《chaper松弛算法》ppt课件

1、Chapter 7:拉格朗日松弛算法7.1 基于规划论的松弛方法基于规划论的松弛方法7.2 拉格朗日松弛实际拉格朗日松弛实际7.3 拉格朗日松弛的进一步讨论拉格朗日松弛的进一步讨论7.4 拉格朗日松弛算法拉格朗日松弛算法7.5 运用案例运用案例:才干约束单机排序问题才干约束单机排序问题主要内容:目的值最优值基于数学规划: 分支定界法、割平面法、线性规划松弛再对目的函数可行化等的目的值。现代优化算法：忌讳搜索法、模拟退火法、遗传算法、蚁群算法等的目的值。其它算法：分解法、组合算法等的目的值。下界算法：线性规划松弛、拉格朗日松弛等的目的值。例子1: 线性规划松弛: 在7.1.1中,将整数约束松弛为

2、实数, 称其为7.1.1的线性规划松弛:min7.1.2,. .TLPnZc xAxbstxR注: 定理7.1.1: 此类算法适宜于整数规划问题中,决策变量为较大整数的情形. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线性规划问题的最优解; 第二阶段为将解整数化,并思索可行性.LPIPZZ例2: 对偶规划松弛方法: 7.1.2的对偶方式为:max7.1.3,. .TDPTnZy bA ycstyR其中Y为决策变量.注:由对偶实际知,7.1.2和7.1.3有一样的最优值,至于采用其中的哪个模型求解7.1.1的下界,需比较哪个计算简单.例3. 代理松弛法:当(7.1.1)中的约束太多时,代理松弛一个约

3、束替代(7.1.1)中的K个约束极端情况可以用一个替代全部111()kknKKi jjijkkaxb 1,1kkni jjijaxbkK111()nmmi jjijkkaxb 注: 代理松弛法保证目的函数,整数规划约束不变, 显然,由代理松弛法求得的解不一定可行例4. 拉格朗日松弛方法根本原理: 将目的函数中呵斥问题难的约束吸 收到目的函数中,并坚持目的函数的线性,使问题容易求解.Q:为什么对此类方法感兴趣?A: (1). 在一些组合优化中,假设在原问题中减少一些约束,那么使得问题求解难度大大降低.(我们把这类约束称为难约束). (2). 实践的计算阐明此种方法所得到的结果相当不错.7.1 基

4、于规划论的松弛方法松弛的定义7.1.1: 问题整数规划模型:min7.1.1,. .TIPnZc xAxbstxZ:min( )RRRx SRPZzx满足以下性质时,称为7.1.1的一个松弛(relaxation).可行解区域兼容:目的函数兼容:( ),TRc xzxxS RSS其中, 为7.1.1的可行域.S例7.1.1 set covering problem问题描画: 设 ,一切 ,且每一列对应一个费用 , 表示第j列覆盖第i行,要求在最小的费用下选择一些列,使其覆盖一切的行.()ijm nAa0,1ija (1)jcjn 1ija 11min(). .1,10,1,1nscjjjni

5、jjjjzc xSCsta ximxjn松弛问题:111min(1)(). .0,1,10nmnLRSCjjiijjjijjzc xa xLRSCst xjn松弛模型:11min(). .0,1,10nmLRSCjjijijzd xLRSCst xjn1mjjiijidca以上问题很容易求得最优解1,0*0,jdxother7.2 拉格朗日松弛实际min,():. .,.TIPnZc xAxbIPstBxdxZ难约束（简单约束）|,nSxZAxb Bxd( )min():,. .TTLRnZc xbAxLRBxdstxZ（简单约束）原整数规划问题拉格朗日松弛|nLRSxZBxd定理7.2.1

6、LR同下整数规划问题(7.2.1)有一样 的复杂性,且假设IP可行解非空，那么:0,( )LRIPzz min. .(7.2.1)Tnc xst BxdxZ( )min():,. .TTTLRnZcA xbLRBxdstxZ（简单约束）min,():. .,.TIPnZc xAxbIPstBxdxZ难约束（简单约束）证明:注:定理7.2.1阐明拉格朗日松弛是IP问题的一个下界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:0()max( )LDLRLDzz定义7.2.1 假设 ,满足以下条件,那么称D为凸集., x yD(1),01xyD1( )|,1iiiiiiCon QPPR|1,2,iQP i对于

7、离散点集 ,其凸包定义为:显然Con(Q)为凸集.定理7.2.2 假设拉格朗日对偶问题的目的值有限,那么min|,( ) |,TLDnzc x Axb xCon QQx Bxd xZ其中：证明:()()( )min()min ()min ()TTTLRx QTTTx Con QTTx Con QzcA xbcA xbc xbAx设Con(Q)的极点为 ,极方向为 那么:|kxkK|jrjJ, ()0min()(),:TTjTTTTkTkx Qif jJcA rcA xbc xbAxother kK 由LD问题有限,那么有:000max( )maxmin()TTkTkLDLRk Kzzc xbA

8、x Tj存在， jJ,使得(c -A)r0上述问题等价于:max(),. .()0,0LDTkTkTTjzc xbAxkKstcA rjJ 整理得:max(),. .,0LDTkTkTjTjzAxbc xkKstArc rjJ 其对偶问题为:min()1. .()0,;0,.kLDkjjk Kj Jkk Kkjkkkk Kk Kk KkjzcTxrstAxrbkKjJ即有:()min. .TLDx Con Qzc xstAxb推论推论7.2.1: 对于任给对于任给c,整数规划问题整数规划问题IP和拉和拉 格格 朗日对偶问题朗日对偶问题LD的目的值相等的充要条件为的目的值相等的充要条件为:(|)

9、( )|nnCon QxRAxbCon QxRAxb证: 显然有 |( )|nnQxRAxbCon QxRAxb(|)( )|)( )|nnnCon QxRAxbCon Con QxRAxbCon QxRAxb从而有:再由定理7.2.2:(|)() |minminnnTTIPLDx Con Qx RAx bx Con Qx RAx bzc xzc x假设对任何c有 ,那么问题得证.IPLDzz例7.2.1 假设整数规划问题IP12121212122min 7224520227. .7.2.224IPzxxxxxxxxstxxxZ 第一个约束为复杂约束,其拉格朗日松弛后的模型LR为:121212

10、122( )min (7)(22 )4 520227. .27.2.34LRzxxxxxxstxxxZ 43211234l2l1l4l3EDCBA41(,)1717T7.2.3图解表示下降方向最优解 (7,2) (3,4) -29 (7.5,1) (4,0) -32 (8,0) (4,0) -32( )LRz0121(7,22 )T12( ),( )Txx( , *)LRzx22722(,)53655365T单位化下降方向:2272212lim(,)(,)5553655365TT最优值只能在(4,0)和(3,4)两点得到,过这两点的直线方程:y+x4=16.其垂直方向为:41(,)1717T2

11、2722411,(,)9171753655365T综合有:1290119( )( )281992889LRLDLRzzz 例7.2.2(继7.2.1) 例7.2.1中 (2,2) ,(2,3) ,(2,4) ,(3,1) ,(3,2) ,(3,3) ,(3,4) ,(4,0) TTTTTTTTQ 12121(|24)2( )|24nnSCon QxRxxSCon QxRxx 43211234DCB1224xx 43211234DCB1224xx S1S2由推论7.2.1可以知道, 由两个要素有关:第一个要素是目的函数中的C,推论7.2.1要求对一切的C满足S1=S2,但也能够存在某个C使得 I

12、PLDzzIPLDzz第二个要素是可行解的区域.由上面的图形可知,SI和S2不同,所以存在一个C,使得 不为零,如在例7.2.1中, ,在 到达拉格朗日对偶问题的最优值,其最优解为(4,0); ,其一个最优解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛在某个 下到达的最优解为原问题的可行解,我们也不能断言 .除非此时 .IPLDzz8289LDz 1928IPz IPLDzz0定理7.2.3 假设线性规划松弛问题LP存在可行解,那么LPLDIPzzz注:此定理阐明,拉格朗日松弛对偶后的目的值 是IP 问题的一个下界,且不比 差.LDzLPz定理7.2.3 的充要条件是存在 和 使得:IP

13、LDzz*0*|,nxxZAxb Bxd112212* ()(0)( *, *)* (*)( *)(0)TTTLRbAxzxc xbAxz 证明：、充分性：212( *)( *, *)*TLDLRLRIPzzzxc xz、必要性：记为问题的最优解，为问题的最优解，那么：*x*( *)* (*)( *)( *, *)* (*)( *)( *, *)TTLDLRLRTIPLRzzc xbAxzzxzbAxzzx* (*)( *)( *, *)IPLDTLRzzbAxzzx12* (*),( *)( *, *)TLRbAxzzx 记：212( *, *)* (*)( *)TTLRzxc xbAxz则

14、：例7.2.3 (继例7.2.1) 时, 为问题的一个可行解,此时:1*9*(4,0)x 121*(*)( 44)9( *, *)*(*)882828( *)99TLRbAxzxc xbAxz 21288099IPLDzz其中，有，故：普通情况下,可大致估计:121*(*)( 44),2( *, *)*(*)284( *)TLRbAxzxc xbAxz 32( *)322840,4LRIPLDzzz 2于是：故：7.3. 拉格朗日松弛的进一步讨论目的: 对非规范的拉格朗日方式讨论.一、等号约束的松弛121212()()()(),ijjiijjiijjiiiijjiiijjiiiijjiiiia

15、 xba xba xbba xba xba x nj=1nnj=1j=1nnnj=1j=1j=1将等号约束写成标准形式：，把两个约束吸收到目标函数有：若令则 无非负约束。二、LR最优解和LP最优解的关系( )( )TIPxIPc xzTLRn+对于给定的0，z ( )=minc x+ (b-Ax)（LR）s.t.BxdxZ的最优解为问题可行，并不能有详细例见例7.3.1。定理7.3.1 的充要条件为：IPLDzz*0* ()0,( *)( *, *)TLRxIPbAxzzx存在，为可行解，使得：三、拉格朗日松弛的整数性定义7.3.1 假设LR的最优解与其整数约束无关，那么称该问题具有整数性，即

16、：( )min(). .()( )min(). .TTLRnTTLRLnzc xbAxBxdstxZLRLRLzc xbAxBxdstxR与线性松弛最优解相同。定理7.3.2 假设LR具有整数性，那么LDIPzz四、 拉格朗日分解1minminmin(). . . .,( )min(7.3.8). .TIPTTTIPnnnTTLRnzc xzc xc xxyAxbAxbAxbxystBydstBxdstBydx yZxZx yZzc xxzandAxbstxZ2( )min(7.3.9). .TLRnyBydstyZ1212( )( )max( )( )LRLRIPLDLRLRzzzzzz有：

17、其对偶形式：7.4 拉格朗日松弛算法7.4.1 次梯度算法subgradient optimization定义：凹函数 函数 满足以下条件称为凹函数 1:mg RR(1) )( )(1) ( ),mgxyg xg yx yR定理7.4.1 假设LR的可行解集合Q为有限个实数点集，那么以下函数为凹函数( )min()|TTLRzc xbAxxQ定理7.4.1 函数为凹函数的充要条件为：1*,( ,) ,( *)( )( *)mTmTmxRsssg xg xsxxxR 使得：证明 必要性：设 为凹函数，那么( )g x112211221212121212( , )|( )(,),(,)(,)(1)

18、(,)(1),(1):(1)()(1) ()(1)Hx zzg xandx zxzHx zxzxxzzgxxg xg xzz有:满足H为凸集, 为边境点,所以存在过 和法方向 的支撑超平面 满足:( *, ( *)xg x( *, ( *)xg xs( *)( )( *)Tmg xg xsxxxR 充分性:1212,01, *(1)x xxxx有：1122121212( *)()( *), ( *)()( *)( *)(1)*)()(1) ()( *)()(1) ()TTTg xg xsxxg xg xsxxg xsxxxg xg xg xg xg x则有：即：ABC3S4S( )LRz( )

19、LRz函数示意图定义7.4.2 假设 为凹函数,在 向量满足: 1( ) :mg xRR*mxRmsR( *)(*)( )Tmg xsxxg xxR 那么称 为 在 的一个次梯度,一切的次梯度集合记为: ( )g xs( *)g x*x定理7.4.3 假设 为凹函数, 为 的充要条件为( )g x*xmax ( )|mg xxR0( *)g x 定理7.4.4 设LR的可行解集合Q由有限个整数点组成,其极点为 有: ()kxkK( *)min* ()TTLRk Kzc xbAx* |( *)(), |,1,0( *)TiTiLRiiiiiiLRi IIi zc xbAxiI sbAxs ssz

20、*LR记：则对任意为z ()的次梯度且：证明:*( ) (*)()()() ()( )( *)i TTiTiTiTiTiTiLRLRsbAxbAxc xbAxc xbAxzz 注: 假设 不是最大值点,那么相交的两个同目的值的平面 满足 *1122:()():()()TiTiTjTjc xbAxDc xbAxD12*DD且,两平面的法方向交角不超越90度.当 不是光滑点是,在 的邻域内,当 充分小时,存在 ,使得:*max *,0isjI( )()TjTjLRzc xbAx由 内一切次梯度夹角不超越90度,有( *)LRz( )( *)(*) ()()()0TjijLRLRzzbAxbAxbA

21、x由上面的讨论可得次梯度优化算法如下:STEP1: 任选初始拉格朗日乘子 STEP2: 对 ,从 中任选一个次梯度 ,假设 那么停,否那么 反复STEP2.,1ttt()tgts0ts 1max,0, :1tttstt 注:1、 的选取:10:,0,(,1981):,01( )( ):|ttttUPLPtttatFisherbztztcs 2、停顿准那么：:0(),|:( )( ):()tttLRUPLPttLRaTb szorsc ztztdz迭代次数上限或在一定步数内变化不超过某给定值7.4.2 拉格朗日启发式算法Step1: 拉格朗日次梯度法求IP下界Step2: 对所求解可行化例7.4

22、.1 假设集合覆盖问题SC经过前面的松弛得到一个解 ,当其不可行时即存在i使得12(,)nxx xx10nijjja x一个可行化方法是求k,满足1min|1kji jj ncca 反复以上步骤,直到一切行都被覆盖.集合覆盖问题的拉格朗日松弛算法:Step1: 初始化0,0tStep2: 计算()tLRzStep3: 假设一切行被覆盖,stop; or 记 表示第i行没有被覆盖,在没有被覆盖的行中任选一行k,计算1is min|1,1,kjkjkdas其中1mtjjljldcaStep4 : 11,2tkktitiikttstepik 返回例7.4.2 对集合覆盖问题12341314234mi

23、n23451. .110,1,1,2,3,4jxxxxxxstxxxxxxj假设:(1.5,1.6,2.3)T1234( )min 1.10.80.31.25.3LRzxxxx( )LRz最优解为:(1,0,0,0,),( )4.2LRxz第三行没有被覆盖,在可覆盖第三行中选费用最小的列min0.8,0.3,1.20.3代替1231.501.602.20.3124( )min 1.10.50.9 5.64.5LRzxxxLR1324最优解为:x =x =1,x =x =07.5 案例运用 才干约束单机排序问题111mod:min,1,2,1max ,11,0.0,1,2;1,2,0iniiiT

24、ititniitiittiiitititelZTxd ina xsYc tT inifxstYotherintx（1）（2）（3）:iiitiiTdxtidiati：完成 所需要的时段；： 时段产品的产量；产品的需求；：产品i的单位产品所占用的生产能力；c ：t时段可提供的生产能力；s： i产品的生产准备所占用的能力。约束条件(1): 产品需求两约束约束条件(2): 个时段产能约束约束条件(3): 预备时间,ititixY T为自由变量，为因变量下算法的根本思想是将 中较大权数所对应的产品尽能够早地消费,1iin Step1: 当 时, ,依时段t才干 约束(2),将 尽能够往前安排直到 全部

25、 消费,能够出现以下几种情况: (a)假设 的全部需求没有全部消费,且时段t的才干足以满足 的消费预备，那么以时段t的最大余才干消费 ，剩余未能消费的分到 时段， 前往step1; (b) 假设的全部需求已消费，那么当 时停顿，否那么 前往step1; (c)假设 没有全部产出，且无法在该时段消费， 那么 ,前往step1;Step0: ,从第一时段 开场;,1,2SUn1t U*max|iiiU*i* id*i*i*i1t 1tt *i *SSi1,SnUUS *UUiStep2: 假设 那么 前往step2.,1,USn1,1,ttUnS 算法才干约束排序问题的拉格朗日松弛算法0111mod