2020年普通高等学校招生全国统一考试——文科数学(仿真卷)

1、注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。7.2.3.4.5.6.、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。若 z(2 + i) = |3+ 4i|,则乞A. 2+i B. 2- iC. -2+i D. -2-i已知集合A=a, b,A. 0, 3 B. 0B = 3,1, 3宋元时期数

2、学名著算学启蒙log2a,若 AH B = 0,则 AU B 为 C. 0, 2, 3 D. 0, 1, 2, 3中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等？右图是求解这 个问题的一个程序框图，若输入的 a、b分别为5、2,则输出的n =A. 2 B. 3若双曲线A. 122x y 1孑-9 = 1B. 2C. 4D. 59.(a>0)C. 3若几何体的三视图如图所示,A.2427t B. 2 九的渐近线方程为3x±2y= 0,则a =D. 4则该几何体的表面积为3兀D.万. x- 1 函数f(x) = -的图象在x=1处的切线万程为 e

3、A. x+ ey1=0 B. x ey 1 = 0 C. ex+ y1=0D. ex y1=0函数f(x)=(2; "；osx的图象大致是,.九 2已知 sin(x+-)=-,43则 sin2x=2A.32B- -31C- 9D.10.已知 a=log0.40.2、b= log0.405 c=log0.50.2,贝UA . a>b>c B. a>c>bC. c>b>a D. c>a>b11.已知M(a, 2)是抛物线y2=2x上的一点,线MP、MQ的倾斜角之和为1B- 4c. -2队则直线1D- -4直线MP、MQ分别与抛物线交于P、Q

4、两点，且直PQ的斜率为12. zABC 角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若氤+彘=氤，则管的最大值为A. 2 B. V3C. 2 D. 22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.将一条长为6的线段分成长度为正整数的三条线段， 则这三条线段能构成三角形的概率为19. (12分)如图，在三棱锥 P-ABC中，4PAB是等边三角形，/ PAC= / PBC = 90°.(1)证明：ABXPC; (2)若PC=4,且平面FACL平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.14 .已知向量 a=(1, 1), a b=3, |a+b|=<13,则 |b| =15 .某投资

5、人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保 可能的资金亏损不超过1.8万元.则投资人合理安排对甲、乙两个项目的投资，可能产生的盈 利的最大值为万元.34 3,416 .求方程“(3)x+(5)x= 1”的解，有如下解题思路：设函数f(x) =(5)x+C4)x, f(x)在R上单调递减, 且f(2)=1,所以&x+(4)x=1有唯一解x=2.类比上述解题思路，方程“ x6+x2=(x+2)3 + x + 2”的解集为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明

6、过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17 . (12分)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档， 月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y (单位：元)关于月用电量x (单位：度)的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到 如图所示的频率分布直方图.已知这100户居民中，今

7、 年1月份用电费用不超过260元的占80%.(i)求a、b的值；(ii)试估计1月份该市居民用户平均用电费用.2220. (12分)已知椭圆E:当+上=1的左、右焦点分别为Fi、F2, P为椭圆上的动点， PF1F2面 积的最大值为V3b2.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，线段AB是圆M: (x+ 2)2+(y1)2h5的一条直径，若椭圆E121. (12 分)设函数 f(x)=x(lnx+2).(1)若方程f(x) = m有两个解，求实数m的取值范围；(2)若不等式kf(x)>lnx恒成立，求实数k的取值范围.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多作，

8、则按所作的第一题计分。22.选彳4 4:坐标系与参数方程(10分)18. (12分)已知数列an的前n项和为8,且1, an, Sn成等差数列.(1)求 an和 Sn； (2)证明：1+= + 9+白<2.S1 S2 S3Sn,1x:"工在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 （人为参数）.以。为极点，x轴正半轴y=入一入为极轴取相同的单位长度建立极坐标系，直线i过点p（3, 3）且i，op.（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求AB|.23.选彳4-5:不等式选讲（10分）已知a、b、c均为正数，且ab+ bc+ ca=6.1

9、 1 1 一一一一一.一（1）求二十:十二的取小值；（2）求abc（a+b+c）的取大值. a b cx1x2 =4(2k+1)2 4b21 + 4k2、选择题123456789101112ABCBABCDDDCA、填空题13. 314.邓15. 716. 2, -1三、解答题17.解：(1)当 00 x< 200 时，y= 0.5x;当 200Vx0400时，y = 0.5X200+0.8X(x 200) = 0.8x 60,当 x>400 时，y=0.5X 200+0.8X200+ 1.0X (x 400) = x140,0.5x, 0<x< 200.y关于x的函数

10、解析式为：y= 0.8x-60, 200Vx< 400.分x-140, x>400(2)(i)由(1)可知：当 y= 260 时，x = 400,贝U P(x0400) = 0.80,结合频率分布直方图可知：0.1 + 2 X 100b+ 0.3 = 0.8, 100a+ 0.05= 0.2,. a= 0.0015, b= 0.0020. 8分(ii)由题意可知 x 可取 50、150、250、350、450、550,当 x=50时，y=0.5X50= 25, . P(y= 25)=0.1,当 x=150 时，y= 0.5X 150=75, . P(y=75) = 0.2,当 x

11、= 250时，y=0.5X 200+0.8X50=140, . P(y= 140) = 0.3,当 x= 350 时，y= 0.5X 200+0.8X150= 220, . P(y= 220)=0.2,当 x = 450 时，y= 0.5X 200+0.8X200+ 1.0X 50=310, . P(y= 310) = 0.15, 当 x=550时，y= 0.5X 200+0.8X200+ 1.0X 150= 410, . P(y=410)= 0.05.又PDnCD = D,.AB，平面 PCD,ABXPC,得证.6分(2)解：作AELPC,垂足为E,连接BE.v RtAPACRtAPBC,

12、. BE, PC 且 AE= B,由已知，平面PAC,平面PBC,AEB=90°,/AEB=/PEA=/PEB=90°, AE=BE, AB=PA=PB, RtAAEBRtAPEARtAPEB, AAEB> PEA、 PEB 都是等腰直角三角形,.PAC、APBC也是等腰直角三角形，由PC = 4,可得AE=BE = 2, 4AEB的面积为2,又; PC,平面ABE, 三棱锥P ABC的体积V=X 2X4=1.12分 3320.解：(1)当P为椭圆的上顶点或下顶点时， PF1F2的面积取最大值，为gx 2cX b=V3b2, . c=V3b,又a=y b2 + c2=

13、2b, . . e=4 分(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，由题意可知，圆心M( 2, 1)是线段AB的中点且|AB|=W0.显然，直线AB的斜率存在，设为k,则直线AB的方程为y= k(x+ 2)+1,代入彳# (1 + 4k2)x2+ 8k(2k+ 1)x+ 4(2k+ 1)2 4b2= 0,皿8k(2k+1)A(x1, y1)、B(x2, y2),则 x1 + x2= 1 +4k2 ,B由 xi + x2= 4,故 y =25X0.1 + 75X0.2+ 140X 0.3+220X 0.2+310X 0.15+ 410X 0.05= 170.5.估计1月份该市居民用户

14、平均用电费用为170.5元.12分18. (1)解：由1, an, Sn成等差数列得2an=1+8，又可得 2an+1 = 1 + Sn + 1 ，一得 an+1 = 2an,当 n = 1 时，2a1 = 1 + Si = 1 + a1,a1 = 1,数列an是首项为1,公比为2的等比数列，an=2n-1, Sn = 2an1=2n1.一与分11(2)证明：vn N , .-.2n 1>1, 2n>2n 1+1, Sn = 2n-1>2n 1, 5&a,则+ 41 + *+=+/ =1 21 = 2-21 n<2,得证.分 S1 S2 S3Sn222 I 21

15、9. (1)证明：.PAB是等边三角形，.二PB=PA, 又/ PAC=/PBC=90°, PC=PC,RtAPACRtAPBC, .AC=BC,如图，取AB中点D,连接PD、CD,则 PDXAB, CDXAB,8k(2k+1)12可得一lT = -4,解得"e则x1x2=8-2心则 |AB|=y 1 + g)2 |xi x21 =2/(xi + x2)2 4xix2=、1 10(b2-2)=口0,解得b2 = 3,则椭圆E的方程为第+七=1.仅分 12 33321.解：(1)f (x) = lnx+2,令 lnx+ 2=0,得乂=31.5,在(0, eT5)上，f (x)

16、<0, f(x)单调递减；在(eT5, +8)上，f (x)>0, f(x)单调递增.f(e 1.5)= e 1.5为 f(x)最小值.当 x一0 时，f(x)<0且 f(x)一0； x一十 00时，f(x)一十 oo.若方程f(x) = m有两个解，则m (-e 1.5, 0).一与分1设lnx= t,则x= et, kf(x)>lnx恒成立等价于k(t+2)et>t恒成立,设函数 g(t)=(1+2i)et,则 g 0)=(1+,_嬴=(2t 胃Ue2t- 12t2+1)e ,.我2+表2)7?54?+752?=+ b2ac+c2ab，(一OO, 1)t= 1

17、(1,0)1 (0,2)1 t=21、(2, +00)g' (t)十0一一0十g(t)/极大值极小值/又(ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2a2bc + 2b2ac + 2c2ab>3(a2bc+ b2ac+ c2ab)= 3abc(a + b + c), (ab+ bc+ ca)2= 36>3abc(a+b+c), abc(a+b+c)< 12, abc(a+b+c)的最大值 为12.。分1当 t= 0 时，k(t + 2)et>t 成立;当t>0时，g（t）>k恒成立，g。）在（0, + OO）上的最小

18、值为g（2） = 2，e,1_1_k<2加，2艰1_1当t<0时，g（t）<k恒成立，g（t）在（一°0, 0）上的最大值为g（-1）=2e, k>2e, 0<k<2e.综上，kC （2e, 2e）. T2 分22.解：（1）二.（狂1）2（入一1）2=4, 曲线C的普通方程为：x2黄=4;设直线l与极轴的交点为Q,则点Q的极坐标为（3, 0）,直角坐标为（3, 0）,c 35x=3一学直线l过点Q（3, 0）且倾斜角为 芋，则l的参数方程为： 12 （t为参数）.与分y=5t3x=3看 t1(2)将1(t 为参数)代入 x2y2 = 4,得2t2 373t+5= 0,y=2t设方程的两根