圆的对称性(1)教学设计

1、圆的对称性（1）教学设计江苏省蓝天杯教学设计评比获奖作品一、课题圆的对称性（ 1）是苏教版教科书九年级上册第五章第二节的第一课时内容。二、教材分析圆的对称性（ 1）是学生在学习了有关中心对称图形的知识，圆的相关概念（包括弦、弧、圆心角、同圆、等圆、等弧等）后所学习的一节重要内容。本节课主要是在理解了圆的中心对称性与旋转不变性的基础上，通过学生自主探究，掌握在同圆或等圆中，圆心角和它所对的弧、弦三者之间的关系。它为后续学生进一步学习圆的其它知识以及解决与圆有关的问题提供了重要基础。三、教学目标1、知识技能（ 1）经历圆绕圆心旋转，理解圆的中心对称性以及圆的旋转不变性；（ 2）经历操作、猜想、说理

2、、归纳等数学活动， 理解并掌握在同圆或等圆中，圆心角和它所对弧、弦三者之间的关系，并能应用其解决相关问题；（ 3）掌握弧的度数概念，并会计算弧的度数。2、数学思考（ 1）在参与操作、观察、猜想、说理、归纳等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法；（ 2）通过数学活动培养学生数学基本活动经验。3、问题解决（ 1）通过问题解决的过程让学生学会从数学的角度发现问题；（ 2）通过对问题的解决，让学生获得分析问题和解决问题的一些基本方法，发展创新意识；（ 3）进一步培养学生解决问题时的合作意识。4、情感态度在解决问题的过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志。四、教学重、难点

3、1、重点：在同圆或等圆中，圆心角和它所对弧、弦三者之间的关系及其应用2、难点：从感性认识到理性认识，从直观到抽象的数学知识探索过程以及归纳能力的培养。五、设计理念1、注重学生的自主动手实践，体现学生的主体地位数学教学活动， 特别是教学活动应激发学生兴趣， 调动学生学习积极性， 而重视了学生的动手实践，自主活动，能够很好的达到这个效果。2、注重“数学基本活动经验” ，体现数学知识的形成的过程“操作、猜想、说理、归纳总结”是一个较完整的探索数学知识的过程，让学生亲自体验数学知识探索的全过程， 有助于学生形成良好的数学思维方式， 有助于学生对数学知识的理解，有助于培养学生“数学基本活动经验” 。3、

4、注重归纳总结，体现理性思维归纳总结是从感性到理性，从特殊到一般的质的飞跃，体现了数学的特点。六、设计思路本节课中，探索新知由若干个活动组成， 通过学生操作、 观察、猜想、说理、归纳总结等一系列活动获得新知， 最后通过对若干条题目的解决来到达巩固新知的作用。七、教学过程1、创设情境，引入新课活动一： 欣赏图片和动画，感知圆的对称性（1）通过多媒体课件， 向学生展示生活中关于圆对称性的一些实例， 例如：正在旋转的摩天轮， 缓慢旋转的车轮， 剪纸时将圆沿着直径翻折等， 学生欣赏动画，并思考它们的共性，很容易发现圆具有对称性。教师板书本节课课题。【设计意图】圆的对称性在学生已有的生活经验中是大量存在的

5、，展示的动画，贴近学生生活实际， 容易激发学生的学习兴趣， 创设这个情景， 还能增加学生的联想思维能力，为下面的探究活动打下基础。（2）关于对称，我们学到今天主要学习了轴对称和中心对称，那么什么是中心对称图形？学生很容易能够回答出：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的对称中心。【设计意图】复习旧知，同时也指明了本节课的学习重点是在圆的中心对称性上面。（3）我们采用什么方法研究中心对称图形？根据中心对称图形的定义，学生易回答出：采用旋转的方法研究中心对称图形。【设计意图】为本节课研究圆的中心对称性提供了方法

6、，即，利用旋转来研究。2、活动、思考，探索新知活动二： 动手操作，感受圆的中心对称性（1）圆是中心对称图形吗？请同学们拿出事先准备好的圆（圆心处被大头针戳在一张硬纸板上， 圆可以绕着圆心自由旋转） 按照中心对称图形的定义转一转圆。根据前面的复习，学生很快根据自己的操作，发现：将圆绕圆心旋转 180° 后，能够和原来的图形重合， 从而得到圆是中心对称图形， 它的对称中心就是圆心。这里，教师可以让学生自己发现并总结本节课的第一个知识点： 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。【设计意图】让学生通过活动，亲身体验“圆的中心对称性” ，既强化了对中心对称图形概念的理解，又实实在在的看到了圆是

7、中心对称图形。（2）请同学们将你们手上的圆绕圆心任意转动一定的角度，你们能发现什么？自己做一做，互相讨论下！学生会发现，无论将圆绕圆心怎样转动，所得的圆还和原来的圆重合。教师进一步总结： 其实圆具有旋转不变性， 即，一个圆绕着它的圆心旋转任何一个角度后，都能与原来的图形重合。【设计意图】圆的旋转不变性的研究是为进一步研究圆的性质打下基础。活动三： 操作、观察、猜想、说理，初步探索（1）请同学们利用量角器在你们刚才准备的圆上画出两个相等且互不重叠的圆心角，分别记作 AOB和 A1OB1，并连接弦 AB、A1B1。（提醒学生注意：画AOB和 A1OB1时，要使 OB相对于 OA的方向与 OB1 相

8、对于 OA1 的方向一致）（2）将扇形 OAB剪下，将它绕着圆心O旋转，使得 OA与 OA1 重合。（3）在操作中，仔细观察，你发现了什么？互相讨论一下！如上图，通过操作、观察，讨论，学生很容易发现，剪下来的部分绕着圆心旋转，当 OA与 OA重合时， OB与 OB也重合，整个扇形OAB与扇形 OAB 完全重1111重合 , 弦 AB与弦 A1B1重合。合， AB 与A1 B1（4）根据对刚才的操作、观察以及你们所发现的情况，你们能从数学的角度猜想出一个数学结论吗？引导学生得到：在中，如果则 。这OAOBA1OB1,ABA1 B 1,ABA1B1里，学生很容易把“在O中”给遗漏掉，教师要注意提醒

9、。（5）这个猜想出来的结论对吗？如果正确，你能根据前面所学习的数学知识，对你的这个猜想进行证明吗？请同学们互相讨论，然后尝试着写一写。在思考证明的方法时，大部分学生都会想到利用AOB A1OB1 这样的常规方法来证明 AB A1 B1，这里教师要加以肯定，但是对于证明, 却会显得AB A1 B1束手无策，因为在这节课前，并没有学习过关于证明弧相等的方法。这里，教师可以引导学生回忆等弧的概念， 即，能够互相重合的弧叫做等弧， 而在刚才的操作过程中，最后确实出现了两弧重合的现象， 进一步引导学生发现： 只要能说明到与重合，与重合即可证明到 ，同时也可证明到，AA1BB1ABA1B1ABA1B1这样

10、也不需要用全等的方式来证明了。（6）我们一起来把这个证明过程写一写。【设计意图】通过操作、观察、猜想、说理这一系列的数学活动，让学生亲身体验了数学知识产生的全过程， 感受了研究数学的科学方法， 培养了学生的动手能力、数学观察能力、数学猜想能力、逻辑推理能力以及数学语言表达能力，同时也为本节课的重点难点部分的提出打下基础， 最后让学生自己写出证明过程可以使学生对证明过程更加理解，思路更加清晰。,AB（7）通过证明，我们发现，“在 O中，如果 AOB A1OB1, 则AB A1 B 1 A1B1 。”但这个是针对在 O中的结论，那现在不给我们一个具体的图形，你能直接用一句文字语言来描述一下上面的这

11、种性质吗？讨论一下，然后告诉我。教师要引导学生首先找到， 前面操作过程中的， 圆心角、弧、弦之间的关系，即，弧与弦都是相等的圆心角所对的，这样，学生很快就能总结出“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。”，但学生在总结的时候容易漏掉 “在同圆中”这个前提。无论学生是否出现这个问题， 教师都要加以强调 “在同圆中”这个条件，这时教师在多媒体课件上展示两组圆， 一组是不等的两个圆， 另一组是两个等圆， 通过动画直观展示给学生看， 第一组在不等的两个圆中， 虽然圆心角是相等的， 但是所对的弧与弦确实不相等， 而另一组在两个等圆中， 圆心角相等，所对的弧与弦是相等的。从而让学生进一步发现

12、，不仅不能把“在同圆中”这个条件前提漏掉，还要把它改一改，改成“在同圆或等圆中” 。【设计意图】 通过具体实物的操作， 猜想以及证明后， 最为重要的一步就是将猜想的结论进一步一般化、数学化，在这一过程中，需要教师加以引导，这样既能让学生从中感悟到各个相关量之间的具体联系， 又能让学生更深的理解其中的真正内涵所在，为将来能够更好的应用结论提高良好的基础。教师将结论板书在黑板上。活动四： 思考、探索，形成知识升华（1）在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弦相等，那么它们所对的弧相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么

13、？对于这两个问题，教师鼓励学生用刚才前面的研究方法，猜一猜，证一证。由前面活动三的基础， 这个两个问题都不会太困难， 教师要把时间完全的交由学生自主探索，自主证明，并模仿活动三，将两个结论得出。（2）我们上面所涉及的问题都是在同圆或等圆中，都是针对的关于圆心角、圆心角所对的弧与弦直接的关系， 我们发现，它们三者直接， 只要有一组量是相等的，其余两个量就都相等了，那能不能用一句话总结一下？学生非常容易就可以得出：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组两都分别相等。这里教师还应强调两点，一是“在同圆或等圆中”这个条件不能遗漏，二是在同圆或等圆中，弦

14、相等所对弧相等中的弧必须是同为“优弧”或同为“劣弧”。【设计意图】 通过思考、探索活动三中的逆命题是否成立， 进一步让学生独立自主的体验了研究数学的方式方法， 同时也进一步培养了学生说理的能力， 归纳总结的能力。（3）教师将结论板书在黑板上，提出，这个结论我们今后在解决问题的时候可以直接使用，但是，我们在做题目的时候通常都需要用数学符号语言来描述，能不能请同学们根据老师所画的图，用数学符号语言把这个结论描述出来？教师请三位学生到黑板上把三个结论分别用数学符号语言写出来， 其他学生在下面写，教师加以适当的修改和总结。【设计意图】数学符号语言是解决数学问题尤其是说理证明时重要的表达方式，学生必须能

15、够熟练的将文字语言和数学符号语言进行转化， 同时在书写数学符号语言的同时也再一次的让学生感受了在同圆或等圆中， 圆心角、圆心角所对弧与弦三者之间的联系，进一步加深了对概念的理解和记忆。（4）教师指出，今后，在圆中，若要证明圆心角相等、弦相等、弧相等就要想到我们刚刚学习过的知识，即利用圆心角和它所对的弧、弦之间的关系。【设计意图】教师帮助学生进一步凝练总结，形成新的数学解题技能。活动五： 关于“弧度”的概念（1）将顶点在圆心的圆周角等分成360 份时，每一份的圆心角是多少度？为什么？学生小学时就已经知道圆一周角等于360°，基本都能回答出是1°的角。（2）那这 360 个 1

16、°的圆心角所对的弧有什么关系？这个在活动三和活动四中已经具体总结过了， 学以致用，学生很快可回答出，它们都是等弧。（3）教师提出，通常，我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°弧。（4）请问， n°圆心角所对的弧度数是多少？学生不难回答， n°圆心角所对的弧度数是n°。（5）那 n°弧所对的圆心角度数是多少？学生不难回答， n°弧所对的圆心角度数是n°。（6）哪个同学能把刚才我们一起叙述的结论用一句话总结一下吗？对学生来说，这个问题也不难回答， 圆心角的度数与它多对的弧的度数相等。【设计意图】 设计一系列简单的

17、问题， 层层深入， 让对学生而言非常陌生的概念“弧的度数” 与学生非常熟悉的知识和本节课刚学习过的知识联系起来， 顺利得到结论。（7）请同学们思考一个问题，弧的度数相等与等弧是一个意思吗？引导学生根据弧的度数的概念与等弧的概念，画一画、想一想、讨论一下。为了能让学生能够理解，教师可以通过多媒体展示出两个例子。图1图2如图所示， 与 的所对圆心角是相等的， 因此，它们两个弧的度数是1ABCD相等的，但是，很显然， AB CD ，它们并不能重合，但是由图2 所示，由于是在同圆中， 、 的度数是相等的，也是等弧，原因就在于本节课刚学过的EFGH知识，在同圆或等圆中，圆心角相等，它所对的弧也相等，而圆

18、心角相等，也意味着圆心角所对的弧的度数是相等的。让学生从直观的角度和逻辑关系上认识到：第一、两条弧，弧的度数相等时，两条弧不一定是等弧，除非这两条弧是在同圆或等圆中；第二、两条弧是等弧，那它们的度数肯定相等。因此只有在等弧时才能用等号把两条弧连起来，而弧的度数相等，就不能这样。【设计意图】弧的度数相等和等弧历来是学生最容易搞混淆的知识，因此本节课讲到这里必须要引导学生加以区别，同时由对弧的度数相等和等弧这两个概念的区别和联系，让学生进一步加强了对弧的度数和等弧概念的理解，也复习了本节课刚刚学过的两个知识点。3、例题教学、巩固新知例 1、如图，AB、AC、BC都是 O的弦， AOB BOC。AB

19、C与 BAC相等吗？为什么？学生由于刚接触圆心角和它所对的弧、 弦之间的关系， 比较陌生，还不善于利用这个关系来解决问题， 因此要引导学生从本节课刚讲的知识点入手解决。 采取师生一起分析， 学生自主写过程， 师生共同对典型的错误进行纠正的模式完成对本例题的讲解。【设计意图】 本题涉及到本节课的知识点主要是： 在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等。通过对本题的解决， 让学生再次体验同圆或等圆中， 圆心角和它所对的弧、弦之间的关系。4、课堂练习，强化应用、如图，在中， ，°，求的度数。1OACBDAOB 50COD2、如图，在 O中， AB AC ， A40°，求 ABC的度数。3、如图，在 ABC中， C90°， B28°，以 C 为圆心， CA为半径的圆交于点，交于点，求