小学奥数知识系列之---扑克牌中的数学游戏

1、学习必备欢迎下载小学奥数知识系列之-扑克牌中的数学游戏有一种叫“ 24 点”的游戏曾经风靡美国、日本等许多国家，深受青少年朋友的喜爱。这种游戏将两张王牌去掉，把A、J、 Q、 K 分别看作1 点， 11 点、 12 点、 13 点，或者将它们均看 1 点，其余牌面是几点，就是几点。玩的规则不尽相同，其中有一种方法是：（ 1）四个人每人抓到 13 张牌，每人每次从手中任意抽取一张牌。（ 2）参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行、×、÷、（）运算，使结果为 24。（ 3）谁先列出， 谁就得 1 分，牌入底； 若四人均无法列出， 则无人得分， 牌也入底。（ 4）再次每人任意抽取一

2、张牌，再次按（2）（ 3）规则进行。（ 5）重复（ 2）、（ 3）、（ 4），直至每人手中13 张牌全部用完为一局，得分多者为胜。例如，抽出的四张牌为3、 4、7、 11，可以这样计算：（ 7 4）×（ 11 3） 3×8 24，或（ 7 11）÷ 3×418÷3×46×4 24这是一种非常有趣的游戏，下面我们一起来试一试：例 1抽出下面四组牌：（A， J， Q， K分别为 1 点， 11 点， 12 点， 13 点）（1）2，3，4，5（2）3，4，5，10（3）K，7，9，5（4）J，6，Q，5你能算出24 点吗？分别：

3、 要想比赛获胜， 必须有一些技巧。 那就是要非常清楚 24 可以由怎样的两个数求得，如 2×12 24，4×6 24，3×8 24，18 624，30 624这样就可以把问题转化成怎样使用 4 个数，凑出两个数的问题， 其中有一点值得大家注意， 就是四个数的顺序可以依据需要任意安排。解：（ 1）依据 2×12 24，可得 2×（ 3 4 5） 24，（ 2）依据 3×8 12，可得 3×（ 10÷5×4） 24，（ 3）依据 4×6 24，可得（ 13 7）×（ 9 5） 24，学习必

4、备欢迎下载（ 4）依据 18 6 24，可得（ 11 5）（ 6 12） 24说明：上面各题的解法并不一定是唯一的，如依据 4×6 24，也可得第（ 2）组为 4×（ 10×3÷5） 24，可是，就因为这样，才非常激烈、刺激。例 2 如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“ 19”中的同一数字的牌， 请你帮忙想一想哪种情况可以算出“ 24”？怎样算？分析：四人抽出同一数字的牌有9 种情况， 4 个 1，4 个 3，4 个 44个 8，4 个 9，现在的问题转化为如何使四个相同的数字（19 中的一个） 填加运算符号， 得“ 24”的问题。由于 4 个数字相同，用乘法

5、关系最后求得“24”就不太容易，应考虑、关系，27 324， 25 1 24，20 4 24，12 1224经过尝试，我们发现，4 个 1，4 个 2，由于数太小，无法算出“24”，而4 个7，4 个8，4 个9 由于太大，也无法算出。其余可以实现。解：依据27 3 24，可得3×3×3 3 24，依据20 4 24，可得4×4 4 4 24，依据25 1 24，可得5×55÷524，依据12 12 24，可得（66）（6 6） 24，说明：有些不能算出 24，可能是由于我们知识水平的限制，而并非真的不能，如请同学们想一想 4 个 10， 4

6、个 11， 4 个 12， 4 个 13 你能求解吗？由上面的例子， 我们可以很自然地想到这种游戏可以发展成一类专门的数学的问题，下面我们就来研究。例 3填上适当的运算符号，使算式成立（ 1）4444 5（ 2）4444 6（ 3）4444 7（ 4）4444 8（ 5）4444 9（ 6）4444 10分析：（ 1）4 4 4 4 5，最后一个 4 前面是三个 4，如可凑出 1， 14 5，如可凑出 20，20÷4 5，4×4 4 20，因此可求解。学习必备欢迎下载（ 2）4 4 4 4 6，最后一个 4 前面是三个 4，如可凑出 2， 24 6；即（ 4 4）÷

7、;4 2，因此可求解。（ 3） 4 4 4 4 7，前面两个 4 4 8，后面两个 4 得 1 即可求解， 4÷4 1 刚刚好。（ 4）和（ 6）可利用（ 3）的思路稍加变化就可以求解。（ 5） 4 4 4 4 10，最后一个 4，前面如是 6， 6 4 10 可求解，但不易做到。如前面是 40，40÷4 10 也可以求解， 44 4 40，数字连用在这类题目中是常用的一种技巧。（题目中没有限制，当然是可以这样做的）。解：（ 1）（ 4×4 4）÷ 4 5（ 2）（ 4 4）÷ 4 4 6（ 3）（ 4 4） 4÷4 7（ 4）（ 4

8、 4）× 4÷4 8（ 5）（ 4 4）+4÷4 9（ 6）（ 444）÷ 4 10说明：（ 1），（ 2），（ 6）中的解题思路是一种倒推的方法，这是一种常用的，行之有效的方法同学们加以掌握。 （ 4），（ 5）中解题思路是依据数字的特点，这种方法，依赖于良好的数感，需要大家经过一段时间的训练才能获得。例 4不用（），且运算符号不超过三次，添在适当位置，使下面的算式成立。999999999=1000分析：不使用（），运算顺序只能从左往右，先×、÷后、；运算符号不超过三次，就会得到一些多位数。首先选一个多位数尽可能接近1000，可选

9、999，1000 999 1，后面 6 个 9 要得到“ 1”，就很简单了999÷999，问题可求解；还可以用另一种方法接近1000，9999÷9 1111，1111 1000111，后面 9999 想办法等于 111，999÷9 111，问题也可解出。解： 999999÷999 10009999÷9999÷9 1000学习必备欢迎下载说明：先靠近所求数，再进行适当调整，这是一种非常行之有效的方法，在数字比较多时常常用到。当然此题还有其它方法，同学们可以用上面的思路再试一试。例5填入适当运算符号，使下式成立。9876543211000

10、分析：此题中91九个数字各不相同，位置固定，初看与前面的例题有很大不同，但是经仔细读题，认真分析，我们可以发现，做此题时，、×、÷（）均可使用，运算符号用多少次没有限制，数字可以连用，也可以分开，条件很宽松。 由于 1000 数比较大，我们也采用例4 中靠近结果，再凑较小数的方法解决。可以用987 6 993，再用 5 4 3 2 1凑成 7 即可，这个方法就很多了。还可以取前边987 和后边的21 相加得 1008 ，中间的 6 5 43 凑成 8 就行了。解： 987 6 5 43×2×1 1000987 6 54 3+21 1000987 6（ 5

11、 4）×（ 3×2 1） 1000987 6 5（ 4 3）× 2×1 1000987 （ 6 5 4 3） 21 1000说明：此题还有许多解决，但不论哪种方法，都遵循先靠近结果，再凑较少数的原则，大家可以再想想，你还能想到什么方法？例 6在下列算式中合适的地方，填上括号，使算式成立。（ 1） 45×68÷4 2 30（ 2） 45×68÷4 2 39（ 3） 45×68÷4 2 21（ 4） 45×68÷4 2 140分析：（ 1）从最后一步逆推，减2 前面的式子得32，

12、还从后面入手，这就需要45×6 8，填上适当的括号得 128，尝试发现括号的填法有两种（ 4 5）× 6 8， 45×（6 8），分别得 128， 74，因此括号的填法为 （ 4 5）× 68 ÷4 230学习必备欢迎下载（ 2）从最后一步逆推，减号前面的式子要得41，还从后面入手要求45×6 841×4这是无法实现的。从前面入手考虑，就应设法使5×68÷4 2 35，还从前面想这就需要 68÷4 2 7，可从这样实现（6 8）÷（ 4 2）。因此括号的填法为45×（ 68）

13、÷（ 4 2） 39（ 3）从后面减 2 前面的式子得 23 才能有解， 可 45×68÷4 无论如何填加括号，都不可能现实。把 4 2 放在一个括号里等于 2，i 除号前面的式子就要得 42，通过观察容易发现， 45×6 8 按顺序计算就可得 42，所以此题括号的填法是（ 45×6 8）÷（ 4 2） 21（ 4） 140 比较大，应充分发挥“×”的作用，使“×”左右两侧的因数尽可能大，即（ 4×5）×（ 6 8） 280，再缩小 2 倍，就是所求结果，正好“÷”后面4 2 2，所以

14、此题括号的填法是（ 4×5）×（ 68）÷（ 4 2） 140解：（ 1） （ 45）× 68 ÷4 2 30（ 2） 45×（ 6 8）÷（ 42） 39（ 3）（ 45×6 8）÷（ 42） 21（ 4）（ 4×5）×（ 6 8）÷（ 4 2） 140说明：填括号时既可以用“（）”，也可以根据需要用“ ”，从一端想起经过尝试，淘汰，最终可以找到解题方法。阅读材料数学符号的起源数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。数学符号的发明和使用比数字晚，

15、但数量多得多。现在常用的200 多个，初中数学书里就不下20 多种。他们都有一段有趣的经历。例如：（1）加号曾经有好几种，现在通用“+”号。“+”号是由拉丁文“ et ” （“和”的意思）演变而来的。也有人说，卖酒的商人用“- ”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“ - ”上加一竖，意思是把原线条勾销。这样就成了个“ +”号。到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定： “+”用作加号，“ - ”号用作减号。 （ 2）乘号曾经用过十几种，现在通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631 年提出的； 一个是“ •”， 最早是英国数学家赫

16、锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”向拉丁字母“ X”， 加以反对，而赞成用“ •”号。到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号，他认为“×”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号。（3）“÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直学习必备欢迎下载到 1631 年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的 代数学 里，才根据群众创造， 正式将“÷”作为除号。 （ 4）十六世纪法国数学家维叶特用“ =”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考

17、尔德觉得： 用两条平行而又相等的直线来表示两数量相等是最合适不过的了，于是等于符号“ =”就从 1540 年开始使用起来。 1591 年，法国数学家韦达大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。练习题1 在“ 24”点游戏中提出了下面几组牌，你能很快求出“24”吗？（ 1） 1， 3，5， 7（2）2，5，7，9（ 3） 1， 3，9， 10（4） 10，4， 10， 4（ 5） K， Q，J， J（6）Q，10，Q，1分析：（ 4）10×10 100 是 4 的 25 倍， 100 4 96，正好是4 的 24 倍，所以可以这样做（ 10×10 4）÷ 4 24（ 5

18、） K， Q，J， J 即 13， 12，11， 11，依据 251 24 可得 13 1211÷11 24（ 6） Q， 10， Q， 1 即 12， 10， 12， 1，依据 12×2 24 可得 12×（ 12 10）× 124解：（ 1）（ 5 7）×（ 3 1） 24（ 2）5×7 9 2 24（ 3）（ 1 10）× 3 9 24（4）（ 10×10 4）÷ 4 24（ 5） 13 1211÷11 24（ 6）12×（ 12 10）× 1 242 在“ 24”点游

19、戏中，抽出了下面两组牌，你能求出“24”吗？（ 1） 3， 3，7， 7（ 2） 1， 5，5， 5分析：（1）用常用的方法无论怎么求都不能得出“ 24”，是否就没有办法了呢？当然不是，用乘法分配律的方法就可以求解（ 33÷7）×73×73÷7×7学习必备欢迎下载 24（ 2）用同样的方法求解（ 51÷5）×5 5×51÷5×5 24解：（ 1）（ 33÷7）× 7 24（ 2）（ 51÷5）× 5 24说明：熟练地掌握运算定律可以把题目化难为易，这里安排

20、这两个题是为了开阔同学们的眼界，拓宽同学们的思路。3 抽的四张牌恰好是“ 19”中从大到小连续排列的四张，这样的牌能算出“ 24”吗？分析：符合要求的组合有六组：即9， 8， 7， 6； 8， 7， 6，5； 6， 5， 4； 6， 5， 4，3； 5， 4， 3， 2； 4，3， 2， 1 不难发现它们均可求出24 点。解：（ 1）依据 4×6 24 得 8÷（ 9 7）× 6 24（ 2）依据 2×12 24 得（ 7 5）×（ 86） 24（ 3）依据 2×12 24 得（ 5 7）×（ 64） 24（ 4）依据 4&

21、#215;6 24 得 2×（ 3 4 5） 24（ 5）依据 4×6 24 得 1×2×3×4 24说明： 这个例子告诉我们不论从大到小， 还是从小到大， 连续取“ 19”中任意四个数均可凑成“ 24”。4 添上适当的运算符号，使算式成立。（1）66661（2）66662（3）66663（4）66664学习必备欢迎下载（5）66665（6）66666分析：（ 1）根据 A÷A 1，可得许多种解，如（ 6 6）÷（ 6 6） 1 或（ 6×6）÷（ 6×6） 1（ 2）根据 1 1 2，可得 6

22、÷66÷6 2（ 3）根据 18÷6 3，可得（ 66 6）÷ 6 3（ 4）根据 6 2 4，可得 6 （ 6 6）÷ 6 4（ 5）根据 30÷6 5，可得（ 6×6 6） 5（ 6）根据 0 6 6，可得 6×（ 6 6） 6 6 或（ 6 6）× 6 60解：（ 1）（ 6 6）÷（ 6 6） 1（ 2）（ 6÷6）（ 6÷6） 2（ 3）（ 6 6 6）÷ 6 3（ 4） 6（ 6 6）÷ 6 4（ 5）（ 6×6 6）÷ 6

23、 5（ 6）（ 6 6）× 6 6 05 用 7 个 7 组成 4 个数，并使运算结果为1007 ，7， 7， 7， 7， 7，7 100分析：首先要使一部分接近 100，777÷7 111，111 100 11，后面的 777 凑成 11 就可以了 77÷7 11，所以可以这样解：777÷777÷7 1006 在 9 个 9 之间填适当的运算符号，使下面算式成立。9999999992008分析：先要想办法使一部分靠近“ 2000”， 999999 1998， 2008 1998 10，后面的三个 9 凑成 10 即可。解： 999 9999&

24、#247;9 9 2008说明：前六个数也可以用其他方法求得 1998，如 999× （ 9 9）÷ 9 1998 这种题目往往不只一种解法。7 填上适当的运算符号，使算式成立。学习必备欢迎下载9876543212007分析：结果较大，先用一部分凑出与2007 相接近的数，即654×3 1962而 2007 1962 45，现在我们要办法使9， 8， 7，2， 1 凑成45，而45 2124， 98 7 24。解： 9 8 7654×3 21 20078 在 11 15 之间，选择恰当位置，填上适合的运算符号，使算式结果为100。11 12 13 14

25、15=100分析：原题的意思是使下式成立：1112131415100取 121 靠近100， 11121 31 101， 415 凑成“ 1”即可有解，（4 1）÷ 5 1。还可以取 111 靠近 100， 11121 90，3 1 4 1 5凑成 10 即可有解， 3 1 4 1 10此题还有许多方法，请同学们自己试一试。解： 11 121 31（ 4 1）÷ 5 100 或 111 21 3 1 4 1 5 1009 现有的牌为1 10，请从中选牌，每张牌只用一次，使下列“24”点游戏成立。（ 1）× 1124（ 2）（ 5）× 2 24（ 3）（&

26、#215; 10）÷ 4 11 24（ 4）× 3÷ 2 24（ 5）× 54÷4 24（ 6） 13× 3 10 24分析：观察这六个算式，我们发现（5），（ 6）很好确定所选牌是5 和 7。再观察余下的四个算式，（ 4）× 3÷ 2 24，× 3>24，可取 9，10，取 10 时，÷2 的方块在 110 中无值可取，所以×3 只能取 9，另一个中可以取 6。再来观察（ 3）（× 10）÷ 4 2424×4 96，所以× 10× 10100， 110 中，只能取10，另一个方中就只能取4。96，接下来看（ 1） +× 6+11 24，24 11 13， +× 6 13，× 6<13 的方格中