工程流力--第七章

1、工程流体力学工程流体力学中国矿业大学电力工程学院电力工程学院第七章 理想不可压无旋流动 7.1 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程 7.2 欧拉积分和伯努利积分欧拉积分和伯努利积分 7.3 理想流动的定解条件理想流动的定解条件 7.4 速度势和流函数速度势和流函数 7.5 几种简单的平面势流几种简单的平面势流 7.6 势流叠加原理势流叠加原理 7.7 平行流的圆柱绕流平行流的圆柱绕流 7.8 三孔圆柱形探针三孔圆柱形探针7.17.1 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程 p 理想流体运动微分方程：理想流体运动微分方程：p 将上式进行恒等变换并整理，改写成将上式进行恒等变换并整

2、理，改写成：上式称为兰姆型运动微分方程，简称兰姆方程。从该式可上式称为兰姆型运动微分方程，简称兰姆方程。从该式可直接看出流体的运动是否有旋直接看出流体的运动是否有旋。zvvyvvxvvtvzpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111)2(122vpfvtv)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfdtdvzzzzzyyyyyxxxxx7.27.2 欧拉积分和伯努利积分欧拉积分和伯努利积分 （1）流动是定常的）流动是定常的；p 下面讨论特定条件

3、下的运动微分方程：下面讨论特定条件下的运动微分方程：（2）作用在流体上的质量力是有势的作用在流体上的质量力是有势的：f（3）流场是正压的流场是正压的，即其密度只与压力有关即其密度只与压力有关：ppF1p 兰姆运动微分方程简化为兰姆运动微分方程简化为：vvpF2)2(27.2.1 欧拉积分欧拉积分p 对无旋流动，有：对无旋流动，有：0)2(2vpFp 积分，得：积分，得：CvpF22上式称为欧拉积分，它说明对理想流体，当流动定常、无上式称为欧拉积分，它说明对理想流体，当流动定常、无旋，且流场是正压时，流场中任一点的单位质量流体的质旋，且流场是正压时，流场中任一点的单位质量流体的质量力位势能、压力

4、势能和动能之和保持不变，处处相等，量力位势能、压力势能和动能之和保持不变，处处相等，且可相互转化且可相互转化。)2(122vpfvtvvv7.27.2 欧拉积分和伯努利积分欧拉积分和伯努利积分 p 对对有旋流动，可沿流线进行积分有旋流动，可沿流线进行积分：p 如果质量力只有重力，且流体是不可压的，则如果质量力只有重力，且流体是不可压的，则伯努利积分伯努利积分可改写为可改写为：7.2.2 伯努利积分伯努利积分上上式式与与沿流线的伯努利方程是一致的。对有旋流动，伯努沿流线的伯努利方程是一致的。对有旋流动，伯努利方程沿流线成立；对无旋流动，伯努利方程在整个流场利方程沿流线成立；对无旋流动，伯努利方程

5、在整个流场成立。成立。CvpF22上式称为伯努利积分。该式表明，当流动定常且流场正压上式称为伯努利积分。该式表明，当流动定常且流场正压时，对理想不可压流体或可压缩的正压流体，在同一流线时，对理想不可压流体或可压缩的正压流体，在同一流线上各点单位质量流体质量力的位势能、压力势能、动能的上各点单位质量流体质量力的位势能、压力势能、动能的总和保持为常数，且可相互转换总和保持为常数，且可相互转换。7.2.3 伯努利方程伯努利方程Cvpgz22fppF17.37.3 理想流体流动的定解条件理想流体流动的定解条件7.3.1 初始条件初始条件 p 初始条件初始条件：给：给定某一时刻，流场每一点上的流动状态定

6、某一时刻，流场每一点上的流动状态。p 对定常流动，不需要也不能给定初始条件对定常流动，不需要也不能给定初始条件。p 边界条件：边界条件：任一时刻，运动流体任一时刻，运动流体在在边界上所必须满足的条件边界上所必须满足的条件。1. 固体壁面上的运动学边界条件固体壁面上的运动学边界条件7.3.2 边界条件边界条件2. 无穷远或管道进口处的边界条件无穷远或管道进口处的边界条件3. 自由表面上的边界条件自由表面上的边界条件一般给定无穷远或管道进口处的一般给定无穷远或管道进口处的速度、压强、密度。速度、压强、密度。（1）运动学条件：）运动学条件：（2）动力学条件：）动力学条件：0)(nvvb绕流假设绕流假

7、设：0zFvyFvxFvtFzyxCppa7.4.1 势函数势函数p 无旋流：无旋流：p 此时，必存在一个函数，使得：此时，必存在一个函数，使得： 7.4 7.4 速度势和流函数速度势和流函数0vzvyvyzxvzvzxyvxvxydzvdyvdxvdzzdyydxxdzyxp 称函数称函数 为流场的速度势函数为流场的速度势函数，简称势函数简称势函数。zvyvxvzyx,速度势的梯度就是速度速度势的梯度就是速度：p 当流动为无旋时，一定存在势函数。无旋流亦称为势流当流动为无旋时，一定存在势函数。无旋流亦称为势流。 p 势函数的性质：势函数的性质：（1）势函数是在任何方向的偏导数等于该方向的速度

8、势函数是在任何方向的偏导数等于该方向的速度。7.4 7.4 速度势和流函数速度势和流函数（2）势函数势函数满足拉普拉斯方程：满足拉普拉斯方程：在柱坐标系中在柱坐标系中zvrvrvzr ,1 ,（3）在单连通域中任意位置的速度环量等于零在单连通域中任意位置的速度环量等于零。02222222zyx01122222222zrrrr在柱坐标系中在柱坐标系中0)(ddzvdyvdxvLzyxL7.4.2 流函数流函数 p 不可压平面流动的连续性方程：不可压平面流动的连续性方程：p 此时，必存在一个函数，使得：此时，必存在一个函数，使得： 7.4 7.4 速度势和流函数速度势和流函数yvxvyxp 称函数

9、称函数 为流函数为流函数。p 只要是平面流动只要是平面流动，一定存在，一定存在流流函数。函数。dyvdxvdyydxxdxyp 流函数与速度的关系：流函数与速度的关系： xvyvyx在极坐标系中在极坐标系中rvrvr ,1 p 流函数的性质：流函数的性质：（1）流函数的等值线为流线流函数的等值线为流线。7.4 7.4 速度势和流函数速度势和流函数（2）平面流场中任意两点平面流场中任意两点 A、B 的流函数值之差，的流函数值之差，等于等于通通过过A、B 连线的单位厚度的连线的单位厚度的流量流量。0dyvdxvdyydxxdxyABABnvdlxy1BBVxyAAdqvd Aivjvdl n dl

10、idxjdycossinsincosnndxdxdydydxdynnndlidxjdyidyjdx/nndldl BBBVxyxyBAAAAdqvd Aivjvidyjdxv dyv dx p 流函数的性质：流函数的性质：7.4 7.4 速度势和流函数速度势和流函数（4）等势线和等流函数线正交等势线和等流函数线正交。（3）势势流的流流的流函数函数满足拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程。等势线和流线所构成的正等势线和流线所构成的正交网络称为流网交网络称为流网。02xyvyxvyx0)(yyxx等势等势线线 簇簇 和流线和流线簇簇 相互垂直。相互垂直。常数),(yx常数),(yx7.5.1 平行流平行

11、流 p 流场中各点的速度大小和方向都相同流场中各点的速度大小和方向都相同：p 积分，得势函数：积分，得势函数： 7.5 7.5 几种简单的平面几种简单的平面势流势流00,yyxxvvvvdyvdxvdyvdxvdyxyx00yvxvyx00由于流场速度分量与势函数由于流场速度分量与势函数及流函数均及流函数均为偏导数关系，为偏导数关系，积分常数不起作用积分常数不起作用。dxvdyvdxvdyvdyxyx00 xvyvyx00p 积分，得流函数：积分，得流函数： 7.5.2 点源和点汇点源和点汇 p 流体在无限大平面上，从某一点沿径向流流体在无限大平面上，从某一点沿径向流出出（入）（入），这种流动

12、称为点源（点汇），这种流动称为点源（点汇），这个点称为源点这个点称为源点（汇点汇点）。p 点源或点汇的强度点源或点汇的强度为为 q，则：则： 7.5 7.5 几种简单的平面几种简单的平面势流势流p 列任一点与无穷远处的伯努利方程：列任一点与无穷远处的伯努利方程： rqvr20vrvrrdrqd2rqln2当当 r = 0 时，速度将变成无穷大，故源点和汇点均是奇点时，速度将变成无穷大，故源点和汇点均是奇点。rdvdrvdr2q222pvpr2228rqpp7.5.3 点点涡涡 p 涡旋强度为涡旋强度为 J 无限长直线涡，带动周围无限长直线涡，带动周围的流体产生环流，在与其垂直的平面上的流体产生

13、环流，在与其垂直的平面上看，它是一个平面点涡看，它是一个平面点涡。p 根据点涡的流动特点，显然有根据点涡的流动特点，显然有： 7.5 7.5 几种简单的平面几种简单的平面势流势流p 列伯努利方程：列伯努利方程： 0rvddrvdrvdr22当当 r = 0 时，速度将变成无穷大，故点时，速度将变成无穷大，故点涡涡是奇点是奇点。任何不任何不包含该点的封闭曲线，环量都为零，因而流动都是无旋的。包含该点的封闭曲线，环量都为零，因而流动都是无旋的。也就是说，环量和涡量都集中在涡点上也就是说，环量和涡量都集中在涡点上。drrrdvdrvdr2rln2根据斯托克斯定理根据斯托克斯定理：rvl dvJL2r

14、v22228rpp22vpp p 势流迭加原理势流迭加原理：两种以上的简单平面势流迭加形成的流动仍两种以上的简单平面势流迭加形成的流动仍是势流，叠加后的流函数和势函数等于各简单势流的流函数是势流，叠加后的流函数和势函数等于各简单势流的流函数和势函数的代数和，叠加后的的速度也是各简单势流的速度和势函数的代数和，叠加后的的速度也是各简单势流的速度的矢量和。的矢量和。p 叠加后的势函数叠加后的势函数： 7.6 7.6 势流势流叠加原理叠加原理p 叠加后仍然满足拉普拉斯方程：叠加后仍然满足拉普拉斯方程： 叠加两个或更多的流动组成一个新的复合流动；复杂的流叠加两个或更多的流动组成一个新的复合流动；复杂的

15、流动可分解成几个简单的流动动可分解成几个简单的流动。321xxxxvvvv321yyyyvvvv32132221223222122 p 将点汇和点涡将点汇和点涡迭加迭加，形成形成新新的的势流：势流：p 径向速度和切向速度径向速度和切向速度： 7.6 7.6 势流势流叠加原理叠加原理p 由伯努利方程可求的压强分布：由伯努利方程可求的压强分布： 在旋风燃烧室、离心式喷油嘴和离心式除尘器等设备中，在旋风燃烧室、离心式喷油嘴和离心式除尘器等设备中，流体自外沿圆周切向进入，又从中央不断流出。这样的流流体自外沿圆周切向进入，又从中央不断流出。这样的流动可以近似地看成是点汇和点涡的叠加动可以近似地看成是点汇

16、和点涡的叠加，即螺旋流，即螺旋流。7.6.1 螺旋流螺旋流)ln(21rq)ln(21rq等势线等势线：qeCr1流线流线：qeCr2rqrvr2rrv21)11)(8222122221rrqpp p 强度相等且无限接近的源和汇分别位于强度相等且无限接近的源和汇分别位于点点 A(-a，0) 和和 B(a，0)。p 当点源和点汇无限靠近，当点源和点汇无限靠近，所形成的流场所形成的流场称为偶极流，这样一对源汇称为偶极子称为偶极流，这样一对源汇称为偶极子。7.6 7.6 势流势流叠加原理叠加原理p 偶极矩偶极矩： 7.6.2 偶极流偶极流) 0( 2qaaqM时，点源和点汇本身都是奇点，因此偶极子点

17、源和点汇本身都是奇点，因此偶极子也是一个奇点。偶极子具有方向，规定也是一个奇点。偶极子具有方向，规定由点汇指向点源的方向为正方向。由点汇指向点源的方向为正方向。p 点源和点汇叠加后的势函数为点源和点汇叠加后的势函数为： BABArrqrqrqln2ln2ln2p 偶极流的势函数偶极流的势函数可通过求极限得到：可通过求极限得到：p 同理，可求得流函数同理，可求得流函数： 7.6 7.6 势流势流叠加原理叠加原理BBAaBAarrrqrrq1ln2ln2limlim00200cos22cos22cos21ln2limlimrraqraqraqBAaBAa222yxxM等势线方程为等势线方程为：22

18、222)4()4(CMyCMx222yxyM21212)4()4(CMCMyx流流线方程为线方程为：p 将平行流和偶极子将平行流和偶极子迭加迭加，形成形成新新的的势流：势流：p 零流线为零流线为 x 轴以及一个圆心在原点、轴以及一个圆心在原点、半径为半径为 r0 的圆的圆。7.7 7.7 平行流的圆柱绕流平行流的圆柱绕流7.7.1 圆柱体无环量绕流圆柱体无环量绕流222yxxMxv222yxyMyv极坐标形式：极坐标形式：cos1220rrrv极坐标形式：极坐标形式：sin1220rrrvCyxyMyv222流流线方程为线方程为：2022 ,0ryxy零流零流线方程为线方程为：vMr2/0p

19、流场中任意点的速度为流场中任意点的速度为：说明，流体沿圆柱面只有切向速度，没有径向速度。该组合说明，流体沿圆柱面只有切向速度，没有径向速度。该组合流动符合流体既不穿入又不脱离圆柱面（圆柱表面为流线）流动符合流体既不穿入又不脱离圆柱面（圆柱表面为流线）的边界条件的边界条件。7.7 7.7 平行流的圆柱绕流平行流的圆柱绕流 速度分布速度分布sin2 , 0vvvr当当 r = r0 时，即在圆柱面上时，即在圆柱面上：沿包围圆柱体的圆周的速度环量为沿包围圆柱体的圆周的速度环量为：sin)1 (cos)1 (1220220rrvrvrrvrvr0sin)1(220rdrrvdsvp 由伯努利方程，可求

20、得圆柱表面的压强分布由伯努利方程，可求得圆柱表面的压强分布为为：达朗伯疑题达朗伯疑题：圆柱体不受阻力作用的理论结果与实际圆柱体不受阻力作用的理论结果与实际不符不符。这是因为没有考虑粘性。由于粘性的作用使流体对圆柱表面这是因为没有考虑粘性。由于粘性的作用使流体对圆柱表面产生摩擦力，并使圆柱前后的流动不再对称。流动的不对称产生摩擦力，并使圆柱前后的流动不再对称。流动的不对称性使圆柱后面出现尾涡，流体对圆柱将产生压差力。性使圆柱后面出现尾涡，流体对圆柱将产生压差力。7.7 7.7 平行流的圆柱绕流平行流的圆柱绕流 压强分布压强分布22sin4121vpp 合力合力p 作用在圆柱体上的阻力作用在圆柱体

21、上的阻力：p 作用在圆柱体上的作用在圆柱体上的升升力力：0sin)sin41 (2120220dvprFFyL0cos)sin41 (2120220dvprFFxD p 将圆柱体的无环量绕流与点涡叠加将圆柱体的无环量绕流与点涡叠加：p 速度分布：速度分布：7.7 7.7 平行流的圆柱绕流平行流的圆柱绕流7.7.2 圆柱体有环量绕流圆柱体有环量绕流2cos)1 (220rrrvrrrrvln2sin)1(220（1）在圆柱表面上：）在圆柱表面上： ，说明是圆柱绕流。，说明是圆柱绕流。0ln2r（2）在圆柱表面上：）在圆柱表面上： ，说明流体与圆柱表面没有分离。，说明流体与圆柱表面没有分离。0rv

22、（3）在无穷远处：）在无穷远处： ，仍然，仍然为均匀流为均匀流。0,yxvvvsin)1 (2cos)1 (1220220rrvrrvrrvrvr p 令速度等于令速度等于0，可得驻点位置必须满足：，可得驻点位置必须满足：7.7 7.7 平行流的圆柱绕流平行流的圆柱绕流vr04sin（1）当）当 时，圆柱表面时，圆柱表面上有上有2个对称的驻点。个对称的驻点。vr04（3）当）当 时，圆柱表面时，圆柱表面上没有驻点。上没有驻点。vr04（2）当）当 时，圆柱表面时，圆柱表面上只有上只有1个驻点。个驻点。vr04 p 由伯努利方程，可求得圆柱表面的压强分布由伯努利方程，可求得圆柱表面的压强分布为为：上式称为库塔上式称为库塔-儒可夫斯基升力公式儒可夫斯基升力公式。库塔库塔-儒可夫斯基升力儒可夫斯基升力公式也可推广应用于理想流体平行流绕过任意形状柱体有环公式也可推广应用于理想流体平行流绕过任意形状柱体有环流无分离的平面流动，例如具有流线型外形的机翼绕流等流无分离的平面流动，例如具有流线型外形的机翼绕流