删减 改简版1 固体的能带1

1、 第三章第三章 固体的中的电子固体的中的电子 20世纪世纪20年代，量子力学的建立极大地推动了固年代，量子力学的建立极大地推动了固体物理学的发展。体物理学的发展。 30年代，固体能带理论取得了巨大成功，奠定了年代，固体能带理论取得了巨大成功，奠定了半导体物理学基础，最终导致了半导体物理学基础，最终导致了1947年晶体管的诞生，年晶体管的诞生，拉开了集成电路出现的序幕，引导了拉开了集成电路出现的序幕，引导了20世纪一场规模世纪一场规模空前的微电子技术革命。空前的微电子技术革命。 固体是由大量原子或分子凝聚成的具有一定形状的固体是由大量原子或分子凝聚成的具有一定形状的体系。按原子排列的对称性可以将

2、固体分为三类：体系。按原子排列的对称性可以将固体分为三类：晶体、晶体、非晶和准晶非晶和准晶。 晶体晶体：长程有序，具有一定熔点。如金属、岩盐：长程有序，具有一定熔点。如金属、岩盐等。等。 非晶体非晶体：非长程有序，无固定熔点，也叫过冷液体。：非长程有序，无固定熔点，也叫过冷液体。如白蜡、玻璃、橡胶等。如白蜡、玻璃、橡胶等。准晶准晶：介于前两者之间：介于前两者之间非晶非晶 晶体中的原子是有规律周期性排列的，而非晶体晶体中的原子是有规律周期性排列的，而非晶体中的原子排列是无序的，准晶介于晶体和非晶体之间。中的原子排列是无序的，准晶介于晶体和非晶体之间。 由于晶体结构的有序性，导致了晶体的一些物理性

3、由于晶体结构的有序性，导致了晶体的一些物理性质如弹性模量、折射率、介电常数、磁导率、热膨胀系质如弹性模量、折射率、介电常数、磁导率、热膨胀系数等各向异性。这些无法用经典理论解释，必须用量子数等各向异性。这些无法用经典理论解释，必须用量子理论才能说明。理论才能说明。这里的固体主要指晶体这里的固体主要指晶体。3-1、固体中的结合力与化学键、固体中的结合力与化学键 自由原子凝聚成固体时，邻近原子间外层电子将自由原子凝聚成固体时，邻近原子间外层电子将发生各种变化，产生不同类型的结合力，由此可分发生各种变化，产生不同类型的结合力，由此可分为五种化学键。为五种化学键。1、离子键、离子键 产生于正负电荷之间

4、的静电引产生于正负电荷之间的静电引力。如力。如NaCl等碱金属和卤族元素等碱金属和卤族元素构成的化合物晶体。构成的化合物晶体。2、共价键、共价键 邻近电子共有电邻近电子共有电子形成稳定的惰性气子形成稳定的惰性气体壳层。体壳层。SiSiSiSiSi3、金属键、金属键 外层电子脱离原来原子，为晶体外层电子脱离原来原子，为晶体共有，在晶体内运动。金属阳离子占共有，在晶体内运动。金属阳离子占据点阵。阳离子与电子气间静电力构据点阵。阳离子与电子气间静电力构成金属键。成金属键。4、范德瓦尔斯键、范德瓦尔斯键2Br晶体 邻近中性原子或分子间有一微弱的净余引力即范氏邻近中性原子或分子间有一微弱的净余引力即范氏

5、键（分子键）。键（分子键）。 低温下低温下Ne、Ar、Kr、Xe晶体，大部分有机化合物晶体，大部分有机化合物晶体及晶体及CO2，SO2、HCl、H2、N2、 O2、Br2都属于该都属于该键键5、氢键、氢键 一个氢原子受电负性很强的两个原子（特别是一个氢原子受电负性很强的两个原子（特别是F、O、N等）的较强吸引，在两个原子间形成氢键。等）的较强吸引，在两个原子间形成氢键。3-2 晶体的一般特征与晶体结构描述晶体的一般特征与晶体结构描述 （1）规则外形）规则外形 常见晶体往往是凸多面体，称为单晶体。规则外常见晶体往往是凸多面体，称为单晶体。规则外形反映内部分子（原子）排列有序。因生长条件不同，形反

6、映内部分子（原子）排列有序。因生长条件不同，同一晶体外形不同，如同一晶体外形不同，如NaCl：（一）晶体的特征（一）晶体的特征立方体立方体八面体八面体立方体、八面体混合立方体、八面体混合（2）解理性）解理性 沿某方位的晶面发生劈裂。这种晶面称为解理面。沿某方位的晶面发生劈裂。这种晶面称为解理面。显露在晶体外表面的一般是解理面。显露在晶体外表面的一般是解理面。（3）各向异性）各向异性 沿各个方向的物理性质不同，如沿各个方向的物理性质不同，如折射率、热导率等。折射率、热导率等。熔化（二）、空间点阵与晶体结构（二）、空间点阵与晶体结构 如何描述晶体的内部结构？几个名词：如何描述晶体的内部结构？几个名

7、词： 晶体结构晶体结构晶体中原子（分子、晶体中原子（分子、离子）的规则排列方式。离子）的规则排列方式。 点阵点阵认为晶体结构是一些认为晶体结构是一些相同的点子在空间周期性的无限相同的点子在空间周期性的无限分布。点子的整体称为点阵。分布。点子的整体称为点阵。 结点结点点阵中点子代表结点阵中点子代表结构相同的位置，称为结点。构相同的位置，称为结点。 结点可以是原子、或数种原子结点可以是原子、或数种原子构成的结构单元（基元）构成的结构单元（基元） 所以，晶体可以视为基元沿空间三个不同方向，所以，晶体可以视为基元沿空间三个不同方向，按一定的距离做周期性平移构成。任何两基元中相应按一定的距离做周期性平移

8、构成。任何两基元中相应的原子团周围情况相同。的原子团周围情况相同。 晶格晶格点阵的空间网格。通过点阵的空间网格。通过结点可以作许多平行直线簇和平行晶结点可以作许多平行直线簇和平行晶面簇，点阵就成为了网格。面簇，点阵就成为了网格。 点阵的整体称为布喇菲点阵或布喇菲格子。点阵的整体称为布喇菲点阵或布喇菲格子。（三）、晶格周期性（三）、晶格周期性 基矢基矢1、一维布喇菲格子、一维布喇菲格子一种原子沿一个方向组成间距为a的无限周期性点列2134567xxa2134567xxaa周期，每个原胞含一个原子原胞（一维）原胞（一维）a基矢a),xnax （任何物理性质2、一维复式格子、一维复式格子 两种原子（

9、或以上）组成的一维无限周期性点列两种原子（或以上）组成的一维无限周期性点列ABbaaa原胞（两个原子以上）原胞（两个原子以上）3、二维、三维格子、二维、三维格子3a2a1a 固体物理原胞固体物理原胞（简称原胞）晶体中最小重复单元（只含一个原子）。平行六面体。1a2a3a基矢acb 结晶学原胞结晶学原胞（简称晶胞）反映晶格几何特征的最小几何单元（可含多个原子）简立方简立方体心立方体心立方面心立方面心立方密排六方密排六方 晶体可以视为固体物理原胞或结晶学原胞周期性平晶体可以视为固体物理原胞或结晶学原胞周期性平移构成。移构成。结晶学原胞结晶学原胞 固体物理原胞固体物理原胞面心立方面心立方体心立方体心

10、立方4、晶系、晶系*（自学自学） 晶胞几何特征用晶胞几何特征用 和三边夹角和三边夹角 六参数六参数描述。六参数组合有七类即七个晶系。共描述。六参数组合有七类即七个晶系。共14种晶胞。种晶胞。abc、 、 、七个晶系七个晶系七种简单晶胞（原子数七种简单晶胞（原子数1）七种复合晶胞（原子数七种复合晶胞（原子数1）14种晶胞种晶胞三斜（三斜（1种）种）六角（六角（1种）种）三角（菱方）（三角（菱方）（1种）种）立方（立方（3种）种）正交（正交（4种）种） 正方（正方（2种）种）单斜（单斜（2种）种）aabc三斜三斜abc90abc单斜单斜90bcabccbaaaabbbccc90abc正交正交abc

11、、 、 晶格常数复合复合复合复合abc90正方正方aaaaaacccabc90120六角六角aaa90abc三角（菱方）三角（菱方）abc90立方立方复合复合复合（四）、晶向（四）、晶向 晶面晶面 如何表达晶向、晶面方位及结点位置？如何表达晶向、晶面方位及结点位置？ 1、结点位置、结点位置123Rmanapamnp、 、 结点指数1a2aR1222Raa2、晶列、晶列 晶向晶向 晶列晶列任意两结点连成的直线任意两结点连成的直线（含无限多结点）（含无限多结点） 晶向晶向一簇晶列的共同取向一簇晶列的共同取向3、晶面、晶面 晶面晶面通过任意三结点的平面通过任意三结点的平面 晶面簇晶面簇与某一晶面平行

12、的一组与某一晶面平行的一组晶面（无限多平行晶面）晶面（无限多平行晶面）晶面方位用密勒指数（晶面方位用密勒指数（hkl）表示）表示 求法求法（自学自学）（1）求晶面在坐标轴上的截距）求晶面在坐标轴上的截距（2）写截距倒数）写截距倒数（3）用最小公倍数化简得）用最小公倍数化简得manbpc、)hkl（abc例：1 1 12 ,3 ,3,2 3 3abc 6:(322)hkl（113 ,2, 1,32abc 6:(263)BCAbCa)hkl（)hkl（代表一晶面簇（五）、单晶（五）、单晶 多晶多晶 单晶单晶有规则形状，由许多晶胞密排构成。特点：有规则形状，由许多晶胞密排构成。特点：各向异性。各向异

13、性。(110)(111)(010)(100)(001) 多晶多晶许多小单晶彼此无规则取向排列构成，特点：许多小单晶彼此无规则取向排列构成，特点：各向同性（如金属）各向同性（如金属）（六）、几种常见的晶体结构（六）、几种常见的晶体结构（自学自学） 1、NaCl结构（典型离子晶体）结构（典型离子晶体）ClNa Na+,Cl-分别为面心立方，沿对分别为面心立方，沿对角线方向相对位移角线方向相对位移1/2对角线长度对角线长度套构而成（面心复式格子）套构而成（面心复式格子） 2、CsCl（氯化铯）结构（典型离子晶体）（氯化铯）结构（典型离子晶体）ClCs Cs+,Cl-分别为简单立方，沿对分别为简单立方

14、，沿对角线方向相对位移角线方向相对位移1/2对角线长度对角线长度套构而成（简立方复式格子）。套构而成（简立方复式格子）。3、金刚石结构（共价键原子晶体）、金刚石结构（共价键原子晶体） 同种同种C原子构成的两个面心立原子构成的两个面心立方格子，沿对角线相对位移方格子，沿对角线相对位移1/4套套构而成（面心复式格子）。构而成（面心复式格子）。 半导体半导体Ge、Si也是该结构。也是该结构。其中，每个其中，每个C原子原子4个键连个键连4个个C原子构成正四面体原子构成正四面体(一个一个C在四面在四面体中心，另四个在顶角）体中心，另四个在顶角）4、闪锌矿结构、闪锌矿结构 类似金刚石，两个面心格子的分别类

15、似金刚石，两个面心格子的分别C换成换成Zn和和S5、钙钛矿结构、钙钛矿结构333333:,ABOCaTiO BaTiO PbZrO LiNbO LiTaOCaTiCsCl、分别立方格子（似）CaTiO2TiO在八面体间隙3)TiO3为氧八面体基团(BO钙钛矿结构重要特点：氧八面体。钙钛矿结构重要特点：氧八面体。两大典型结构：八面体、四面体（金刚石）两大典型结构：八面体、四面体（金刚石）CaTiOCaTiO6、萤石结构（、萤石结构（CaF2）结构）结构 一个结晶学原胞含一个结晶学原胞含4个个Ca离离子，子，8个个F离子。三个面心立方离子。三个面心立方套构而成。套构而成。CaF7、尖晶石结构、尖晶

16、石结构两个面心两个面心24AB O3价价2价价AB34Fe O24ZnAl O24MnAl OA于四面体间隙于四面体间隙B于八面体间隙于八面体间隙正尖晶石：正尖晶石：A2+ B23+ O42-反尖晶石：反尖晶石： B2+（ A 2+B3+） O42-A位由位由B3+占据，占据，B位一半由位一半由A2+占据占据间隙两种：间隙两种： 八面体和四面体。八面体间隙称为八面体和四面体。八面体间隙称为B位，四面体位，四面体间隙称为间隙称为A位。位。 A 每个原胞含每个原胞含AB 2O4个分个分子，子，32个个O，24个金属离子。个金属离子。每个晶胞右分为每个晶胞右分为8个立方体。个立方体。每个立方体中有每

17、个立方体中有4个个O离子。离子。氧离子较大，金属离子较小，氧离子较大，金属离子较小，氧离子作密堆积，金属离子氧离子作密堆积，金属离子在氧离子间隙中。在氧离子间隙中。 3-3、金属中自由电子的能量状态、金属中自由电子的能量状态 索末非认为金属中的价电子如理想气体，彼此索末非认为金属中的价电子如理想气体，彼此间无相互作用，各自独立运动。但要使金属中电子间无相互作用，各自独立运动。但要使金属中电子逸出，需要做一定的功（逸出功）。逸出，需要做一定的功（逸出功）。所以每个电子所以每个电子的能量状态就是一定深度的势阱中运动的粒子所具的能量状态就是一定深度的势阱中运动的粒子所具有的能态。有的能态。 1 金属

18、中自由电子无限深势阱模型金属中自由电子无限深势阱模型 首先假定电子被限制在长为首先假定电子被限制在长为L的一维金属链中运的一维金属链中运动，视为一维无限深势阱。势阱中电子的薛定谔方程动，视为一维无限深势阱。势阱中电子的薛定谔方程为为22dEm dx2-222220dmEdx22mEk 令2220dkdx0LxU由边界条件可得由边界条件可得（见一维无限深势阱）：（见一维无限深势阱）：2( )sinnxkxLnkL其中22mEk 2sinnnxLL222Ekm22222nmLpk 电子动量22pEmnkL其中1,2,3.n 驻波解，两相反自驻波解，两相反自由粒子平面波叠加由粒子平面波叠加0LxU

19、实际上，金属中电子是三维运动。设金属是边长实际上，金属中电子是三维运动。设金属是边长L的立方体，电子在三维无限深势阱中运动。金属中自的立方体，电子在三维无限深势阱中运动。金属中自由电子能态可以用无限深势阱箱中自由粒子的能态代由电子能态可以用无限深势阱箱中自由粒子的能态代表。表。( , , )00, ,U x y zx y zL( , , ), ,0; , ,U x y zx y zx y zL 薛定谔方程：薛定谔方程：2( , , )( , , )x y zEx y zm2-2LLL2( , , )( , , )x y zEx y zm2-2用分离变量求解，设用分离变量求解，设123( , ,

20、 )( )( )( )x y zxyz代入薛定谔方程代入薛定谔方程1( )00,xxxL驻波边界条件驻波边界条件, y z同理解薛定谔方程，由边界条件可以得到：解薛定谔方程，由边界条件可以得到：( , , )sinsinsinxyzx y zAk xk yk z该波函数该波函数代表驻波代表驻波( , , )sinsinsinxyzx y zAk xk yk z,yxzxyznnnkkkLLL其中(,)xyzn n n 取正整数2222()2xyzEkkkm222222()2xyznnnmL22222()8xyzhnnnmL(,)xyzn n n粒子状态由一组正整数确定222Ekm22222En

21、mL一维一维问题：问题：(,)xyzn n n 取正整数,yxzxyznnnkkkLLLpk 电子动量2222xyzkkkk动量只取正，实际上动量有正有负，应有：(,)xyzn n n 可以取正、负整数及0用周期性边界条件可以解决 通常人们采用周期性边界条件，例如一维情形设通常人们采用周期性边界条件，例如一维情形设想为无限多个线度都是想为无限多个线度都是L的势阱相连。在各势阱相应位的势阱相连。在各势阱相应位置上，电子波函数相等置上，电子波函数相等Lx0 xxL11()( ), ,xLxy z同理2( , , )( , , )x y zEx y zm2-2123( , , )( )( )( )x

22、 y zxyz设设周期性边界条件周期性边界条件解薛定谔方程得：解薛定谔方程得：)( , , )xyzi k x k y k zik rx y zAeAe（sinsinsinxyzAk xk yk z实部驻波边界条件驻波边界条件1( )00,xxxL, y z同理)( , , )xyzi k x k y k zik rx y zAeAe（sinsinsinxyzAk xk yk z实部3/21/AL是归一化常数22222()2xyzhEnnnmL波函数波函数(,)xyzn n n这里是正负整数包括0,/kkk m波矢为电子动量电子速度22222pkEmm222,yxzxyznnnkkkLLL22

23、22xyzkkkk电子能量周期性边界条件结果：周期性边界条件结果：22222()2xyzhEnnnmL电子能量(,)xyzn n n量子数是正负整数包括0,决定电子能量222,yxzxyznnnkkkLLL,xyzxyzkkkn nn对应驻波边界条件结果：驻波边界条件结果：22222()8xyzhEnnnmL(,)xyzn n n 是正整数,yxzxyznnnkkkLLLxyzkkk 在以 ， ， 为坐标轴的空间称为波矢空间，空间中的点代表一个状态 沿上述三个坐标轴方向相邻的两个点的间距为沿上述三个坐标轴方向相邻的两个点的间距为2L2 波矢空间（倒空间、动量空间）波矢空间（倒空间、动量空间）2

24、22,yxzxyznnnkkkLLL倒空间倒空间 间距是长度倒数间距是长度倒数动量空间动量空间pk 电子动量22222pkEmm2222xyzkkkkxkykzk 沿上述三个坐标轴方向相邻的沿上述三个坐标轴方向相邻的两个点的间距为两个点的间距为2L波矢空间每个状态点占有体积波矢空间每个状态点占有体积32()L波矢空间单位体积中含有的状态点数目是波矢空间单位体积中含有的状态点数目是3()2Lxyzdk dk dk2L状态点状态点密度密度（一个小立方体一个状态点）（一个小立方体一个状态点）32()NNL点子数体积波矢空间体积元波矢空间体积元 中中含有的状态点数目是含有的状态点数目是3()2LdKx

25、yzdKdk dk dk 每个状态每个状态可以容纳自旋相反的两个电子，可以容纳自旋相反的两个电子，则体积元则体积元dK中可容纳的电子数中可容纳的电子数332()24LVdZdKdK3VL是晶体体积xkykzkxyzdk dk dk 以二维波矢空间为例以二维波矢空间为例说明状态点：说明状态点：xkyk0k 每个小方格的角顶是一个每个小方格的角顶是一个状态点，每个角顶为四个相状态点，每个角顶为四个相邻小方格共有，所以每个状邻小方格共有，所以每个状态点占据一个小方格。每个态点占据一个小方格。每个状态点可以容纳自旋相反两状态点可以容纳自旋相反两个电子。个电子。22222pkEmm电子能量2222xyz

26、kkkkpk 电子动量2/kmE动量空间动量空间yk0k22222pkEmm电子能量2/kmE 三维，电子能量为三维，电子能量为某个定值的曲面是球面，某个定值的曲面是球面，半径为半径为k. 对二维电子，是对二维电子，是k空空间中的圆。间中的圆。dkEEdExkzk2222xyzkkkkpk 电子动量yk0kdkEEdExkzk E+dE间的区域是半间的区域是半径径k和和k+dk两球面之间的两球面之间的球壳体积球壳体积24dKk dk 其中状态数目其中状态数目3(4VdZdK前面）3VL是晶体体积yk0kdkEEdEzkykzkxkxk三维倒空间三维倒空间能量能量EE+dE范围的电子状态数目？范

27、围的电子状态数目？yk0kdkEEdE24dKk dk3(4VdZdK前面）2/kmE22m dEdkE3/21/2224()mdZVEdEhxk即能量即能量EE+dE范围的电子状态数目范围的电子状态数目zk22222()2xyzhEnnnmL电子能量 考虑边长考虑边长10mm铜立方块中一个电子基态及相邻两铜立方块中一个电子基态及相邻两能级间的间隔：能级间的间隔：1xyznnn2,1xyznnn222222221111123314(211 )(111 )22 1010hEEEmLJeV估算相邻两能级之间的能量差为多大？估算相邻两能级之间的能量差为多大？室温下电子平均热动能室温下电子平均热动能2

28、2.5 10kTeV两者相差两者相差 倍。倍。1210 可见导体中各电子状态的能量间隔极小，能量状可见导体中各电子状态的能量间隔极小，能量状态密度很大。在能量态密度很大。在能量EE+dE范围有大量电子状态。范围有大量电子状态。dZ很大。很大。3/21/2224()mdZVEdEh222222221111123314(211 )(111 )22 1010hEEEmLJeV所以相邻能级的能量间隔极小。准连续。所以相邻能级的能量间隔极小。准连续。 定义：状态密度（或态密度，或能级密度）定义：状态密度（或态密度，或能级密度）)dZg EdE（dZ为为EE+dE能量间隔内的状态数。能量间隔内的状态数。g

29、(E)单位能量单位能量间隔的状态数。间隔的状态数。3/21/21/2224()=(mdZVEdE CEdEh前面）1/2( )dZg ECEdE3/2224()mCVh 由上可知，金属中电子处于各种能级上。那么在由上可知，金属中电子处于各种能级上。那么在一定温度下，电子是如何分配或占据各能级上的呢？一定温度下，电子是如何分配或占据各能级上的呢？3 电子费米能量电子费米能量按量子统计理论，电子遵循以下统计分布律：按量子统计理论，电子遵循以下统计分布律：()/1( )1FE EkTf EeFE费米能级或化学势费米能级或化学势( )f E能级E上每个量子态平均分配的电子数每个量子态平均分配的电子数。

30、称为称为费米分布函数。费米分布函数。能量在能量在EE+dE间隔内的量子态数为间隔内的量子态数为dZ，则，则EE+dE内分配的电子数为内分配的电子数为( )dNf E dZ( )dNf E dZ()/1( )1FE EkTf Ee()/( )1FE EkTC EdEdNf E dZe电子数按能量的分布电子数按能量的分布3/2224()mCVhEE+dE内分配的电子数内分配的电子数1/2(dZCEdE前面）在绝对零度（在绝对零度（T=0），费米分布函数特别简单：），费米分布函数特别简单：001()( )0()FFEEf EEE0FE绝对绝对0度时费米能级，度时费米能级，电子所占据的最高能级。电子所

31、占据的最高能级。0FE( )f ET=00T ()/1( )1FE EkTf Ee费米能级以下，每个量子态上费米能级以下，每个量子态上1个电子个电子费米能级以上，每个量子态上无电子费米能级以上，每个量子态上无电子T=00FE( )f ET=00T 所有低于所有低于 的能级全填满电子，而所有高于的能级全填满电子，而所有高于 的的能级全空着。能级全空着。0FE0FE001()( )0()FFEEf EEE费米能级以下，每个量子态上费米能级以下，每个量子态上1个电子个电子费米能级以上，每个量子态上无电子费米能级以上，每个量子态上无电子0?FE 在绝对零度（在绝对零度（T=0），），EE+dE内电子数

32、内电子数( )0C EdEdNf E dZ0(0)FEE0()FEE0FE( )f ET=00T 3/2224()mCVh1/2(dZCEdE前面）001()( )0()FFEEf EEE系统总电子数即费米能级以下的系统总电子数即费米能级以下的电子数：电子数：003/202()3FEFNCEdEC E2022/3(3)2FEnm/nN V电子数密度电子数密度或电子浓度或电子浓度2022/3(3)2FEnm00000113( )5FEFEEf E dZCE EdEENN( )0C EdEdNf E dZ0(0)FEE0()FEE00FFEnnE由电子数密度 决定， 越大，越高电子平电子平均能量均

33、能量绝对绝对0度时费米能级，度时费米能级，电子所占据的最高能级。电子所占据的最高能级。 可见在绝对零度，电子仍然有相当大的平均能量。可见在绝对零度，电子仍然有相当大的平均能量。而不是经典理论中绝对零度粒子的能量为而不是经典理论中绝对零度粒子的能量为0.02/3( )FEn20201() 12FFFkTEEE可以证明，绝对零度以上费米能级和电子平均能量为：可以证明，绝对零度以上费米能级和电子平均能量为：0220351() 512FFkTEEE2022/3(3)2FEnm0FFEE22.5 10kTeV（室温下）金属的金属的 一般在几个到几十电子伏特。一般在几个到几十电子伏特。0FE0FkTE0F

34、FEE与数值相近FkxkykzkO 对自由电子来说，对自由电子来说，k空间等能空间等能面是球面。面是球面。FE22222FFkpEmmFFEEk等能面，叫费米面，是半径为的球面。2/FFkmEFkxkykzkOFE 在绝对在绝对0度，费米球面以内度，费米球面以内的状态都被电子占据，球外没有的状态都被电子占据，球外没有电子。在绝对电子。在绝对0度以上，电子将度以上，电子将从费米面以内的状态激发到费米从费米面以内的状态激发到费米面以外的状态。面以外的状态。0FEFE0TK基态0TK激发态22222FFkpEmm例题：计算铜的绝对例题：计算铜的绝对0度费米能级。度费米能级。338.95 10 kgm

35、铜密度163.5Mgmol原子量 每个铜原子一个价电子，故电子数密度等于原子每个铜原子一个价电子，故电子数密度等于原子数密度数密度23330286.02 108.95 10 /63.5 108.5 103NnmMm2022/318(3)1.1 107.02FEnJeVm0=?2FhhpmE德布罗意波长德布罗意波长习题：金习题：金4.费米子与玻色子概念费米子与玻色子概念 由于微观粒子不可分辨性，微观粒子可以分为两类：由于微观粒子不可分辨性，微观粒子可以分为两类：费米子和玻色子费米子和玻色子。 费米子费米子：服从泡利不相容原理，一个量子状态只能：服从泡利不相容原理，一个量子状态只能容纳一个费米子。

36、容纳一个费米子。 费米子是像电子一样的粒子，有半整数自旋费米子是像电子一样的粒子，有半整数自旋(如如1/2，3/2，5/2等等)； 玻色子玻色子：不受泡利不相容原理限制，一个量子态：不受泡利不相容原理限制，一个量子态内容纳的粒子数不限。内容纳的粒子数不限。 玻色子是像光子一样的粒子，有整数自旋玻色子是像光子一样的粒子，有整数自旋(如如0，1，2等等)。 自旋差异使费米子和玻色子有完全不同的特性。自旋差异使费米子和玻色子有完全不同的特性。没有任何两个费米子有同样的量子态：它们没有相同没有任何两个费米子有同样的量子态：它们没有相同的特性，也不能在同一时间处于同一地点；的特性，也不能在同一时间处于同

37、一地点； 而玻色子却能够具有相同的特性而玻色子却能够具有相同的特性 。 基本粒子中所有的物质粒子都是费米子，是构成基本粒子中所有的物质粒子都是费米子，是构成物质的原材料。如电子、质子、中子等以及其反粒子，物质的原材料。如电子、质子、中子等以及其反粒子，轻子中的电子、组成质子和中子的夸克、中微子；轻子中的电子、组成质子和中子的夸克、中微子； 而传递作用力的粒子而传递作用力的粒子(光子、介子、胶子、光子、介子、胶子、W和和Z玻色子玻色子)都是玻色子。都是玻色子。 根据两类粒子不同特点，量子论导出了两种统计根据两类粒子不同特点，量子论导出了两种统计分布规律：分布规律：费米费米-狄拉克统计分布；玻色狄

38、拉克统计分布；玻色-爱因斯坦统爱因斯坦统计分布。计分布。费米费米-狄拉克统计分布：狄拉克统计分布：()/1( )1FE EkTf Ee 对于费米子组成的系统，在热平衡状态下，能量对于费米子组成的系统，在热平衡状态下，能量为为E的量子态上存在的粒子数平均为的量子态上存在的粒子数平均为FTE系统热力学温度，系统的化学势。()/0= ,( )0FE EkTFTEEef E时，如果，则则。()/0=0,( )1FE EkTFTEEef E时，如果，则则。 T=0时，能量大于时，能量大于 的能级上没有粒子分布，的能级上没有粒子分布，而小于而小于 的能级上，每个量子态上都有一个粒子即的能级上，每个量子态上

39、都有一个粒子即各量子态都被填满了。这正是电子所具有的分布特点。各量子态都被填满了。这正是电子所具有的分布特点。此处的化学势就是费米子在此处的化学势就是费米子在0K时的费米能量。时的费米能量。FEFE()/1( )1FE EkTf Ee0FE( )f ET=00T 10.50E()/0= ,( )0FE EkTFTEEef E时，如果，则则。()/0=0,( )1FE EkTFTEEef E时，如果，则则。()/1( )1EkTf Ee 对于玻色子组成的系统，在热平衡状态下，能量对于玻色子组成的系统，在热平衡状态下，能量为为E的量子态上存在的粒子数平均为的量子态上存在的粒子数平均为T系统热力学温

40、度， 系统的化学势。 可见，在某些温度和某些能量的量子态上，粒子可见，在某些温度和某些能量的量子态上，粒子数可能大于数可能大于1.说明玻色子不受泡利不相容原理限制。说明玻色子不受泡利不相容原理限制。尤其是，粒子数随尤其是，粒子数随E的减少而增大，以致在一定的低的减少而增大，以致在一定的低温下，所有玻色子都聚集在最低能级即基态上，从而温下，所有玻色子都聚集在最低能级即基态上，从而形成所谓的形成所谓的玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚状态。状态。 常见的玻色子是光子。光子自旋是常见的玻色子是光子。光子自旋是 ，而且有，而且有 和和 两个自旋态。两个自旋态。 对于光子，可以证明对于光子，可以证明/1

41、( )1hkTf EeEh玻色爱因斯坦分布：玻色爱因斯坦分布：通过证明可以得到热辐射的单色辐出度为：通过证明可以得到热辐射的单色辐出度为：32/2( )(1)hkThf Ec e 即普朗克公式即普朗克公式=0,()/1( )1EkTf Ee例题：例题：()/1( )1FE EkTf Ee 固体中的自由电子满足费米固体中的自由电子满足费米-狄拉克分布。在狄拉克分布。在1000K时，能量比费米能量高时，能量比费米能量高0.1eV的量子态内的平均的量子态内的平均电子数是多少？比费米能量低电子数是多少？比费米能量低0.1eV的量子态内的平均的量子态内的平均电子数呢？电子数呢？解：()/1()0.241

42、FEEkTf Ee()/1()0.761FEEkTf Ee0.1FEEeV0.1FEEeV3-4、固体能带形成、固体能带形成 用固体能带理论能很好地解释物质的导电性质。用固体能带理论能很好地解释物质的导电性质。有两种模型可以得到固体中电子能带。有两种模型可以得到固体中电子能带。 晶体中原子排列规则，原子间有相互作用，使得晶体中原子排列规则，原子间有相互作用，使得孤立原子各能级分裂成能带。孤立原子各能级分裂成能带。1、紧束缚模型解释能带形成、紧束缚模型解释能带形成从分立能级从分立能级 能带能带 例如，两个远离的氢原子，有相同能级。靠近时，例如，两个远离的氢原子，有相同能级。靠近时，每个原子的电子

43、受彼此的原子核作用（原子间影响），每个原子的电子受彼此的原子核作用（原子间影响），单一能级分裂成两个靠近的能级。越靠近，分裂越显著。单一能级分裂成两个靠近的能级。越靠近，分裂越显著。6个氢原子靠近，一个能级分裂成六个能级。个氢原子靠近，一个能级分裂成六个能级。2个6个1s2p2s1s2p2s1s2p2s2p1s2s2p 晶体中有晶体中有N个原子。原子中电个原子。原子中电子受其它电子和核的作用，每个原子受其它电子和核的作用，每个原子能级分裂成子能级分裂成N个间隔很小的能级，个间隔很小的能级，称为能带。称为能带。符号表示仍然是：符号表示仍然是：1s2p2s3s3p3d1s2p2s 根据量子力学，某

44、根据量子力学，某 能级，有能级，有 个态，个态，可以容纳可以容纳 个电子。所以，每个能带能容纳个电子。所以，每个能带能容纳 个电子。个电子。2(21)l l2(21)l 2(21)Nl 如：如：1s、2s、3s， 可以容纳可以容纳2N个电子个电子0,l 2p、3p， 可以容纳可以容纳6N个电子个电子1,l 2(21)6l N个个1s2sEg禁带宽度禁带宽度 相邻能带之间不存在能级的区域相邻能带之间不存在能级的区域禁带（宽度禁带（宽度Eg）容纳容纳2N个电子（每个能级上各一个自旋相反的电子）个电子（每个能级上各一个自旋相反的电子）6个原子个原子满带满带能带上各能级被电子填满能带上各能级被电子填满

45、空带空带能带上各能级无电子填充能带上各能级无电子填充价带价带原子外层价电子分裂而成的能带（可能满带，原子外层价电子分裂而成的能带（可能满带， 可能不可能不 满带）（规定指满带）满带）（规定指满带）导带导带空带和未填满的能带（未填满的价带）空带和未填满的能带（未填满的价带）导导带带导导带带价价带带gECEVEgEFECEVE 费米能费米能级。是基态电子级。是基态电子填充的最高能级，填充的最高能级，电子占有和未占电子占有和未占有的边界。有的边界。FE2、单电子模型解释能带形成、单电子模型解释能带形成 晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。而晶体许多物理

46、性质仅与外层电子有关，因此可以将而晶体许多物理性质仅与外层电子有关，因此可以将晶体看做由外层电子及原子实组成的系统。这样的系晶体看做由外层电子及原子实组成的系统。这样的系统非常复杂，故需要对晶体简化处理。统非常复杂，故需要对晶体简化处理。处理方法处理方法：从连续能量从连续能量 能带能带绝热近似绝热近似单电子近似单电子近似周期场近似周期场近似 （1）由于晶体中原子质量远大于电子质量，故原子）由于晶体中原子质量远大于电子质量，故原子的运动速度远小于电子速度。因此可以认为原子实固定的运动速度远小于电子速度。因此可以认为原子实固定在瞬时位置上，主要考虑电子的运动，这样把在瞬时位置上，主要考虑电子的运动

47、，这样把一个多粒一个多粒子体系简化为一个多电子体系子体系简化为一个多电子体系。称为。称为绝热近似绝热近似。相当于。相当于绝热容器内有绝热容器内有“电子气体电子气体”。 （2）多电子体系仍然复杂，求解薛定谔方程还是）多电子体系仍然复杂，求解薛定谔方程还是困难，需要再简化。可以认为一个电子在原子实和其他困难，需要再简化。可以认为一个电子在原子实和其他电子形成的平均势场中运动。这样把电子形成的平均势场中运动。这样把一个多电子系统问一个多电子系统问题简化为一个单电子的运动题简化为一个单电子的运动。称为。称为单电子近似单电子近似。 （3）把所有电子及原子产生的势场假设为周期）把所有电子及原子产生的势场假

48、设为周期性势场（周期即晶格周期）。称为性势场（周期即晶格周期）。称为周期场近似周期场近似。 通过以上近似，将通过以上近似，将晶体中复杂的电子运动问题晶体中复杂的电子运动问题简化成了一个电子在周期性势场中的运动问题简化成了一个电子在周期性势场中的运动问题，可以，可以得到与实验相符的结果。这就是得到与实验相符的结果。这就是单电子模型单电子模型。单个钠离子：单个钠离子：势能函数举例：势能函数举例：价电子在钠离子场中价电子在钠离子场中两个靠近的钠离子两个靠近的钠离子多个钠离子多个钠离子( (一维一维) )固定离子势场与其它电子平均场，固定离子势场与其它电子平均场，总势能总势能 U：为周期性重复排列的势

49、阱和势垒为周期性重复排列的势阱和势垒势能函数：势能函数： 克朗尼克克朗尼克潘纳模型潘纳模型x xU U- -d d o oc coU按照单电子模型：按照单电子模型： 晶体中电子状态可以用周期场中电子状态描述，晶体中电子状态可以用周期场中电子状态描述，薛定谔方程：薛定谔方程：2( )( ) ( )( )rU rrErm2-2( )()nU rU rR( )()U xU xna一维一维1 12233nRn an an a晶体中电子波函数是什么形式？晶体中电子波函数是什么形式？1a2aR1222Raa可以证明：周期场中电子波函数是一个周期性的调幅波可以证明：周期场中电子波函数是一个周期性的调幅波(

50、)()nu ru rR其中( )( )ik rru r e自由粒子平面波被周期性调制自由粒子平面波被周期性调制振幅具有晶格周期性振幅具有晶格周期性上称上称布洛赫定理。布洛赫定理。()()()( )( )nnnikrRik Rik Rik rnnrRu rR eu r eer e()( )nik RnrRer 即不同原胞对应点上，波函数只相差一个位相因子即不同原胞对应点上，波函数只相差一个位相因子nik Re 所以对应点上电子出现的几率相同。所以对应点上电子出现的几率相同。()( )iknaxnax e( )()u xu xna( )( )ikxxu x e一维一维()( )nik RnrRer

51、 根据准自由电子（单电子）模根据准自由电子（单电子）模型：型：考虑到晶体中电子处于原子实考虑到晶体中电子处于原子实周期性势场中，用量子力学微扰理周期性势场中，用量子力学微扰理论得到电子能量存在能隙论得到电子能量存在能隙。自由电子：自由电子：22222pkEmm22hhpk EkEkgEEk自由电子曲线是抛物线Ek准自由电子曲线近似抛物线有能隙aa出现了能量不连续的能带出现了能量不连续的能带自由电子自由电子a 晶 格 常 数能带能带能带能带能隙 能带由准连续的能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带个子能级组成，能带之间用禁带分开，原子数分开，原子数N变化时，能带宽度不变，密度变化。变化时，

52、能带宽度不变，密度变化。能带能带能带能带能带能带禁带禁带禁带禁带N个个 子能级子能级3-5、导体、导体 半导体半导体 绝缘体绝缘体 1、满带电子不导电、满带电子不导电自由电子：自由电子：22222pkEmmEkEkgEEk自由电子曲线是抛物线Ek准自由电子曲线近似抛物线有能隙前述：前述：aa在在k空间，空间，( )(), ( )()E kEkv kvk pk 在电场作用下，满带中每个电子都在电场作用下，满带中每个电子都有电流，但有电流，但 和和 态电子动量相反，态电子动量相反，有一个有一个k,便有一个便有一个-k，对称。电子仅在，对称。电子仅在k空间更换位置，正负电流抵消，总电空间更换位置，正

53、负电流抵消，总电流为流为0.所以所以满带电子不导电满带电子不导电。kk 非满带电子在外场作用下，能形非满带电子在外场作用下，能形成电流。成电流。-k电子和电子和+k电子数不对称。电子数不对称。电流只部分抵消。电流只部分抵消。E相反速度的电子数不相等，相反速度的电子数不相等，沿电场方向运动电子数较多沿电场方向运动电子数较多2、导体、导体2261:111223Nassps个电子，例例1： N个原子组成晶体时，个原子组成晶体时，3s能级变成能级变成3s能带，能带，有有2N个状态，可以容纳个状态，可以容纳2N个电子。但只有个电子。但只有N个个3s电子。该能带半满。电子。该能带半满。 所以，第一族元素价

54、电子能带未满，故为导体。所以，第一族元素价电子能带未满，故为导体。CEVE例例2：226262:122334Casspsps 碱土金属元素，最外层碱土金属元素，最外层2个价电子。个价电子。N个原子的个原子的2N个价电子正好填满能带，应该个价电子正好填满能带，应该是非导体。实际上是导体？是非导体。实际上是导体？ 原因：原因：s能带和上面的能带发生重叠。能带和上面的能带发生重叠。2N个电子还未填满相应能带，就填入更高个电子还未填满相应能带，就填入更高能带而出现未满带。故也为导体。能带而出现未满带。故也为导体。VECE3、半导体、半导体 绝缘体绝缘体 如果价电子正好填满价带，上面是空如果价电子正好填

55、满价带，上面是空带。在空带和价带（满带）之间存在禁带。在空带和价带（满带）之间存在禁带（能隙带（能隙Eg），则为半导体或绝缘体。），则为半导体或绝缘体。gE02gEeV半导体较小，通过激发（热、光等），电子较小，通过激发（热、光等），电子 导带。导电导带。导电gE2gEeV绝缘体较大，在不太强的电场下，不导电较大，在不太强的电场下，不导电gE导体导体半导体半导体绝缘体绝缘体金刚石金刚石绝缘体（有时也认为是半导体）绝缘体（有时也认为是半导体）SiGe、半导体无严格界限无严格界限 3-6、 半导体材料半导体材料 半导体材料为信息时代的到来奠定了物质基础半导体材料为信息时代的到来奠定了物质基础 19

56、48年，肖克莱（年，肖克莱（Shockley）等发明晶体管，带）等发明晶体管，带来现代电子学革命，具有划时代意义。来现代电子学革命，具有划时代意义。 1958年，集成电路问世。年，集成电路问世。 1968年，硅大规模集成电路实现产业化，标志微电年，硅大规模集成电路实现产业化，标志微电子学时代开始。子学时代开始。30多年来，惊人发展。多年来，惊人发展。 1962年，半导体激光器问世，后来各种半导体光电年，半导体激光器问世，后来各种半导体光电器件问世。器件问世。80年代，半导体激光器在光通信和光盘等年代，半导体激光器在光通信和光盘等方面大量应用，形成了光电子学。方面大量应用，形成了光电子学。 国际

57、上普遍认为，国际上普遍认为，20世纪是微电子为基础的电子世纪是微电子为基础的电子信息时代，信息时代，21世纪则是微电子与光子技术结合的光子世纪则是微电子与光子技术结合的光子信息时代。从而对半导体材料提出越来越高的要求。信息时代。从而对半导体材料提出越来越高的要求。（一）、本征半导体（一）、本征半导体 金属金属：非常多自由电子。平均每个原子一个电子。：非常多自由电子。平均每个原子一个电子。密度密度1022个个/cm3。 绝缘体绝缘体：几乎无自由电子。：几乎无自由电子。 半导体半导体：介于两者之间，平均每：介于两者之间，平均每1010-1013个原子一个原子一个自由电子，密度个自由电子，密度101

58、2-1019个个/cm3，室温电导率，室温电导率10-8-103(cm)-1 半导体自由电子数较小，易通过外部电学作用控制半导体自由电子数较小，易通过外部电学作用控制其中电子的运动。所以比金属更适合做电子器件。其中电子的运动。所以比金属更适合做电子器件。原子原子半导体半导体导带导带价带价带1eV 原子形成固体，分立能原子形成固体，分立能级变成连续能带。级变成连续能带。 未掺杂半导体叫未掺杂半导体叫本征半本征半导体。导体。 本征半导体中每个原子四个价电子，恰好填满能带本征半导体中每个原子四个价电子，恰好填满能带（价带）。上面未填充的能带为导带。中间禁带宽度约（价带）。上面未填充的能带为导带。中间禁带宽度约1eV。 以上是理想、绝对以上是理想、绝对0度情况。度情况。原子原子半导体半导体导带导带价带价带1eV 当当T升高，电子激发到导升高，电子激发到导带，同时在价带留下没有电子带，同时在价带留下没有电子的空的状态，称为的空的状态，称为空穴空穴。可以。可以将其看成带正电荷的准粒子。将其看成带正电荷的准粒子。在电场作用下，价带中的电子在电场作用下，价带中的电子可以占据邻近空穴而重新留下可以占据邻近空穴而重新留下新的空穴。如此下去，在逆电场的方向，电子逐个补新的空穴。如此下去，在逆电场的方向，电子逐个补充一个个空穴，相应的空穴则