2.3刚体运动学和刚体转动惯量

1、Ssticm23:角动量守恒定律2.3.1刚体的定轴转动 2.3.2力矩 转动定律 转动惯量力矩转动定律转动惯量2.3.3刚体转动定律及其应用2.3,4转动中的功和能2.3.5角动量及其守恒引言:物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两点之间的距离都保持不变刚体。说明11理想化的力学模型：2）任何两点之间的距离在运动过程中保持不变;3）刚体可以看成是无数质点组成的质点系.刚体可以看成一个包含有大量质点、而各个质点间目离保持不变的质点系。231刚体的定轴转动、刚体运动h平动豊若刚体中所有点的运动 轨迹都保持完全相同,或者 说刚体内任意两点间的连线 总是平行于它们的初始位置 间的连线、刚体平动质

2、点运动0转动：冈咻中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动.©定轴转动非定轴转动刚体的一般运动 质心的平动+绕质心的转动、刚体转动的角速度与角加速度角坐标&=如) 约定 产沿逆时针方向转动0>Q 戸沿顺时针方向转动0<0 角位移A&訥+4)_如 角速度矢量.A6>&0co lim=o At dt険方方向：右手螺旋方向0)>0 <0角加速度0C =d厉dt刚体定轴转动（一维 转动）的转动方向可以用 角速度的正负来表示.定轴转动的特点1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面;2）任一质点运动A&,厉，压

3、均相同，但方,0不同;3）运动描述仅需一个坐标.当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动刚体匀变速转动与质点匀变速直巍运动公式对比质点匀变速直线运动刚体绕定轴作匀变速转动v = v0+atCD = CDrOCt% = %0 +如+寺a尸& =+ (JDt + yv = Vq + 2q(jv Xq )CD1 CDr 1(X(0 &o )例题：一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s匀减速地降到10rad/s 0求：角加速度；（2）在此5s内转过的圈数；（3）还需要多少时间轮子停止转动。解 根据题意，角加速度为恒量。(1)利用公式a = 

4、3;- = 10-15=lrad/s2 t50)利用公式0-久= 625radla 2x(-1)5秒内转过的圈数（3）再利用® =10rad/sa)= 0t = a)-co0a0-10=10s力通过转轴:转动状态不改变力离转轴远：容易改变力离转轴近：不易改变232力矩转动定律转动惯量一、力蔻1、引入外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。2、力对点的力矩M=FrsinOM = f xF3、力对转轴的力矩力对点的力矩在遇过点的轴上的投影称为力对转轴的力矩情况1：力与轴平行，则M=0#惜况2：刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内力臂：转轴和力的作用线之间的距离d称为力对

5、转轴的力臂。力矩蛊力的大小与力臂的乘积, 称为力F对转轴的力矩。M=FdM° d、4、合力矩Af = xF：M=TMt才=0,工胚=0结论：合力矩等于每个分力的力矩之和。§、单位N*m二、g动定律1、一个质点的情况法向力Fn=man,通过转轴，力矩为零 切向力FmamrU对转轴的力矩为Af= Ftr= mr2质点的角加速度与质点所受的力矩成正比2、内力矩两个内力的合力矩为零。推广：刚体的内力力矩之和为零。3、刚体的情况把刚体看成是由许多质点 所组成的，对于质点初假设它 的质量为m，所受的外力为 為内力为f计则其中他为外力矩和内力矩之和。合力矩=外力矩之和+内力矩之和=外力矩

6、之和=旳定义转动惯量丿M =Ja转动定律：刚体绕定轴转动时”刚体的角加速度与它所受的 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。说明：1）合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的;2）转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当,是解决刚体定轴转动问题的基本方程。三、转动慣量刚体的转动惯量等于刚体上 各质点的质量与各质点到转 轴距离平方的乘积之和2、说明转动惯量是标量' 转动惯量有可加性;3.转动惯量的计算若质量离散分布若质量连续分布r2 dm单位 / kgm2例1、求长为匚 质量为加的均匀细棒对图中不同轴的转动惯解：取如图坐标，d/w二九dxx2 Adx =0JcL2l x2Adx

7、= ml3 /12tlc>LXc 1AB<J pBL/2L/2园解:：口i dm例2、求质量为加、半径为尺的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。dm = a 17irdrdj = r2dm = a-27ir3dr2展2例2、求质量为祝、半径为人均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平 面垂直并通过盘心。解蛊取半径为旷宽为dr的薄圆环，O内半径为外半径为地 质量为加的匀质中空圆柱绕其对 称轴的转动惯量例4.质量为加半径为人的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯 量在球面取一圆环带”半径de例5、质量为加半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量把球体看作无数个同心薄球壳的组合J = -mR25

8、对通过盘心垂直盘面的转轴J=Ml2/12J=M 护RJ=MR 2/24、几种刚体的转动惯量垂直于杆的轴通过杆的中心垂直于杆的轴通过杆的端点5、影响刚体转动惯量的因刚体的总质量； 刚体的质量分布;转轴位置。四、平行轴定理推广：过质心的转动惯量为人，若有 任一轴与过质心的轴平行，相距为 刚体对其转动惯量为）则有平 行轴定理J =JC +m d 2。说明：1通过质心的轴线的转动惯量最小；2）平行轴定理可以用来计算剧体的转动惯量.解題步骤1确定研究对象;2&力為析；4列运动方程:5解方程;转动定;牛顿定233刚体转动定律及其应用题目类型已知两个物理量"求另一个t1已知/和M”求a2

9、已知用八求M3己知M和s求J必要时进行g注意以下几点：1力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的二2要选定转轴的正方向.以便确定已知力矩或角加速度.角速度的正负:3 系统中有转动和平动转动物体 平动物体例1、一个质量为M、半径为R的定滑轮 上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上” 另一端挂一质量为加的物体而下垂。忽略 三 轴处摩擦，求物体加由静止下落高度%时的解:对Mf=T,R=Ja对加：mgT、= ma解方程得：J=-MR22a =Ra ma =4mgh2m+Mv 1 I 4mghv = 2ah =光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平 位置，求它由此下摆e角时的角加速度和角速度。I

10、 I X解:；棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对0的力矩。当 棒处在下摆任意e角时，重力 矩为蛊mgM = qmgl cosG厂加二飞厂再求角速度do do dO doa = (Qdt dO dt dO*dmgcos6t? & = codcDf芳cos田& =cod CD吗n%21 2a)=3gsinadO-oda)小结转动惯量刚体的概念刚体的平动和转动刚体转动的角速度和角加速度J = I r2dm.& dO=lim =az->o M at_A<» do d20几种刚体的转动惯量垂直于杆的轴通过杆的中心J=M 冈12力矩M = f xF垂直于杆的轴

11、通过杆的端点J=M 冈3对通过盘心垂直盘面的转轴小结转动惯量小结转动惯量J=MR 2/2转动定律M =Ja2.3.4转动中的功和能一、力矩作功外力一F角位移de力F位移的大小ds=rd0作功为dW = Fds = FrdOcodW =Md0eW=MdO0(p = Frd0sin(p说明：力矩作功的实质仍然是力作功。对 于刚体转动的情况，用力矩的角位 移来表不。二、力矩的功率1定义：单位时间内力矩对刚体所作的功。2、公式=Mo功率一定时，转速越大，力矩越小; 转速越小，力矩越大。意义 表示力矩对刚体作功的快慢。刚体以角速度3作定轴转动 质元动能为：三、刚体的转动动能一距转轴速度为v-r.oEki

12、 =如尹;=勺皿整个刚体的动能就是各个质元的动能之和用转动惯量表示刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度的平方的乘积的一半。四、刚体绕定轴转动的动能定理设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角位移为 d0,合外力矩对刚体所作的元功为dW =Md0M=Ja=J dtdW = J -dO=J da)=Jco dodtdto刚体僥定轴转动的动能定理: 含外力蔻对挠定轴转动的剛 体所作的功等于刚体的转动 动能的增量.W=jdW =a)dG)0例题：如图所示，一质量为仏 半径为人的圆盘，可绕一无摩擦 的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为加的物体。问 物体由静止下落高度血时，其速度

13、的大小为多少？设绳的质量忽略不计。nrr 圆盘和物体的受力如图，对于根据转动动能定律TR0=丄丿血2_丄Jg)22 2J=-MR22对于物体来说，由质点动能定理，得mh Th = mv2 mv2 2由牛顿第三定律T =T由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有h = R0v = Rco解上述方程，可得235角动量及其守恒一.质点的角动量定理和角动量守恒定律1质点的角动量质点质量加，速度厂 位置矢量为匚 定义质点对坐标原点O的角动量厶为该 质点的位置矢量与动量的矢量积L = rxP = rxmv大小：L=rmvsmO方向：右手螺旋定则判定单位：kgm2/s量纲：ML2T1说明彭质点作匀速直线运动时，质点

14、的角动量L怎么变化?2、质点的角动量定理设质点的质量为加，在合力F的作用下，运动方程 d(mv) 一尸一 dGnv)Mdt = dLF =- rxF =r xL dtdt考虑到Mdt叫作冲量矩ddr 一r xmv) = rx mv) xmv dtdt dt(2J Mdt = L2 Lxfl丽一 一一八xv = v x v = 0 dt得质点的角动量定理：对同一参 考点，质点所受的冲量矩等于质点 嘯动量的增量。成立条件：惯性系所以站匹dtrxF = (r xmv) dr 73、质点的角动量守恒定律若质点所受的合外力矩为零，即胚=0,L=fxmv =恒矢矍角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外

15、力 矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。两种情况:a. 质点所受的外力为零b、外力不为零，合力矩为零特例：在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的 匀速直线运动。二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守粧“1、刚体定轴转动的角动量刚体上的一个质元，绕固定轴做圆周运动角动量为:厶=叫；3所以刚体绕此轴的角动量为:丄=厶=（刃"/）0IIL = J co刚体对固定转动轴的角动量-等于它对该轴的转 动惯量和角速度的乘积。2、刚体定轴转动的角动量定理由转动定律得荷dLM =dtMdt = dL积分得tLjMdt= jdL = L-L0当转动惯量一定时 J Mdt = J厉Jd&g

16、t;0当转动惯量变化时 J硕t =丿方-Joo刚体的角动量定理：当转轴给定时，作用在刚体 上的冲量矩等于刚体角动量的增量。3、刚体定轴转动的角动量守恒定律若刚体所受的合外力矩为零，即M=0帀=恒矢胄角动量守恒定律：当刚体所受的的合外力矩为零，或 者不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。讨论：分两种情况:1）如果转动惯量不变，刚体作匀速转动；2）如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小;当转动惯量变小时，角速度变大。花样滑冰运动员的旋转表演跳水运动员茹可夫斯基凳直升飞机1R1 -II3J fdt = jw(v v0)=m v例1

17、、如图所示，一质量为加的子弹以水平速度射入一静止悬于 顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速 度血。已知棒长为Z,质量为M o解:以f代表棒对子弹的阻力，对子弹有：34子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：J f Idt = Z j* f 9dt = J cd因两式得例2、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点, 杆的质量加与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度方o,令它自静止状态下垂，于铅垂位置和直杆 作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度伉解:碰撞前单摆摆锤的速度为% =70令碰撞后直杆的角速度为3,摆锤的速度为V，o由角动量 守恒，有z/zZOo ，）=JTg 式中7 =皿厂在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的：二式联立解得：仏按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为 h =：而杆的质心达到的咼度满足丄/a? = rnghc由此得力=2& = 3力0 / 2本小节回顾:刚体转动惯量的计算 刚体定轴转动的转动定律的应用 质点的角动量 刚体的角动量作业:13J经典力学的成就和局限性一、经典力学的成就是理论严密、体系完整、应用广泛的一门科学是经典电磁学和经典统计力学的基础促进了蒸汽机和电机的发明，为产业革命和电力