安徽省2013年高考数学第二轮复习专题七概率与统计第3讲随机变量及其分布列理

1、专题七概率与统计第 3 讲 随机变量及其分布列真题试做1(2012 ·课标全国高考，理15) 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件 2 正常工作， 且元件 3 正常工作， 则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命( 单位：小时 ) 均服从正态分布N(1 000,50 2) ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000 小时的概率为_2(2012 ·山东高考，理19) 现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为324，命中得1 分，没有命中得0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为3，每命中一次得 2分，没有命中得0 分，该射手

2、每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1) 求该射手恰好命中一次的概率；(2) 求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E( X) 3(2012 ·陕西高考，理20) 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间( 分 )12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时(1) 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率；(2) X 表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望4(2012 ·安徽高考，理17)

3、某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题若调用的是 A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束，若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束试题库中现有 n m道试题，其中有 n 道 A 类型试题和 m道 B 类型试题以 X 表示两次调题工作完成后，试题库中 A 类型试题的数量(1) 求 X n2 的概率；(2) 设 m n，求 X 的分布列和均值 ( 数学期望 ) 考向分析本讲是概率统计的重点，主要考查三方面的内容：相互独立事件及其概率，题型有选择、填空，有时也出现在解答题中与其他知识交会命题；二项分布及其应用，准确

4、把握独立重复试验的特点是解答二项分布问题的关键，一般以中档题为主；随机变量的分布列、期望和方差，以考生比较熟悉的实际应用题为背景，综合排列组合、概率公式、互斥事件及独立事件等基础知识，考查对随机变量的识别及概率计算能力，解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用，其中有选择题，也有填空题，但更多的是解答题，难度中档热点例析热点一相互独立事件及其概率【例 1】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10 平前，一方连续发球2 次后，对方再连续发球2 次，依次轮换，每次发球，胜方得1 分，负方得0 分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1 分的概率为0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的

5、一局比赛中，甲先发球(1) 求开始第4 次发球时，甲、乙的比分为1 比 2 的概率；(2) 求开始第 5 次发球时，甲得分领先的概率规律方法 (1) 求复杂事件的概率的一般步骤：列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；- 1 -理清各事件之间的关系，列出关系式即把随机事件分成几个互斥事件的和，每个小事件再分为 n 个相互独立事件的乘积根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算(2) 直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率变式训练 1 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直3 次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为

6、1到有人获胜或每人都已投球3，乙每次投篮投中1的概率为 2，且各次投篮互不影响(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2 个球的概率热点二 二项分布及其应用【例 2】(2012 ·安徽六安一中第十次月考，理17) 为备战运动会，射击队运动员们正在1积极备战若某运动员每次射击成绩为10 环的概率为3.求该运动员在5 次射击中，(1) 至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率；(2) 记“射击成绩为 10 环的次数”为，写出 的分布列并求 E .( 结果用分数表示 )规律方法事件服从二项分布的条件是：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的(2)各次试验中的事件是相互独立的(3)

7、 每次试验只有两种结果： 事件要么发生， 要么不发生 (4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数2 某射手每次射击击中目标的概率是2变式训练3，且各次射击的结果互不影响(1) 假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率；(2) 假设这名射手射击5 次，求有3 次连续击中目标，另外2 次未击中目标的概率；(3) 假设这名射手射击3 次，每次射击，击中目标得1 分，未击中目标得0 分在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分记 为射手射击 3 次后的总得分数，求 的分布列热点三离散型随机变量的分布列、均值

8、与方差【例 3】(2012 ·天津高考，理16) 现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于2 的人去参加乙游戏(1) 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；(2) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3) 用，Y分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 | | ，求随机变量XX Y 的分布列与数学期望E( ) 规律方法求离散型随机变量的分布列，关键是计算各个概率值，一方面要弄清楚相应的概

9、型 ( 古典概型、相互独立事件的概率、独立重复试验等) ，以便套用相关的计算公式计算；另一方面要注意运用分布列的性质检验所求概率值是否正确变式训练 3(2012·安徽江南十校联考，理18) “低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器某企业现有100 万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利 20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为3115， 5， 5；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和 b( 其中 a b 1) (1) 如果把 100 万元投资“传统型”经济项目，用 表示投

10、资收益 ( 投资收益回收资金投资资金 ) ，求 的概率分布及均值( 数学期望 ) E；(2) 如果把 100 万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a 的取值范围思想渗透- 2 -转化与化归思想期望与概率的实际应用解题中要善于透过问题的实际背景，发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题【典型例题】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数 X依次为 1,2 ， 8，其中 5为标准， 3为标准，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6 元/XAXB件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为

11、4 元 / 件，假设甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1) 已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且 X1 的数学期望E( X1) 6，求a， b 的值；(2) 为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2 的数学期望；(3) 在 (1) 、(2) 的条件下，若以“性价比”为判断标准， 则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注： (1)产品的“性价比”产品的等级系

12、数的数学期望；产品的零售价(2) “性价比”大的产品更具可购买性.解： (1)因为 E( X1 ) 6，所以 5×0.4 6a 7b8×0.1 6，即 6a 7b3.2 ，又由 X1 的概率分布列得0.4 0.1 1，即a0.5.a bb6a 7b 3.2 ，a 0.3 ，由解得 0.2.0.5 ，a bb(2) 由已知得，样本的频率分布表如下：2345678Xf0.30.20.20.10.10.1X 的概率分布列用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2如下：3456782XP0.30.20.20.10.10.1所以 E( X2) 3×0.

13、3 4×0.2 5×0.2 6×0.1 7×0.1 8×0.1 4.8 ，即乙厂产品的等级系数X2 的数学期望等于4.8.(3) 乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为 6 元 / 件，所以其“性价比”为6 1.6因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8 ，价格为 4 元/ 件，所以其“性价比”为4.84 1.2. 所以乙厂的产品更具可购买性1设随机变量 服从正态分布N(3 ， 2) ，若 P( >m) a，则 P( >6 m) 等于 ( ) AaB1 2C 2aD 1aa2设一随机试验的

14、结果只有AA且 () ，令随机变量 1， A发生和，则 P A m0， A不发生的方差 D( ) 等于 ( )AmB2m(1 m)Cm( m 1)D m(1 m)- 3 -3一个袋中有 6 个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3 个球，以12Z 表示取出球的最大号码，令a P( Z 6) ，则函数 y 2x 2ax 的单调递增区间是 ( ) 11A. ， 2B.2，C( ， 1)D (1 ，)4箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6 个球从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4 的倍数，则获奖现有4 人参与摸奖，恰好有3 人获奖的概率是(

15、 ) 1696624D.4A.B.C.6256256256255(2012 ·浙江五校联考，理16) 甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局 3胜制(即先胜 3 局者获胜 ) 若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为21和 ，记需要比赛的场次为33 ，则 ( ) _.E6(2012 ·山东济南二模，20) 一次考试共有12 道选择题，每道选择题都有4 个选项，其中有且只有一个是正确的评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得 0 分”某考生已确定有8 道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因

16、不理解题意只好乱猜请求出该考生：(1) 得 60 分的概率；(2) 所得分数 的分布列和数学期望参考答案命题调研·明晰考向真题试做1. 3解析：设元件 1,2,3的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为，显然( )8A BCP A1P( B)P( C) 2，该部件的使用寿命超过1 000的事件为 ( A B A B AB)C.该部件的使用寿命超过1 000 小时的概率为P 1× 11×11×1× 13.222222282解： (1) 记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手射击甲靶命中”为事件，AB“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，

17、“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，32由题意知 P( B) 4， P( C) P( D) 3，由于 ABC D BCD BC D，根据事件的独立性和互斥性得P(A)P(BC D BCD B CD)P(B C D)P(B CD)P( B CD)()() () () () () () () ( )PBP CP DP BPCP DP BP CP D32232232274× 13 × 1 3 14 ×3× 13 14 × 13 ×336.(2) 根据题意， X的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5 ，根据事件的独立性和互斥性得P(X0)

18、 P( BCD )1 P( B)1 P( C)1 P( D)- 4 -322 14×13×13 1 ，36P(X1) P(B CD ) P(B)P( C) P( D )3224× 13× 131，12( 2) () () ()P XP BCDB CD PBCDPB CD1 3×2× 1 21 3× 12×24334331 9，P(X3) P( BCD B CD) P( BCD ) P( B C D)3223221 4× 3× 13 4× 13 × 33，P(X4) P( B

19、CD)3221 14 ×3×39，3221P( X 5) P( BCD) 4× 3× 3 3.故 X 的分布列为X012345P1111113612939311111141所以 EX0× 361× 122× 93× 34× 95× 312.3解：设 Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务”，则事件A 对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1 分钟，且第二个顾客办

20、理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2 分钟所以 P( A) P( Y 1) P( Y 3) P( Y 3) P( Y 1) P( Y 2) P( Y 2) 0.1 ×0.3 0.3 ×0.1 0.4 ×0.4 0.22.(2) 方法一： X 所有可能的取值为 0,1,2.X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2 分钟，所以P( X 0) P( Y2)0.5 ；X1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过 1 分钟，或

21、第一个顾客办理业务所需的时间为2 分钟，所以 P( X 1) P( Y1)P( Y 1) P( Y2) 0.1 ×0.9 0.4 0.49 ；X2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1 分钟，所以P( X 2) P( Y1)P( Y 1)0.1 ×0.1 0.01.所以 X的分布列为X012- 5 -P0.50.490.01E( X) 0×0.5 1×0.49 2×0.01 0.51.方法二： X 所有可能的取值为 0,1,2.X0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2 分钟，所以 P( X 0) P( Y2) 0.5 ；2 对应两个顾客办理业

22、务所需的时间均为1分钟，X所以 P( X 2) P( Y1)P( Y 1) 0.1 ×0.1 0.01 ；( 1) 1 ( 0) ( 2)0.49.P XP XP X所以 X的分布列为X012P0.50.490.01E( X) 0×0.5 1×0.49 2×0.01 0.51.4解：以Ai 表示第 i 次调题调用到A 类型试题， i 1,2.nn 1n( n1)(1) P( X n2) P( A1A2) m n·m n 2( m n)( m n 2) .(2) X 的可能取值为 n， n 1， n 2.()(A1A2) n· n 1.

23、P X n Pnn n n412) P(1 2nn 1nn 1P( X n 1) P( A AA A ) n n· n n2 n n· n n2，n n 11P( X n 2) P( A1A2) n n· n n2 4，从而 X的分布列是Xnn 1n 2P111424111E( X) n× 4 ( n1) × 2 ( n2) × 4 n 1.精要例析·聚焦热点热点例析【例 1】 解：记 Ai 表示事件：第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得i 分， i 0,1,2；Bi 表示事件：第3次和第 4 次这两次发球，甲共得i 分

24、， i 0,1,2；A 表示事件：第3 次发球，甲得 1 分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比 2；C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先(1) B A0· AA1· A ，P( A) 0.4 ，P( A0) 0.4 2 0.16 ，P( A1) 2×0.6 ×0.4 0.48 ，P(B) P( A0·AA1· A )P( A0· A) P( A1· A )P( A0) P( A) P( A1) P( A ) 0.16 ×0.4 0.48 ×(1 0.4) 0.352.(2)

25、 P( B0) 0.6 2 0.36 ， P( B1) 2×0.4 ×0.6 0.48 ， P( B2) 0.4 20.16 ， P( A2) 0.6 2 0.36.CA1· B2 A2· B1 A2· B2，P( C) P( A1· B2 A2· B1 A2 ·B2 ) P( A1· B2) P( A2· B1) P( A2· B2)P( A1) P( B2) P( A2) P( B1) P( A2) P( B2)- 6 - 0.48 ×0.16 0.36 ×0.

26、48 0.36 ×0.16 0.307 2.【变式训练1】 解：设 Ak， Bk 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则11P( Ak ) 3， P( Bk ) 2( k 1,2,3)(1) 记“乙获胜”为事件 C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()(11) (1B122)(1B1A2B23 3)PC PAB P AAB PAA BP(A )P(B)P( A )P(B1)P( A )P(B)P( A )P( B )P( A )P( B )P( A)P(B)11122112233212 21 22 31 3133×2 3× 23 &#

27、215;2 27.(2) 记“投篮结束时乙只投了2 个球”为事件 D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)P( A1 B1 A2B2)P( A1 B1 A2 B2A3)P( A112211) P(2) P(B232 21 22 21 214)P( B)P( A )P(B)P( A )P( BA)P(A) 32 32327.1【例 2】 解：设随机变量X 为射击成绩为10环的次数，则XB 5，3 .(1)在5次射击中，至少有3 次射击成绩为10 环的概率为( 3) (3) (4) ( 5)4010 1 17.P XP XP XP X24324324381(2

28、) 由题意知 的可能取值为 0,1,2,3,4,5 ， 的分布列为012345P3280804010124324324324324324315因为 B5， 3，所以 E( ) 3.2【变式训练2】 解： (1) 设 X 为射手在5 次射击中击中目标的次数，则XB 5，3. 在 5次射击中，恰有2 次击中目标的概率522 212 340P(X2) C× 3×3243.A ( i 1,2,3,4,5)(2) 设“第 i次射击击中目标”为事件；“射手在 5次射击中，有3 次i连续击中目标， 另外 2次未击中目标”为事件，则()(1 2 34A5)(12345)APA PAAAAP

29、 AAAAA2 31 212 311 22 38P( A1 A 2A3A4A5) 3 × 33× 3 ×3 3 × 3 81.(3) 由题意可知， 的所有可能取值为 0,1,2,3,6 ，P( 0) P( A1A23131A) 3 27；( 1) ( 12A3) (123) (12 3)PP A APAAAP AA A21212112223× 3 3×3× 3 3×3 9；P( 2) P( A1 A 2A3)2124 3× 3× 327；P( 3) P( A1A2 A 3) P( A 1A2A3

30、)- 7 - 2 2×11× 2 2 8 ； 3333272 38P( 6) P( A1A2A3) 3 27.所以 的分布列是01236P12488279272727【例 3】 解：依题意，这4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概2率为 3.设“这 4 个人中恰有 i人去参加甲游戏”为事件Ai ( i 0,1,2,3,4)，i 1 i 2 4 i则 P( Ai ) C4 3 3.(1) 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率(2) C42 12228.P A3327(2)设“这 4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件，则AA.

31、由于 A 与 A 互斥，故BB34344)() (3) (P BP AP AC31 3241 4133 C3 9.441所以，这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为9.(3) 的所有可能取值为 0,2,4.由于 A1 与 A3 互斥， A0 与 A4 互斥，故( 0) ( 2) 8 ，PP A2740P( 2) P( A ) P( A ) 81，1317P( 4) P( A0) P( A4) .81所以 的分布列是024P84017278181随机变量 的数学期望 E( ) 0×84017148272× 814× 8181 .【变式训练3】

32、解： (1) 依题意， 的可能取值为20,0 ， 10， 的分布列为200 10P311555311E( ) 20× 0×( 10)×10( 万元 ) 555(2) 设 表示 100 万元投资“低碳型”经济项目的收益，则 的分布列为3020Pab- 8 -E( ) 30a 20b50a 20.3依题意要求50a2010， 5 a1.创新模拟·预测演练1D 解析：正态分布曲线关于 x 对称，即关于 x 3 对称， m与 6 m关于 x 3 对称， P( <6m) P( >m) a，则 P( >6m) 1 a. 2DC11C5213A 解析： P( Z 6) 3