxxvxxv试求 的最可信赖值。21,xx解：首先确定各式的权9:9:

10、9:16:161:1:1:1:1:252423222154321ppppp令61514131211127.1522.1381.1060. 844. 621axxxl900000900000900000160000016nnp227. 2186. 4)(121plapaaxxxtt三、非线性参数最小二乘处理的正规方程三、非线性参数最小二乘处理的正规方程针对非线性函数), 2 , 1(),(21nixxxfytii其测量误差方程为 ),(),(),(212122221111tnnnttxxxflvxxxflvxxxflv02010,txxxtiiiititixfxfxfxxxfxxxf020210

11、10201021)()()(),(),(令 ，现将函数在 处展开，则有tttxxxxxx022021101,将上述展开式代入误差方程，令002201102010)(,)(,)(),(tiitiiiitiiixfaxfaxfaxxxfll则误差方程转化为线性方程组)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttaaalvaaalvaaalv于是可解得 ，进而可得 。), 2 , 1(trr), 2 , 1(trxr近似值近似值为获得函数的展开式，必须首先确定 02010,txxx1）直接测量2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的t个方程式，如令 ，由

12、此可解得 。0iv02010,txxx四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系 为确定一个被测量x的估计值x，对它进行n次直接测量，得n个数据 ，相应的权分别为nlll,21nppp,21，则测量的误差方程为xlvxlvxlvnn2211按照最小二乘原理可求得niiniiiplpx11结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的， 算术平均值原理是最小二乘原理的特例。算术平均值原理是最小二乘原理的特例。组合测量：通过直接测量待测参数的组合量（一般是 等精度），然后对这些测量数据进行处理， 从而求得待测参数的估计量，求其精度估计。以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线a、b、c、d间的距离 。321,xxxabcd1x3x2xabcd1l3l2l4l6l5l直接测量各组合量，得mmlmmlmmlmmlmmlmml032. 3981. 1016. 2020. 1985. 0015. 1654321首先列出误差方程)(