直线与平面平行的证

1、1广东汕头华侨中学广东汕头华侨中学 张应楷张应楷2直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理 ,/ / ,baab 1.定理中的三个条件：缺一不可，简称一内一外一平行。2. 要证明平面外的一条直线和这个平面平行，只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可。3cbaed平面内最常见的几何图形是三角形和四边形，平面内最常见的几何图形是三角形和四边形，其中涉及到两条直线平行的定理主要有：其中涉及到两条直线平行的定理主要有：de/bc , de= bc21de是中位线是中位线平行线分线段成比例定理及其逆定理平行线分线段成比例定理及其逆定理：中位线定理中位线定理：/ /adaededebcab

2、acbc平行四边形平行四边形一组对边平行且相等一组对边平行且相等两组对边平行两组对边平行4dc1d1b1a1cabfe例题例题1 1（1 1）：）：如图，在正方体如图，在正方体abcda1b1c1d1中，中，e、f分别是棱分别是棱bc与与cd的中点的中点. .求证：求证：ef/平面平面bdd1b1. .ef/平面平面bdd1b1思路：思路：ef/bd三角形三角形bcd的中位线的中位线5aba bcdcd例题例题1 1（2 2）. .正方体正方体 中，中，e e为为 的中点，的中点， 证明：证明： /平面平面aecaecdd bdeo证明：连接证明：连接bd交交ac于点于点o,连接连接oe,在在

3、ddb 中，中，e，o分别是分别是bddd, 的中点的中点dbeo/aceeo平面aecbd平面/bdacebd平面bddcbaabcd-6练习练习1： 如图，在三棱锥如图，在三棱锥p- abc中，中，abc为正三角形，为正三角形，d，e，f分别是分别是bc，pb，ca的中点试判断的中点试判断ae是否平行平面是否平行平面pfd？并说明理由？并说明理由badcp fegae/平面平面bdd1b1ae/fg三角形三角形aec中位线中位线思路：思路：7 在平面内寻找一条直线与已知直线平行是破在平面内寻找一条直线与已知直线平行是破题的关键，我们可以尝试寻找与已知直线在同一题的关键，我们可以尝试寻找与已

4、知直线在同一个个三角形内三角形内的可能，如果已知有中点，可以优先的可能，如果已知有中点，可以优先考虑三角形的考虑三角形的中位线定理中位线定理。直线与平面平行的直线与平面平行的证明证明 8例题例题2：四棱锥：四棱锥p-abcd中，点中，点e、f分别为分别为 棱棱bc、pd的中点的中点. .求证：求证：ef/平面平面pab . .faebcpg 在平面在平面pab中，更容易找到中，更容易找到与与ef构成平行四边形的直线构成平行四边形的直线bg. .ef/平面平面pabef/bg四边形四边形befg是平行四边形是平行四边形思路：思路：gf/be,gf=bedgf/ad,gf= ad21be/ad,b

5、e= ad219练习练习2.如图如图,p是是平行四边形平行四边形abcd所在平面外一所在平面外一点点,e、f分别为分别为ab、pd的中点的中点, 求证求证:af平面平面pec. g证明证明:设设pc的中点为的中点为g,连接连接eg,fg.则则gfcd,且且gf= cd.abcd,ab=cd,e为为ab的中点的中点,gfae,gf=ae,四边形四边形aegf为平行四边形为平行四边形,egaf.又又af 平面平面pec,eg 平面平面pec,af平面平面pec.1210 平行四边形也是得到两直线平行的常见图形。平行四边形也是得到两直线平行的常见图形。证明线面平行的时候也尝试在平面内寻找能与已证明线

6、面平行的时候也尝试在平面内寻找能与已知直线构成平行四边形的直线。在证明平行四边知直线构成平行四边形的直线。在证明平行四边形的时候，经常使用的是形的时候，经常使用的是“一组对边平行且相等一组对边平行且相等”这一判定定理。这一判定定理。直线与平面平行的直线与平面平行的证明证明 11练习练习3 3：如图，在正方体：如图，在正方体abcda1b1c1d1中，中，e、f分别是棱分别是棱bc与与c1d1的中点的中点. .求证：求证：ef/平面平面bdd1b1. .dc1d1b1a1cabfe12 如图所示，在正方体如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，中，e、f、g、h分别是棱分别是棱cc1、c1d1、d1d、cd的中点，的中点，n是是bc的中点，点的中点，点m在四边形在四边形efgh的边界的边界及其内部运及其内部运动，是否存在动，是否存在m，使得，使得mn平面平面b1bdd1.（不必考虑所有可能情况，只要写出一个即可，并（不必考虑所有可能情况，只要写出一个即可，并说明理由）说明理由）.nm13nnnmmm14步骤步骤 在在“找找” ” 直线这一关键环节中，可以通过构造三直线这一关键环节中，可以通过构造三角形或